Japan Mathematical Olympiad 2011 — Yosen (Preliminary)

Count integer 4-tuples with strict inequalities and bounded differences

Find the number of quadruples $(a,b,c,d)$ of integers from 1 to 9 satisfying $0<b-a<c-b<d-c$.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 7 Fonte: apri PDF

Contare numeri interi a 4 volte con rigide disuguaglianze e differenze limitate

Trova il numero di quadrupli $(a,b,c,d)$ di numeri interi da 1 a 9 soddisfacendo $0<b-a<c-b<d-c$.

Risposta: 7 src_jmo21yq_yosen__Q01

Sum of positive integers ≤2011 divisible by 3 with given remainders

Let $A$ be the sum of all positive integers not exceeding 2011 that leave a remainder of 1 when divided by 3, and let $B$ be the sum of all positive integers not exceeding 2011 that leave a remainder of 2 when divided by 3. Find $A-B$.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Telescoping, Simmetria Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Risposta: 1341 Fonte: apri PDF

Summa di interi positivi ≤2011 divisibili per 3 con dati rimanenti

Che $A$ sia la somma di tutti gli integri positivi non superiori al 2011 che lasciano un residuo di 1 quando diviso per 3, e che $B$ sia la somma di tutti gli integri positivi non superiori al 2011 che lasciano un residuo di 2 quando diviso per 3. Trova $A-B$.

Risposta: 1341 src_jmo21yq_yosen__Q02

Find all primes of form axbxcxd+exfxg with distinct digits 1..7

Find all prime numbers that can be expressed as $a\times b\times c\times d+e\times f\times g$ using distinct positive integers $a,b,c,d,e,f,g$, each at most 7.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Ricerca tutti i primi della forma axbxcxd+exfxg con cifre distinte 1..7

Trova tutti i numeri primi che possono essere espressi come $a\times b\times c\times d+e\times f\times g$ utilizzando diversi interi positivi $a,b,c,d,e,f,g$, ciascuno al massimo 7.

src_jmo21yq_yosen__Q03

Find radius of circular sector OAB from chord segments

In the figure below, $O$ is the center (apex) of sector $OAB$. We have $AQ=5$, $BQ=6$, $OQ=PQ$. Find the length of the radius of the sector. Here, $XY$ denotes the length of segment $XY$.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Ricerca il raggio del settore circolare OAB da segmenti di accordi

Nella figura seguente, $O$ è il centro (apex) del settore $OAB$. Abbiamo $AQ=5$, $BQ=6$, $OQ=PQ$. Trova la lunghezza del raggio del settore. Qui $XY$ indica la lunghezza del segmento $XY$.

src_jmo21yq_yosen__Q04

Tens digit of product of integers ≤2011 ending in 3 or 7

Let $X$ be the product of all positive integers not exceeding 2011 whose units digit is 3 or 7. Find the tens digit of $X$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze Abilita: Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Dicina cifra del prodotto dei numeri interi ≤2011 che terminano in 3 o 7

Il $X$ deve essere il prodotto di tutti i numeri interi positivi non superiori al 2011 il cui numero unitario è 3 o 7. Trova la decina di $X$.

src_jmo21yq_yosen__Q05

Find AR in right triangle with angle bisector and equal-length conditions

In triangle $ABC$ with $\angle ABC=90^{\circ }$, points $P,Q,R$ lie on sides $BC$, $CA$, $AB$ respectively, with $AQ:QC=2:1$, $AR=AQ$, $QP=QR$, and $\angle PQR=90^{\circ }$. Given $CP=1$, find $AR$. Here, $XY$ denotes the length of segment $XY$.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Ricerca AR in triangolo rettangolo con angolo bisector e condizioni di lunghezza uguale

Nel triangolo $ABC$ con $\angle ABC=90^{\circ }$, i punti $P,Q,R$ si trovano rispettivamente sui lati $BC$, $CA$, $AB$, con $AQ:QC=2:1$, $AR=AQ$, $QP=QR$ e $\angle PQR=90^{\circ }$. Con $CP=1$, trovare $AR$. Qui $XY$ indica la lunghezza del segmento $XY$.

src_jmo21yq_yosen__Q06

Count 3×3 grids with integers 1–9 placed once each satisfying a marking condition

A $3\times 3$ grid is filled with the integers 1 through 9, each appearing exactly once (one per cell). For each column, the second-largest of the 3 numbers written in that column is marked. It turned out that the second-largest of the three marked numbers was 5. In this case, how many arrangements of the 9 integers are possible?

Topic: Combinatoria Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Conta 3×3 griglie con numeri interi 19 posizionate una volta che ciascuna soddisfa una condizione di marcatura

Una griglia $3\times 3$ è riempita con i numeri interi da 1 a 9, ognuno apparendo esattamente una volta (uno per cella). Per ciascuna colonna, è indicato il secondo più grande dei 3 numeri scritti in quella colonna. Si è scoperto che il secondo più grande dei tre numeri segnati era 5. In questo caso, quante disposizioni dei 9 numeri interi sono possibili?

src_jmo21yq_yosen__Q07

Find 4-digit integer P from digit conditions on product of two 2-digit numbers

There are two 2-digit positive integers $x$ and $y$ such that the tens digit of $x$ equals the units digit of $y$, and the tens digit of $y$ equals the units digit of $x$. Let $P$ be the product of $x$ and $y$; then $P$ is a 4-digit number, and the number formed by the lower two digits of $P$ (regarded as a 2-digit integer) is 23 larger than the number formed by the upper two digits of $P$ (regarded as a 2-digit integer). Find the value of $P$.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Casework, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Ricerca un numero intero a 4 cifre P dalle condizioni a 2 cifre sul prodotto di due numeri a 2 cifre

Ci sono due numeri interi positivi a 2 cifre $x$ e $y$ in modo tale che la decina di $x$ equivale alla cifra di unità di $y$, e la decina di $y$ equivale alla cifra di unità di $x$. Il numero $P$ è il prodotto di $x$ e $y$; quindi $P$ è un numero a 4 cifre, e il numero formato dalle due cifre inferiori di $P$ (considerato un intero a 2 cifre) è 23 più grande del numero formato dalle due cifre superiori di $P$ (considerato un intero a 2 cifre). Trova il valore di $P$.

src_jmo21yq_yosen__Q08

Count color arrangements of 12 marbles in a row with adjacency condition

Red, blue, and yellow marbles — 12 in total — are arranged in a horizontal row. Find the number of arrangements satisfying the following condition. Here, arrangements with 2 or fewer colors for the marbles are also considered.

Condition: For every marble of any given color, there exists a marble of the same color that is adjacent to it.

Topic: Combinatoria Metodo: Casework, Conteggio, Ricorsione Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Contare le disposizioni di colore di 12 marmi in fila con condizione di adiacenza

I marmi rossi, blu e gialli 12 in totale sono disposti in una riga orizzontale. Trova il numero di accordi che soddisfano la seguente condizione. Qui vengono considerati anche gli arrangiamenti con 2 o meno colori per i marmi.

**Condizione: ** Per ogni marmo di un dato colore, esiste un marmo dello stesso colore adiacente.

src_jmo21yq_yosen__Q09

Find min and max of f(23)+f(2011) for function satisfying a functional inequality

Consider functions $f$ defined on the positive integers taking positive integer values such that for any positive integers $x,y$, $(x+y)f(x)\le x^2+f(xy)+110$ holds. Find the minimum and maximum possible values of $f(23)+f(2011)$.

Topic: Equazioni funzionali, Algebra Metodo: Casework, Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Astrazione, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Ricerca min e massimo di f(23)+f(2011) per una funzione che soddisfa una disuguaglianza funzionale

Considera le funzioni $f$ definite sui numeri interi positivi che assumono valori di numeri interi positivi in modo tale che per tutti i numeri interi positivi $x,y$, $(x+y)f(x)\le x^2+f(xy)+110$ si mantenga. Trova i valori minimi e massimi possibili di $f(23)+f(2011)$.

src_jmo21yq_yosen__Q10

OM:ON for a tangential quadrilateral with incenter O

Quadrilateral $ABCD$ is circumscribed about a circle centered at $O$ (the circle is tangent to all four sides), with $OA=5$, $OB=6$, $OC=7$, $OD=8$. Let $M$ be the midpoint of segment $AC$ and $N$ be the midpoint of segment $BD$. Find $OM:ON$. Here, $XY$ denotes the length of segment $XY$.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

OM:ON per un quadrilaterale tangenziale con incentro O

Il quadrilaterale $ABCD$ è circoscritto intorno a un cerchio centrato a $O$ (il cerchio è tangente a tutti e quattro i lati), con $OA=5$, $OB=6$, $OC=7$, $OD=8$. Il segmento $M$ deve essere il punto medio del segmento $AC$ e il segmento $N$ deve essere il punto medio del segmento $BD$. Trova $OM:ON$. Qui $XY$ indica la lunghezza del segmento $XY$.

src_jmo21yq_yosen__Q11

Maximize a ratio of sums for non-negative reals summing to 1

Let $n\ge 2$ be a positive integer. For non-negative reals $a_1,\dots ,a_n$ satisfying $a_1+\cdots +a_n=1$, find the maximum possible value of $\left({\sum }_{i=1}^{n}i{a}_i\right){\left({\sum }_{i=1}^n\frac{a_i}{i}\right)}^2.$

Topic: Disuguaglianze, Algebra Metodo: Estremalità, Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica, Stima, Astrazione Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Maximizzare il rapporto di somme per i reali non negativi sommando a 1

$n\ge 2$ sia un numero intero positivo. Per i valori reali non negativi $a_1,\dots ,a_n$ che soddisfano $a_1+\cdots +a_n=1$, trovare il valore massimo possibile di $\left({\sum }_{i=1}^{n}i{a}_i\right){\left({\sum }_{i=1}^n\frac{a_i}{i}\right)}^2.$

src_jmo21yq_yosen__Q12