Japan Mathematical Olympiad 2012 — Honsen (Final)

Tangent at A meets BC at P; show QR perpendicular to BC

Let $ABC$ be a triangle. The tangent line to the circumcircle of $△ABC$ at vertex $A$ meets line $BC$ at point $P$. Let $Q$ and $R$ be the feet of the perpendiculars from $P$ to lines $AB$ and $AC$, respectively. Show that line $BC$ is perpendicular to line $QR$.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Tangent a A incontra BC a P; mostrare QR perpendicolare a BC

Lasciate che $ABC$ sia un triangolo. La linea tangente al circoncircolo di $△ABC$ al vertice $A$ incontra la linea $BC$ al punto $P$. I piedi $Q$ e $R$ siano i piedi delle perpendicolari da $P$ alle linee $AB$ e $AC$, rispettivamente. Mostra che la riga $BC$ è perpendicolare alla riga $QR$.

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Find all real functions satisfying a functional equation

Find all functions $f$ defined on $\mathbb{R}$ and taking real values such that $f(f(x+y)f(x-y))=x^2-yf(y)$ holds for all real numbers $x,y$.

Topic: Equazioni funzionali, Algebra Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Astrazione Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Ricerca tutte le funzioni reali che soddisfano un’equazione funzionale

Trovare tutte le funzioni $f$ definite su $\mathbb{R}$ e prendere valori reali in modo tale che $f(f(x+y)f(x-y))=x^2-yf(y)$ tenga per tutti i numeri reali $x,y$.

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Find positive integers n such that p | x^n-1 implies p^2 | x^n-1

Let $p$ be a prime. Find all positive integers $n$ satisfying the following condition:

Condition: For every integer $x$, if $p$ divides $x^n-1$ then $p^2$ also divides $x^n-1$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze Abilita: Lettura attenta, Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Find positive integers n such that p | x^n-1 implies p^2 | x^n-1

Let $p$ be a prime. Find all positive integers $n$ satisfying the following condition:

Condition: For every integer $x$, if $p$ divides $x^n-1$ then $p^2$ also divides $x^n-1$.

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Two isosceles triangles sharing apex P; midpoints of arcs of two circles

In the plane, let $PAB$ and $PCD$ be triangles with $PA=PB$ and $PC=PD$. Suppose $P$, $A$, $C$ are collinear (in that order) and $B$, $P$, $D$ are collinear (in that order). Let $S_1$ be the circumcircle of $△PAC$ (passing through $A$ and $C$) and $S_2$ be the circumcircle of $△BPD$ (passing through $B$ and $D$), and suppose $S_1$ and $S_2$ meet at two distinct points $X$ and $Y$. Let $Z$ be the midpoint of the arc of $S_1$ not containing the other intersection, and $W$ be the midpoint of the arc of $S_2$ not containing the other intersection (i.e., $Z$ and $W$ are the midpoints of arcs $XY$ on $S_1$ and $S_2$ respectively, on the sides that do not contain $P$). Here $ZW$ denotes the length of segment $ZW$. Show that triangle $PXY$ has its circumcircle centered at the midpoint of $ZW$.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta, Astrazione Area: Geometria Fonte: apri PDF

Due triangoli di uguale occhio che condividono l’apice P; punti di mezzo di archi di due cerchi

Nel piano, $PAB$ e $PCD$ siano triangoli con $PA=PB$ e $PC=PD$. Supponiamo che $P$, $A$, $C$ siano collineari (in tale ordine) e $B$, $P$, $D$ siano collineari (in tale ordine). $S_1$ sia il circoncircolo di $△PAC$ (passando per $A$ e $C$) e $S_2$ sia il circoncircolo di $△BPD$ (passando per $B$ e $D$), e supponiamo che $S_1$ e $S_2$ si incontrino in due punti distinti $X$ e $Y$. Il $Z$ deve essere il punto medio dell’arco di $S_1$ che non contiene l’altra intersezione, e il $W$ deve essere il punto medio dell’arco di $S_2$ che non contiene l’altra intersezione (cioè $Z$ e $W$ sono i punti medio di archi $XY$ su $S_1$ e $S_2$ rispettivamente, sui lati che non contengono $P$). Qui $ZW$ indica la lunghezza del segmento $ZW$. Mostra che il triangolo $PXY$ ha il suo circoncircolo centrato nel punto medio di $ZW$.

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Grid game: find all k for which A wins in finitely many moves

Let $k$ be a positive integer. Players $A$ and $B$ play a game. Initially, one piece is placed at the origin $(0,0)$ of the $xy$-plane. With $A$ going first, the two players alternate taking turns according to the following rules:

Player $A$‘s move: Choose one lattice point that does not yet have a stamp, and place a stamp on it. (Lattice points with stamps may not be chosen again.)

Player $B$‘s move: Move the piece from its current position $(x,y)$ to $(x+1,y)$ or $(x,y+1)$, and repeat this between $1$ and $k$ times total in the turn. However, the piece may not be moved to a lattice point that already has a stamp.

If $B$ is unable to move the piece (all neighboring lattice points reachable by $B$ are stamped or $B$ has no valid move), then $A$ wins. Find all positive integers $k$ for which $A$ can guarantee a win in a finite number of turns.

Topic: Combinatoria Metodo: Invarianti, Casework, Estremalità Abilita: Astrazione, Modellizzazione, Lettura attenta, Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Gioco di griglia: trovare tutti i k per i quali A vince in infinite mosse

$k$ sia un numero intero positivo. I giocatori $A$ e $B$ giocano a un gioco. Inizialmente, un pezzo viene posto all’origine $(0,0)$ del piano $xy$. Con $A$ in primo piano, i due giocatori si alternano a turno secondo le seguenti regole:

Movimento del giocatore $A$: Scegli un punto della griglia che non ha ancora un timbro e metti un timbro su di esso. (Non si possono scegliere nuovamente punti di lamella con francobolli).

Movimento del giocatore $B$: ** Spostare il pezzo dalla sua posizione attuale $(x,y)$ a $(x+1,y)$ o $(x,y+1)$, e ripeterlo tra $1$ e $k$ volte totale in turno. Tuttavia, il pezzo non può essere spostato in un punto della griglia che ha già un timbro.

Se $B$ non è in grado di spostare il pezzo (tutti i punti della rete vicini raggiungibili da $B$ sono stampati o $B$ non ha mossa valida), allora $A$ vince. Trova tutti gli enti positivi $k$ per i quali $A$ può garantire una vittoria in un numero finito di giri.

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