Japan Mathematical Olympiad 2012 — Yosen (Preliminary)

Square ABCD with two perpendicular transversals; find side length

In square $ABCD$, points $P$, $Q$, $R$, $S$ lie on sides $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ respectively. Line $PR$ is parallel to $BC$, and line $SQ$ is parallel to $AB$. Let $Z$ be the intersection of $PR$ and $SQ$. Given $BP=7$, $BQ=6$, $DZ=5$, find the side length of square $ABCD$.

(Here, $XY$ denotes the length of segment $XY$.)

Topic: Geometria piana, Algebra Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria, Algebra e Analisi Risposta: 10 Fonte: apri PDF

ABCD quadrato con due trasversali perpendicolari; trovare lunghezza laterale

Nel quadrato $ABCD$, i punti $P$, $Q$, $R$, $S$ si trovano rispettivamente sui lati $AB$, $BC$, $CD$ e $DA$. La linea $PR$ è parallela a $BC$ e la linea $SQ$ è parallela a $AB$. Il $Z$ deve essere l’incrocio di $PR$ e $SQ$. Date $BP=7$, $BQ=6$, $DZ=5$, si trova la lunghezza laterale del quadrato $ABCD$.

(Qui $XY$ indica la lunghezza del segmento $XY$.)

Risposta: 10 src_jmo22yq_yosen__Q01

Circle with tangent-chord angles 30° and 10°; find angle BDC

Points $A$, $B$, $C$, $D$ lie on a circle in this order. The angle between the tangent to the circle at $B$ and chord $AB$ is $30^{\circ }$, and the angle between the tangent at $C$ and chord $CD$ is $10^{\circ }$. Lines $AB$ and $DC$ are parallel, and $B$ and $C$ lie on opposite sides of the centre with respect to the chord $AD$. Find $\angle BDC$.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Geometria Risposta: 70 Fonte: apri PDF

Circolo con angoli di corda tangente 30° e 10°; angolo di ricerca BDC

I punti $A$, $B$, $C$, $D$ si trovano su un cerchio in questo ordine. L’angolo tra la tangente al cerchio a $B$ e l’accord $AB$ è $30^{\circ }$, e l’angolo tra la tangente a $C$ e l’accord $CD$ è $10^{\circ }$. Le linee $AB$ e $DC$ sono parallele, e $B$ e $C$ si trovano su lati opposti del centro rispetto all’accordo $AD$. Trova $\angle BDC$.

Risposta: 70 src_jmo22yq_yosen__Q02

Assign digits 1–9 to variables; find minimum possible maximum triple product sum

$a,b,c,d,e,f,g,h,i$ are mutually distinct integers each chosen from $1$ to $9$. Let $N$ be the maximum value of $a\times b\times c+d\times e\times f+g\times h\times i$ over all such assignments. Find the minimum value of $N$.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Estremalità, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Stima, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 72 Fonte: apri PDF

Allegare i numeri 19 alle variabili; trovare la somma minima possibile del prodotto triplo massima

$a,b,c,d,e,f,g,h,i$ sono integri reciprocamente distinti, ognuno scelto da $1$ a $9$. Il valore massimo $N$ deve essere $a\times b\times c+d\times e\times f+g\times h\times i$ per tutte le assegnazioni. Trova il valore minimo di $N$.

Risposta: 72 src_jmo22yq_yosen__Q03

Multiples of 3 but not 9 whose digit sum raises it to a multiple of 9

Let $A$ be a positive integer that is a multiple of $3$ but not a multiple of $9$. When each digit of $A$ is added to $A$, the result is a multiple of $9$. Find the minimum possible value of $A$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 138 Fonte: apri PDF

Multiplici di 3 ma non di 9 la cui somma digitali lo eleva a un multiple di 9

$A$ sia un intero positivo che sia un multiple di $3$ ma non un multiple di $9$. Quando ogni cifra di $A$ viene aggiunta a $A$, il risultato è un multiple di $9$. Trova il valore minimo possibile di $A$.

Risposta: 138 src_jmo22yq_yosen__Q04

Positive integers whose product of all divisors equals 2^{240}

Find all positive integers whose product of all positive divisors equals $2^{240}$.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Fattorizzazione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Risposta: $2^{15}\cdot 3^5$ Fonte: apri PDF

insieri positivi il cui prodotto di tutti i divisori è uguale a 2^{240}

Trova tutti gli integri positivi il cui prodotto di tutti i divisori positivi è uguale a $2^{240}$.

Risposta: $2^{15}\cdot 3^5$ src_jmo22yq_yosen__Q05

2×100 grid red/blue coloring with parity and existence constraints

There is a $2\times 100$ grid in which each cell is coloured either red or blue. Consider colourings satisfying both of the following conditions. Colourings related by rotation or reflection are counted as the same.

• Both the set of red cells and the set of blue cells are non-empty (at least one red and at least one blue cell exist).
• The total number of red cells is even, and the total number of blue cells is even.

Find the number of such colourings.

Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio, Simmetria, Ricorsione Abilita: Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 39800 Fonte: apri PDF

2×100 colore rosso/blu a griglia con restrizioni di parità ed esistenza

C’è una griglia $2\times 100$ in cui ogni cella è colorata in rosso o blu. Considerate i coloranti che soddisfano entrambe le seguenti condizioni. I colori legati alla rotazione o alla riflessione sono considerati uguali.

• Sia l’insieme delle cellule rosse che l’insieme delle cellule blu non sono vuote (esistono almeno una cellula rossa e almeno una cellula blu). - Il numero totale di globuli rossi è pari, e il numero totale di globuli blu è pari.

Trova il numero di tali coloranti.

Risposta: 39800 src_jmo22yq_yosen__Q06

Triangle ABC with circumcenter O; midpoint of DE is O; find CE

Let $O$ be the circumcentre of triangle $ABC$. Let $D$ be a point on segment $AB$ and $E$ a point on segment $AC$ such that the midpoint of segment $DE$ is $O$. Given $AD=8$, $BD=3$, $AO=7$, find $CE$.

(Here, $XY$ denotes the length of segment $XY$.)

Topic: Geometria piana, Algebra Metodo: Coordinate, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria, Algebra e Analisi Risposta: $\frac{4\sqrt{21}}{7}$ Fonte: apri PDF

Triangolo ABC con centro circonciso O; punto medio di DE è O; trovare CE

$O$ sia il circoncentro del triangolo $ABC$. Il punto $D$ deve essere un punto sul segmento $AB$ e il punto $E$ un punto sul segmento $AC$ in modo tale che il punto medio del segmento $DE$ sia $O$. Dato $AD=8$, $BD=3$, $AO=7$, si trova $CE$.

(Qui $XY$ indica la lunghezza del segmento $XY$.)

Risposta: \frac{4\sqrt{21}}{7} src_jmo22yq_yosen__Q07

Count sequences starting at 2012, ending at 1, each term less than sqrt of previous

In how many ways can one write a sequence of positive integers satisfying the following condition?

Condition: The first number written is $2012$ and the last number written is $1$. After writing a number $n$, the next number written is a positive integer less than $\sqrt{n}$.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Ricorsione, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 201 Fonte: apri PDF

Sequenze di conteggio a partire dal 2012, che terminano a 1, ogni termine inferiore al quadrato del precedente

In quanti modi si può scrivere una sequenza di numeri interi positivi che soddisfano la seguente condizione?

Condizione: il primo numero scritto è $2012$ e l’ultimo numero scritto è $1$. Dopo aver scritto un numero $n$, il numero successivo scritto è un intero positivo inferiore a $\sqrt{n}$.

Risposta: 201 src_jmo22yq_yosen__Q08

Two players write two integers each; product/sum conditions; find all possible sums of B’s numbers

Players A and B each write two integers on a blackboard. The product of A’s two numbers is twice the sum of B’s two numbers, and the sum of A’s two numbers is at least as large as the product of B’s two numbers. Find all possible values of the sum of B’s two numbers. (The four numbers written are not necessarily distinct.)

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Casework accurato, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 8, 9, 10, 13, 17, 19, 27 Fonte: apri PDF

Due giocatori scrivono due interi ciascuno; condizioni prodotto/somma; trovare tutte le possibili somme dei numeri di B

I giocatori A e B scrivono ciascuno due numeri interi su una lavagna. Il prodotto dei due numeri di A è il doppio della somma dei due numeri di B, e la somma dei due numeri di A è almeno grande come il prodotto dei due numeri di B. Trova tutti i valori possibili della somma dei due numeri di B. (I quattro numeri scritti non sono necessariamente distinti.)

Risposta: 8, 9, 10, 13, 17, 19, 27 src_jmo22yq_yosen__Q09

Count positive integers n where floor(1000000/n) - floor(1000000/(n+1)) = 1

How many positive integers $n$ satisfy $\lfloor \frac{1000000}{n}\rfloor -\lfloor \frac{1000000}{n+1}\rfloor =1?$ (Here $\lfloor x\rfloor$ denotes the greatest integer not exceeding $x$.)

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Casework, Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Stima, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Risposta: 1172 Fonte: apri PDF

Contare i numeri interi positivi n in cui livello(1000000/n) - livello(1000000/(n+1)) = 1

Quanti integri positivi $n$ soddisfano $\lfloor \frac{1000000}{n}\rfloor -\lfloor \frac{1000000}{n+1}\rfloor =1?$ (Qui $\lfloor x\rfloor$ indica il numero intero più grande non superiore a $x$.)

Risposta: 1172 src_jmo22yq_yosen__Q10

2n×2n grid; color exactly 2n^2 cells so no two colored cells share a side

There is a $2n\times 2n$ grid. Colour exactly $2n^2$ cells according to the following condition:

Condition: If a coloured cell shares a vertex with another coloured cell, they must NOT share a side (i.e., no two coloured cells are side-adjacent).

Find the number of such colourings. (Colourings related by rotation or reflection are counted as different.)

Topic: Combinatoria Metodo: Biiezione, Conteggio, Simmetria Abilita: Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern, Astrazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: ${\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n}\right)}^2$ Fonte: apri PDF

2n×2n griglia; colore esattamente 2n^2 cellule in modo che non due cellule di colore condividono un lato

C’è una griglia $2n\times 2n$. Colore esattamente le celle $2n^2$ secondo la seguente condizione:

Condizione: se una cellula colorata condivide un vertice con un’altra cellula colorata, non devono condividere un lato (cioè non ci sono due cellule colorate adiacenti).

Trova il numero di tali coloranti. (Le colorazioni legate alla rotazione o alla riflessione sono conteggiate come diverse.)

Risposta: \binom{2n}{n}^2 src_jmo22yq_yosen__Q11

Cube side 2012 cut by plane as hexagon IJKLMN; find area combination

In space, a cube $ABCD\text{-}EFGH$ has side length $2012$. A plane intersects the cube and the cross-section is a hexagon $IJKLMN$, where $I$, $J$, $K$, $L$, $M$, $N$ lie on edges $AE$, $EF$, $FG$, $GC$, $CD$, $DA$ respectively.

Given $AI-GL=8$, $CM-EJ=6$, $FK-DN=4$, find $(\text{area of }△IKM)+(\text{area of }△JLN)-(\text{area of hexagon }IJKLMN).$

(Here, $XY$ denotes the length of segment $XY$.)

Topic: Geometria solida, Algebra Metodo: Coordinate, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Modellizzazione Area: Geometria, Algebra e Analisi Risposta: $4\sqrt{61}$ Fonte: apri PDF

Cuba lato 2012 tagliato per piano come hexagono IJKLMN; trovare combinazione di superficie

In spazio, un cubo $ABCD\text{-}EFGH$ ha lunghezza laterale $2012$. Un piano incrocia il cubo e la sezione trasversale è un esagono $IJKLMN$, dove rispettivamente $I$, $J$, $K$, $L$, $M$, $N$ si trovano sui bordi $AE$, $EF$, $FG$, $GC$, $CD$ e $DA$.

Date $AI-GL=8$, $CM-EJ=6$, $FK-DN=4$, trovate $(\text{area of }△IKM)+(\text{area of }△JLN)-(\text{area of hexagon }IJKLMN).$

(Qui $XY$ indica la lunghezza del segmento $XY$.)

Risposta: 4\sqrt{61} src_jmo22yq_yosen__Q12