Japan Mathematical Olympiad 2013 — Honsen (Final)

Distribute candies to grouped people under conditions

Let $n,k$ be positive integers with $n\ge k$. There are $n$ people, and each person belongs to exactly one of the groups $1,\dots ,k$. Also, each group contains at least one person. Prove that, under these conditions, it is possible to distribute $n^2$ candies among the $n$ people so that all of the following conditions are satisfied:

• Every person receives at least $1$ candy.
• Each person belonging to group $i$ receives exactly $a_i$ candies $(1\le i\le k)$.
• If $1\le i<j\le k$, then $a_i>a_j$.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Estremalità, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Modellizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Distribuire caramelle a gruppi di persone in condizioni*

$n,k$ siano integri positivi con $n\ge k$. Ci sono persone $n$, e ciascuna persona appartiene esattamente a uno dei gruppi $1,\dots ,k$. Inoltre, ogni gruppo contiene almeno una persona. dimostrare che, in queste condizioni, è possibile distribuire le caramelle $n^2$ tra le persone $n$ in modo da soddisfare tutte le seguenti condizioni:

• Ogni persona riceve almeno $1$ dolci. - Ogni persona appartenente al gruppo $i$ riceve esattamente $a_i$ dolci $(1\le i\le k)$. - Se $1\le i<j\le k$, allora $a_i>a_j$.

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Find all integer functions satisfying a functional equation

Find all functions $f$ defined on the integers and taking real values such that, for any integers $m,n$, $f(m)+f(n)=f(mn)+f(m+n+mn)$ holds.

Topic: Equazioni funzionali, Teoria dei Numeri Metodo: Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Astrazione Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Ricerca tutte le funzioni integrali che soddisfano un’equazione funzionale

Trovare tutte le funzioni $f$ definite sui numeri interi e prendere valori reali in modo tale che, per tutti gli enti $m,n$, $f(m)+f(n)=f(mn)+f(m+n+mn)$ tenga.

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Minimal m with increasing sequence whose adjacent square-sum halves are squares

Let $n$ be an integer with $n\ge 2$. Find the minimum value of the positive integer $m$ for which there exist positive integers $a_1,\dots ,a_n$ satisfying the following two conditions:

• $a_1<\cdots <a_n=m$.
• The $n-1$ numbers $\frac{a_1^2+a_2^2}{2},\dots ,\frac{a_{n-1}^2+a_n^2}{2}$ are all perfect squares.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Estremalità, Fattorizzazione Abilita: Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Minimum m con sequenza in aumento le cui metà quadrate adiacenti sono quadrate

$n$ sia un numero intero con $n\ge 2$. Trova il valore minimo dell’intero numero positivo $m$ per il quale esistono interi positivi $a_1,\dots ,a_n$ che soddisfano le seguenti due condizioni:

• $a_1<\cdots <a_n=m$. - I numeri $n-1$ $\frac{a_1^2+a_2^2}{2},\dots ,\frac{a_{n-1}^2+a_n^2}{2}$ sono tutti quadrati perfetti.

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Prove KD bisects angle BKC via radical axis foot

Let $ABC$ be an acute triangle with orthocenter $H$. The circle passing through the points $B$ and $C$ and the circle having segment $AH$ as a diameter intersect at two distinct points $X,Y$. Let $D$ be the foot of the perpendicular from $A$ to line $BC$, and let $K$ be the foot of the perpendicular from $D$ to line $XY$. Prove that $\angle BKD=\angle CKD$.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Prove che KD taglia l’angolo BKC attraverso il piede dell’asse radicale

Il $ABC$ deve essere un triangolo acuto con il centro orto $H$. Il cerchio che attraversa i punti $B$ e $C$ e il cerchio con segmento $AH$ come diametro si intersecano a due punti distinti $X,Y$. Il $D$ deve essere il piede della perpendicolare da $A$ alla linea $BC$, e il $K$ deve essere il piede della perpendicolare da $D$ alla linea $XY$. Prove che $\angle BKD=\angle CKD$.

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Max intersecting segment pairs in 90-degree turning point sequence

Let $n$ be a positive integer. In the plane there are points $P_1,P_2,\dots ,P_{4n}$, no three of which are collinear, such that for each $i=1,2,\dots ,4n$, rotating the ray $P_i{P}_{i-1}$ clockwise by $90^{\circ }$ about the point $P_i$ makes it coincide with the ray $P_i{P}_{i+1}$. Find the maximum possible number of pairs $(i,j)$ such that the segments $P_i{P}_{i+1}$ and $P_j{P}_{j+1}$ intersect at a point other than their endpoints. Here $P_0=P_{4n}$, $P_{4n+1}=P_1$, and $1\le i<j\le 4n$.

Topic: Combinatoria, Geometria piana Metodo: Estremalità, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Fonte: apri PDF

Maximi coppie di segmenti che si intersecano in una sequenza di punti di svolta a 90 gradi

$n$ sia un numero intero positivo. Nel piano ci sono punti $P_1,P_2,\dots ,P_{4n}$, di cui non tre sono collineari, in modo tale che per ogni $i=1,2,\dots ,4n$, rotando il raggio $P_i{P}_{i-1}$ in senso orario per $90^{\circ }$ circa il punto $P_i$, esso coincide con il raggio $P_i{P}_{i+1}$. Trovare il numero massimo possibile di coppie $(i,j)$ in modo tale che i segmenti $P_i{P}_{i+1}$ e $P_j{P}_{j+1}$ si intersecano in un punto diverso dai loro punti di fine. Qui $P_0=P_{4n}$, $P_{4n+1}=P_1$ e $1\le i<j\le 4n$.

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