Japan Mathematical Olympiad 2013 — Yosen (Preliminary)

Minimize x+y+z with lcm 2100

For three positive integers $x,y,z$ whose least common multiple is $2100$, find the smallest possible value of $x+y+z$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Casework Abilita: Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 44 Fonte: apri PDF

Minimizzare x+y+z con lcm 2100

Per tre integri positivi $x,y,z$ il cui più piccolo multiplo comune è $2100$, trovare il minimo valore possibile di $x+y+z$.

Risposta: 44 src_jmo23yq_yosen__Q01

Two 20x13 grids filled in two orders; count matching cells

There are two rectangular grids of $20$ rows and $13$ columns. In each cell of each grid an integer is written as follows:

• In one grid, the first row is filled from left to right with $1,2,\dots ,13$, the second row from left to right with $14,15,\dots ,26$, and so on, down to the last row $248,249,\dots ,260$.
• In the other grid, the rightmost column is filled from top to bottom with $1,2,\dots ,20$, the second column from the right from top to bottom with $21,22,\dots ,40$, and so on, down to the leftmost column $241,242,\dots ,260$.

Find all integers that are written in the same position (same cell) in both grids.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Congruenze, Coordinate Abilita: Modellizzazione, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 87, 174 Fonte: apri PDF

Due reti 20x13 riempite in due ordini; conteggio delle celle corrispondenti

Esistono due reti rettangolari di file $20$ e colonne $13$. In ciascuna cella di ciascuna griglia viene scritto un intero come segue:

• In una griglia, la prima riga è riempita da sinistra a destra con $1,2,\dots ,13$, la seconda riga da sinistra a destra con $14,15,\dots ,26$, e così via, fino all’ultima riga $248,249,\dots ,260$. - nell’altra griglia, la colonna più a destra è riempita dall’alto verso il basso con $1,2,\dots ,20$, la seconda colonna dall’alto verso il basso con $21,22,\dots ,40$ e così via, fino alla colonna più a sinistra $241,242,\dots ,260$.

Trova tutti gli enti che sono scritti nella stessa posizione (la stessa cella) in entrambe le griglie.

Risposta: 87, 174 src_jmo23yq_yosen__Q02

Star inscribed in unit circle; area of inner pentagon

On a circle $O$ of radius $1$, points $A_1,A_2,A_3,A_4,A_5$ lie in this order so that $\angle A_5{A}_2{A}_4=\angle A_1{A}_3{A}_5=\angle A_2{A}_4{A}_1=\angle A_3{A}_5{A}_2=\angle A_4{A}_1{A}_3=30^{\circ }$. Let $B_1$ be the intersection of $A_2{A}_4$ and $A_3{A}_5$, $B_2$ the intersection of $A_3{A}_5$ and $A_4{A}_1$, $B_3$ the intersection of $A_4{A}_1$ and $A_5{A}_2$, $B_4$ the intersection of $A_5{A}_2$ and $A_1{A}_3$, and $B_5$ the intersection of $A_1{A}_3$ and $A_2{A}_4$. Find the area of the pentagon $B_1{B}_2{B}_3{B}_4{B}_5$.

Topic: Geometria piana, Trigonometria Metodo: Trigonometria, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: $\frac{\sqrt{3}}{6}$ Fonte: apri PDF

Stella inscrita nel cerchio unitario; area del pentagono interno

Su un cerchio $O$ di raggio $1$, i punti $A_1,A_2,A_3,A_4,A_5$ si trovano in questo ordine in modo che $\angle A_5{A}_2{A}_4=\angle A_1{A}_3{A}_5=\angle A_2{A}_4{A}_1=\angle A_3{A}_5{A}_2=\angle A_4{A}_1{A}_3=30^{\circ }$. Che $B_1$ sia l’intersezione di $A_2{A}_4$ e $A_3{A}_5$, $B_2$ l’intersezione di $A_3{A}_5$ e $A_4{A}_1$, $B_3$ l’intersezione di $A_4{A}_1$ e $A_5{A}_2$, $B_4$ l’intersezione di $A_5{A}_2$ e $A_1{A}_3$, e $B_5$ l’intersezione di $A_1{A}_3$ e $A_2{A}_4$. Trova l’area del pentagono $B_1{B}_2{B}_3{B}_4{B}_5$.

Risposta: $\frac{\sqrt{3}}{6}$ src_jmo23yq_yosen__Q03

Sum of coefficients of even powers in a product

In the polynomial $(x+1{)}^3(x+2{)}^3(x+3{)}^3$, let $a_k$ denote the coefficient of $x^k$. Find the value of $a_0+a_2+a_4+a_6$.

Topic: Algebra Metodo: Simmetria Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: 6696 Fonte: apri PDF

Summa dei coefficienti di potenze pari in un prodotto

Nel polinomio $(x+1{)}^3(x+2{)}^3(x+3{)}^3$, $a_k$ indica il coefficiente di $x^k$. Trova il valore di $a_0+a_2+a_4+a_6$.

Risposta: 6696 src_jmo23yq_yosen__Q04

Two intersecting circles, tangents and a transversal; ratio of radii

There are two circles $O_1,O_2$ that intersect at two distinct points $P$ and $Q$. The tangent to circle $O_1$ at $P$ meets circle $O_2$ again at a point $R$ (distinct from $P$), and the tangent to circle $O_2$ at $Q$ meets circle $O_1$ again at a point $S$ (distinct from $Q$). Furthermore, line $PR$ and line $QS$ intersect at a point $X$. Given $XR=9$ and $XS=2$, find how many times the radius of $O_2$ is compared with the radius of $O_1$ (i.e. the ratio of the radius of $O_2$ to that of $O_1$). Here, $YZ$ denotes the length of segment $YZ$.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: $\sqrt[3]{\frac{2}{9}}$ times Fonte: apri PDF

*Due cerchi, tangenti e una trasversale incrociati; rapporto di radii *

Ci sono due cerchi $O_1,O_2$ che si incrociano a due punti distinti $P$ e $Q$. La tangenza al cerchio $O_1$ a $P$ incontra nuovamente il cerchio $O_2$ a un punto $R$ (diferente da $P$), e la tangenza al cerchio $O_2$ a $Q$ incontra nuovamente il cerchio $O_1$ a un punto $S$ (diferente da $Q$). Inoltre, la linea $PR$ e la linea $QS$ si incrociano in un punto $X$. Considerato il $XR=9$ e il $XS=2$, scoprire quante volte il raggio di $O_2$ è confrontato con il raggio di $O_1$ (cioè il rapporto tra il raggio di $O_2$ e quello di $O_1$). Qui $YZ$ indica la lunghezza del segmento $YZ$.

Risposta: $\sqrt[3]{\frac{2}{9}}$ times src_jmo23yq_yosen__Q05

Distribute 24 each of two candies among 3 people avoiding a condition

There are two kinds of candy, $A$ and $B$, with $24$ pieces of each. We distribute all of these among three people $X,Y,Z$ with none left over. Among such distributions, how many are there for which there do NOT exist two people satisfying the following condition? Condition: one of the two people receives $a$ pieces of $A$ and $b$ pieces of $B$, the other receives $a^{\prime }$ pieces of $A$ and $b^{\prime }$ pieces of $B$, and both $a\le a^{\prime }$ and $b\le b^{\prime }$ hold.

Topic: Combinatoria Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 14017 Fonte: apri PDF

Distribuire 24 cioccolatini a 3 persone evitando una condizione

Ci sono due tipi di caramelle, $A$ e $B$, con $24$ pezzi di ciascuna. Distribuiamo tutto questo tra tre persone senza rimanere nessuna. Tra tali distribuzioni, quante ci sono per le quali NON esistono due persone che soddisfino la seguente condizione? Condizione: una delle due persone riceve $a$ pezzi di $A$ e $b$ pezzi di $B$, l’altra riceve $a^{\prime }$ pezzi di $A$ e $b^{\prime }$ pezzi di $B$, e entrambe $a\le a^{\prime }$ e $b\le b^{\prime }$ sono tenute.

Risposta: 14017 src_jmo23yq_yosen__Q06

Count nonnegative integer solutions of a quadratic identity

How many tuples $(x_1,\dots ,x_{25})$ of nonnegative integers satisfy the equation $x_1^2+\cdots +x_{25}^2=2+x_1{x}_2+x_2{x}_3+\cdots +x_{24}{x}_{25}?$

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 29900 Fonte: apri PDF

Contare le soluzioni di numeri interi non negativi di un’identità quadrata

Quanti tuppi $(x_1,\dots ,x_{25})$ di numeri interi non negativi soddisfano l’equazione $x_1^2+\cdots +x_{25}^2=2+x_1{x}_2+x_2{x}_3+\cdots +x_{24}{x}_{25}?$

Risposta: 29900 src_jmo23yq_yosen__Q07

Convex quadrilateral, perpendicular diagonals, four tangent circles; find DX

There is a convex quadrilateral $ABCD$ whose diagonals $AC$ and $BD$ meet perpendicularly at a point $X$, with $AX=5$, $BX=6$, $CX=20$. Consider the circle $C_1$ centered at $A$ with radius $AX$, the circle $C_2$ centered at $B$ with radius $BX$, the circle $C_3$ centered at $C$ with radius $CX$, and the circle $C_4$ centered at $D$ with radius $DX$. When there exists a circle tangent to all four circles $C_1,C_2,C_3,C_4$, find $DX$. Here, $YZ$ denotes the length of segment $YZ$.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: 12 Fonte: apri PDF

Quadrilaterali convexi, diagonali perpendicolari, quattro cerchi tangenti; trovare DX

C’è un quadrilaterale convex $ABCD$ le cui diagonali $AC$ e $BD$ si incontrano perpendicolare in un punto $X$, con $AX=5$, $BX=6$, $CX=20$. Considerate il cerchio $C_1$ centrato a $A$ con raggio $AX$, il cerchio $C_2$ centrato a $B$ con raggio $BX$, il cerchio $C_3$ centrato a $C$ con raggio $CX$ e il cerchio $C_4$ centrato a $D$ con raggio $DX$. Quando esiste un cerchio tangente a tutti e quattro i cerchi $C_1,C_2,C_3,C_4$, trovare $DX$. Qui $YZ$ indica la lunghezza del segmento $YZ$.

Risposta: 12 src_jmo23yq_yosen__Q08

Divisors of 10^2013-1 between 1 and 100

Find all divisors of $10^{2013}-1$ that are at least $1$ and at most $100$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Fattorizzazione Abilita: Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 1, 3, 9, 27, 37, 67 Fonte: apri PDF

divisioni di 10^2013-1 tra 1 e 100

Trova tutti i divisori di $10^{2013}-1$ che sono almeno $1$ e al massimo $100$.

Risposta: 1, 3, 9, 27, 37, 67 src_jmo23yq_yosen__Q09

Flip cards via 2013 operations; count face-up cards

There are $2013$ cards numbered $0,1,\dots ,2012$. Starting from a state in which all cards are face down, the following operation is performed for $i=1,2,\dots ,2013$ in this order. Operation $i$: turn over every card whose number is $\lfloor \frac{2013j}{i}\rfloor$ for some integer $j$ with $0\le j\le i-1$ (a face-down card becomes face up, and a face-up card becomes face down). When all operations are finished, how many cards are face up? Here, for a real number $r$, $\lfloor r\rfloor$ denotes the greatest integer not exceeding $r$.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Invarianti, Casi e conteggio, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 793 Fonte: apri PDF

Flip card attraverso le operazioni 2013; contare le carte rivolte verso l’alto

Ci sono carte $2013$ numerate $0,1,\dots ,2012$. A partire da uno stato in cui tutte le carte sono rivolte verso il basso, viene eseguita la seguente operazione per $i=1,2,\dots ,2013$ in questo ordine. Operazione $i$: girare ogni carta il cui numero è $\lfloor \frac{2013j}{i}\rfloor$ per un certo numero intero $j$ con $0\le j\le i-1$ (una carta a faccia in giù diventa faccia in su, e una carta a faccia in su diventa faccia in giù). Quando tutte le operazioni sono terminate, quante carte sono rivolte in faccia? Qui, per un numero reale $r$, $\lfloor r\rfloor$ indica il numero intero più grande non superiore a $r$.

Risposta: 793 src_jmo23yq_yosen__Q10

Orient unit lattice segments in 3D cube so each lattice square is congruent; count

Let $n$ be a positive integer. In $xyz$-space, consider the region $0\le x,y,z\le n$, and call a segment of length $1$ joining two lattice points a lattice edge. Suppose every lattice edge is given an orientation (for a lattice edge $AB$, either $A\to B$ or $B\to A$). Each of the $4$ sides of a unit square is a lattice edge; a unit square whose $4$ edges’ orientations go around it (form a directed cycle) is called a lattice square. Two lattice squares are regarded as congruent when, by rotation and translation, the orientations of all their edges can be made to coincide. In how many ways can the lattice edges be oriented so that all lattice squares are mutually congruent?

Topic: Combinatoria, Geometria solida Metodo: Simmetria, Casework Abilita: Astrazione, Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Risposta: $2^{(n+1{)}^3-1}+2^{3n}+2$ Fonte: apri PDF

Segmenti di reticola dell’unità orientale in cubo 3D in modo che ogni quadrato della reticola sia congruente; contare

$n$ sia un numero intero positivo. In $xyz$-spazio, considera la regione $0\le x,y,z\le n$ e chiama un segmento di lunghezza $1$ che unisce due punti della griglia un bordo della griglia. Supponiamo che ogni bordo della reticola abbia un orientamento (per un bordo della reticola $AB$, $A\to B$ o $B\to A$). Ciascuno dei lati $4$ di un quadrato unitario è un margine di reticola; un quadrato unitario il cui margine $4$ orientazioni girano attorno a esso (formano un ciclo diretto) è chiamato quadrato di reticola. Due quadrati della griglia sono considerati congruenti quando, mediante rotazione e traduzione, gli orientamenti di tutti i loro bordi possono coincidere. In quanti modi i bordi della griglia possono essere orientati in modo che tutti i quadrati della griglia siano reciprocamente congruenti?

Risposta: $2^{(n+1{)}^3-1}+2^{3n}+2$ src_jmo23yq_yosen__Q11

Sequence with fixed sum of consecutive ratios; minimal constant c

Let $a_1,a_2,\dots$ be an infinite sequence of distinct nonzero reals such that $\frac{a_{i+1}}{a_i}+\frac{a_{i+1}}{a_{i+2}}$ takes a single fixed value, greater than $0$ and less than $2$, for all positive integers $i$. Find, in terms of $a_1,a_2,a_3$, the minimum value of a real number $c$ for which the following condition holds. Condition: for all positive integers $x,y$ with $x<y$, $\frac{a_x{a}_{x+1}+a_{x+1}{a}_{x+2}+\cdots +a_{y-1}{a}_y}{a_x{a}_y}\le c$ holds.

Topic: Algebra, Disuguaglianze Metodo: Telescoping, Ricorsione, Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica, Astrazione Area: Algebra e Analisi Risposta: $\frac{2}{\sqrt{4-{\left(\frac{a_2}{a_1}+\frac{a_2}{a_3}\right)}^2}}$ Fonte: apri PDF

Sequenza con somma fissa di rapporti consecutivi; costante minima c

Che $a_1,a_2,\dots$ sia una sequenza infinita di differenti reali non-zero in modo tale che $\frac{a_{i+1}}{a_i}+\frac{a_{i+1}}{a_{i+2}}$ prenda un unico valore fisso, maggiore di $0$ e inferiore a $2$, per tutti gli integri positivi $i$. Trovare, in termini di $a_1,a_2,a_3$, il valore minimo di un numero reale $c$ per il quale si applica la seguente condizione. Condizione: per tutti gli integri positivi $x,y$ con $x<y$, $\frac{a_x{a}_{x+1}+a_{x+1}{a}_{x+2}+\cdots +a_{y-1}{a}_y}{a_x{a}_y}\le c$ è valido.

Risposta: $\frac{2}{\sqrt{4-{\left(\frac{a_2}{a_1}+\frac{a_2}{a_3}\right)}^2}}$ src_jmo23yq_yosen__Q12