Japan Mathematical Olympiad 2014 — Honsen (Final)

Find angle BAC from a perpendicular bisector condition

Let $O$ be the circumcenter of triangle $ABC$. Let $\ell$ be the line passing through the midpoint of side $BC$ and perpendicular to the bisector of $\angle BAC$. When $\ell$ passes through the midpoint of segment $AO$, find the measure of $\angle BAC$.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF

Trovare l’angolo BAC da una condizione di bisettore perpendicolare

Che $O$ sia il centro circundante del triangolo $ABC$. Il $\ell$ deve essere la linea che attraversa il punto medio del lato $BC$ e perpendicolare al bisector di $\angle BAC$. Quando $\ell$ passa attraverso il punto medio del segmento $AO$, trova la misura di $\angle BAC$.

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Find all positive integer solutions of an exponential equation

Find all triples $(a,b,c)$ of positive integers satisfying $2^a+3^b+1=6^c$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Casework Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Ricerca tutte le soluzioni a numeri interi positivi di un’equazione esponenziale

Trova tutti i triples $(a,b,c)$ di numeri interi positivi che soddisfano $2^a+3^b+1=6^c$.

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Maximum sum of clique-cover and coloring numbers of a graph

Let $n$ be a positive integer. Consider a school in which every two students are either mutually friends or mutually not friends. For such a school, let $N$ be the smallest possible value of the sum $a+b$ of positive integers $a,b$ satisfying both of the following: (1) The students can be partitioned into $a$ teams so that any two students belonging to the same team are mutually friends. (2) The students can be partitioned into $b$ teams so that any two students belonging to the same team are mutually not friends. Find the largest possible value of $N$ over all schools whose number of students is $n$. Here, when partitioning the students into teams, every student must belong to exactly one team.

Topic: Combinatoria Metodo: Grafi, Estremalità, Colorazione Abilita: Astrazione, Modellizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Summa massima dei numeri di copertura e di colorazione di un grafico

$n$ sia un numero intero positivo. Considerate una scuola in cui ogni due studenti sono o amici reciprocamente o non amici reciprocamente. Per una tale scuola, $N$ deve essere il minimo valore possibile della somma $a+b$ di enti interi positivi $a,b$ che soddisfi entrambe le seguenti condizioni: (1) Gli studenti possono essere suddivisi in squadre $a$ in modo che due studenti appartenenti allo stesso team siano reciprocamente amici. (2) Gli studenti possono essere suddivisi in squadre $b$ in modo che due studenti appartenenti allo stesso team non siano reciprocamente amici. Trovare il più grande valore possibile di $N$ su tutte le scuole il cui numero di studenti è $n$. Qui, quando si dividono gli studenti in squadre, ogni studente deve appartenere esattamente a una squadra.

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Prove a circle through four points is tangent to BC

Let $\Gamma$ be the circumcircle of triangle $ABC$, and let $\ell$ be the tangent line to $\Gamma$ at point $A$. Let $D$ and $E$ be points on sides $AB$ and $AC$ respectively, distinct from the endpoints, satisfying $BD:DA=AE:EC$. Let $F$ and $G$ be the two intersection points of line $DE$ with $\Gamma$. Let $H$ be the intersection of $\ell$ with the line through $D$ parallel to $AC$, and let $I$ be the intersection of $\ell$ with the line through $E$ parallel to $AB$. Prove that the four points $F,G,H,I$ lie on a common circle, and that this circle is tangent to line $BC$. Here, $XY$ denotes the length of segment $XY$.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Prove che un cerchio attraverso quattro punti è tangente a BC

La linea tangente di $\Gamma$ è la linea di circonferenza del triangolo $ABC$ e $\ell$ è la linea tangente di $\Gamma$ al punto $A$. I punti $D$ e $E$ devono essere punti sui lati $AB$ e $AC$, rispettivamente, separati dai punti finali, soddisfacendo $BD:DA=AE:EC$. $F$ e $G$ siano i due punti di intersezione della linea $DE$ con $\Gamma$. Il $H$ è l’intersezione di $\ell$ con la linea attraverso $D$ parallela a $AC$, e il $I$ è l’intersezione di $\ell$ con la linea attraverso $E$ parallela a $AB$. Prova che i quattro punti $F,G,H,I$ si trovano su un cerchio comune e che questo cerchio è tangente alla linea $BC$. Qui $XY$ indica la lunghezza del segmento $XY$.

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Largest k for a three-variable cyclic inequality

Find the largest value of the real number $k$ such that the inequality $\frac{a}{1+9bc+k(b-c{)}^2}+\frac{b}{1+9ca+k(c-a{)}^2}+\frac{c}{1+9ab+k(a-b{)}^2}\ge \frac{1}{2}$ holds for all nonnegative real numbers $a,b,c$ satisfying $a+b+c=1$.

Topic: Disuguaglianze Metodo: Estremalità, Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica, Stima Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

La k più piccola per una disuguaglianza ciclica a tre variabili

Trovare il valore più grande del numero reale $k$ in modo tale che l’ineguaglianza $\frac{a}{1+9bc+k(b-c{)}^2}+\frac{b}{1+9ca+k(c-a{)}^2}+\frac{c}{1+9ab+k(a-b{)}^2}\ge \frac{1}{2}$ sia valida per tutti i numeri reali non negativi $a,b,c$ che soddisfano $a+b+c=1$.

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