Japan Mathematical Olympiad 2014 — Yosen (Preliminary)

Two internally tangent circles; PQ=QR, radius 9; find PQ

Circle $C_1$ contains circle $C_2$ internally, with the two circles internally tangent. Let $O$ be the centre of $C_2$. Let $A$ be the point of internal tangency of $C_1$ and $C_2$. Let $P$ be a point on $C_1$. The ray from $O$ through $P$ meets $C_2$ at point $Q$ (so $Q$ lies between $O$ and $P$). The tangent to $C_1$ at $A$ meets the line $OP$ extended beyond $P$ at point $R$. Given that $PQ=QR$ and that the radius of $C_2$ is $9$, find the length of segment $PQ$. (Here $\overline{XY}$ denotes the length of segment $XY$.)

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: 3 Fonte: apri PDF

Due cerchi interamente tangenti; PQ=QR, raggio 9; trovare PQ

Circolo $C_1$ contiene circolo $C_2$ internamente, con i due cerchi tangenti internamente. Il $O$ deve essere il centro di $C_2$. Il punto di tangenza interna di $C_1$ e $C_2$ è $A$. Il punto $P$ deve essere un punto su $C_1$. Il raggio da $O$ a $P$ incontra $C_2$ al punto $Q$ (così $Q$ si trova tra $O$ e $P$). La tangente di $C_1$ a $A$ risponde alla linea $OP$ estesa oltre $P$ al punto $R$. Dato che $PQ=QR$ e che il raggio di $C_2$ è $9$, si trova la lunghezza del segmento $PQ$. (Qui $\overline{XY}$ indica la lunghezza del segmento $XY$.)

Risposta: 3 src_jmo24yq_yosen__Q01

Regular octagon vertices labelled 1–8; count arrangements avoiding consecutive-value neighbors

A regular octagon has its $8$ vertices each labelled with a distinct integer chosen from $1$ to $8$ (each integer used exactly once). Count the number of such labellings satisfying both of the following conditions. (Labellings that differ only by rotation or reflection are still counted as distinct.) \begin{itemize} \item The integers written at any two adjacent vertices (connected by a side) are never consecutive integers. \item The integers written at any two vertices connected by a \emph{short diagonal} (skipping exactly one vertex) are never consecutive integers. \end{itemize}

Topic: Combinatoria Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 576 Fonte: apri PDF

vertici di ottagoni regolari etichettati 18; ordini di conteggio che evitano vicini di valore consecutivo

Un ottagono regolare ha i suoi vertici $8$ ognuno etichettato con un numero intero distinto scelto da $1$ a $8$ (ogni numero intero usato esattamente una volta). Contare il numero di tali etichette che soddisfano entrambe le seguenti condizioni. (Le etichette che differiscono solo per rotazione o riflessione sono ancora contate come distinte.) \begin{itemize} \item I numeri interi scritti in due vertici adiacenti (connessi da un lato) non sono mai numeri interi consecutivi. \item I numeri interi scritti in due vertici collegati da una diagonale breve non sono mai numeri interi consecutivi. # Finire #

Risposta: 576 src_jmo24yq_yosen__Q02

Sum of 1/(d+sqrt(10)) over all positive divisors d of 10

Compute the sum ${\sum }_{d\mid 10}\frac{1}{d+\sqrt{10}}$ where the sum runs over all positive divisors $d$ of $10$.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Simmetria, Telescoping Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: $\frac{3}{16\sqrt{7}}$ Fonte: apri PDF

Summa di 1/(d+sqrt(10)) su tutti i divisori positivi d di 10

Calcolare la somma ${\sum }_{d\mid 10}\frac{1}{d+\sqrt{10}}$ in cui la somma corre su tutti i divisori positivi $d$ di $10$.

Risposta: \dfrac{3}{16\sqrt{7}} src_jmo24yq_yosen__Q03

Six concyclic points; three concurrent chords; find FA given five arc-chord lengths

Six points $A,B,C,D,E,F$ lie on a circle in this cyclic order. The diagonals $AD$, $BE$, $CF$ all pass through a single common interior point. Given $AB=1$, $BC=2$, $CD=3$, $DE=4$, $EF=5$, find the length $FA$. (Here $\overline{XY}$ denotes the length of segment $XY$.)

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: $\frac{15}{8}$ Fonte: apri PDF

Sei punti conciclici; tre accordi simultanei; trovare FA dati cinque lunghezze di corda d’arco

Sei punti $A,B,C,D,E,F$ si trovano su un cerchio in questo ordine ciclico. I diagonali $AD$, $BE$, $CF$ passano tutti attraverso un unico punto interno comune. Se si dà $AB=1$, $BC=2$, $CD=3$, $DE=4$, $EF=5$, si trova la lunghezza $FA$. (Qui $\overline{XY}$ indica la lunghezza del segmento $XY$.)

Risposta: \dfrac{15}{8} src_jmo24yq_yosen__Q04

Sum of products of trinomial coefficients over triples (a,b,c) with a+b+c=5

For all triples $(a,b,c)$ of non-negative integers satisfying $a+b+c=5$, compute ${\sum }_{\begin{array}{c}a,b,c\ge 0\\ a+b+c=5\end{array}}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{a}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{b}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{c}\right).$ The answer should be expressed as a numerical value without a calculator.

Topic: Combinatoria, Algebra Metodo: Doppio conteggio, Conteggio Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Algebra e Analisi Risposta: 2349060 Fonte: apri PDF

Summa dei prodotti dei coefficienti trinomiali su tripli (a,b,c) con a+b+c=5

Per tutti i triples $(a,b,c)$ di numeri interi non negativi che soddisfano $a+b+c=5$, calcolare ${\sum }_{\begin{array}{c}a,b,c\ge 0\\ a+b+c=5\end{array}}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{a}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{b}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{c}\right).$ La risposta deve essere espressa come valore numerico senza calcolatore.

Risposta: 2349060 src_jmo24yq_yosen__Q05

Two blackboards with distinct integers from 2–20; always pairable within 1; maximise product of sizes

Blackboard $A$ and blackboard $B$ each contain some distinct integers chosen from $\{2,3,\dots ,20\}$. It is given that no matter how one attempts to pair each integer on board $A$ with a distinct integer on board $B$ such that the two paired integers differ by at most $1$, this pairing is always possible (i.e.\ a perfect matching always exists under the difference-at-most-$1$ constraint). Under this condition, find the maximum possible value of the product $|A|\times |B|$, where $|A|$ and $|B|$ denote the number of integers on boards $A$ and $B$ respectively.

Topic: Combinatoria Metodo: Estremalità, Casework Abilita: Modellizzazione, Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 65 Fonte: apri PDF

Due tavole nere con numeri interi distinti da 220; sempre abbinate all’interno di 1; massimizzazione del prodotto delle dimensioni

Il cartone $A$ e il cartone $B$ contengono ciascuno dei numeri interi distinti scelti tra $\{2,3,\dots ,20\}$. È dato che non importa come si tenta di abbinare ogni numero intero a bordo $A$ con un numero intero distinto a bordo $B$ in modo tale che i due numeri interi abbinati differiscano di almeno $1$, questa abbinamento è sempre possibile (cioè\ un abbinamento perfetto esiste sempre sotto la restrizione di differenza-al-massimo-$1$). In questa condizione, trovare il valore massimo possibile del prodotto $|A|\times |B|$, dove $|A|$ e $|B|$ indicano rispettivamente il numero di integri sulle tavole $A$ e $B$.

Risposta: 65 src_jmo24yq_yosen__Q06

Committee of 4 with 4 positions; each member assigned 2 distinct positions; count assignments

A student committee has $4$ members and $4$ positions (roles). Each committee member is assigned exactly $2$ of the $4$ positions. Different members must be assigned different pairs of positions (no two members hold the same set of two positions). Each member is happy to be assigned any pair of positions. In how many ways can all $4$ positions be distributed among the $4$ members so that every member receives exactly $2$ positions and no two members receive the same pair?

Topic: Combinatoria Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 936 Fonte: apri PDF

Comitato di 4 persone con 4 posizioni; a ciascun membro sono assegnate 2 posizioni distinte; incarichi di conteggio

Un comitato studentesco ha membri $4$ e posizioni (rolle) $4$. Ogni membro del comitato è assegnato esattamente $2$ delle posizioni $4$. A diversi membri devono essere assegnate diverse coppie di posizioni (nessun membro detiene la stessa serie di due posizioni). Ogni membro è felice di ricevere una coppia di posizioni. In quanti modi tutte le posizioni $4$ possono essere distribuite tra i membri $4$ in modo tale che ogni membro riceva esattamente le posizioni $2$ e nessun membro riceva la stessa coppia?

Risposta: 936 src_jmo24yq_yosen__Q07

For each n≤1000, count m≤1000 with floor(m/n) odd; find maximum count over all n

For positive integers $m$ and $n$, let $\lfloor \frac{m}{n}\rfloor$ denote the floor of $\frac{m}{n}$. For a fixed positive integer $n\le 1000$, let $f(n)$ be the number of positive integers $m\le 1000$ for which $\lfloor \frac{m}{n}\rfloor$ is odd. Find the maximum value of $f(n)$ over all positive integers $n\le 1000$.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Lettura attenta, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 939 Fonte: apri PDF

Per ogni n≤1000, contare m≤1000 con pavimento(m/n) odd; trovare il conteggio massimo su tutte le n

Per gli integri positivi $m$ e $n$, $\lfloor \frac{m}{n}\rfloor$ indica il piano di $\frac{m}{n}$. Per un intero positivo fisso $n\le 1000$, $f(n)$ è il numero di interi positivi $m\le 1000$ per i quali $\lfloor \frac{m}{n}\rfloor$ è pari. Trova il valore massimo di $f(n)$ su tutti gli integri positivi $n\le 1000$.

Risposta: 939 src_jmo24yq_yosen__Q08

Square ABCD diagonal midpoint O; points P,Q,R,S on sides; OP=3, OQ=OR=4; find XY

Square $ABCD$ has diagonals meeting at $O$. Points $P,Q,R,S$ lie on sides $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ respectively. It is given that $OP=3$ and $OQ=OR=4$. The line through $C$ and $D$ meets the line through $Q$ and $R$ at a point; the line through $B$ and $C$ meets the line through $R$ and $S$ at another point; these two intersection points are $X$ and $Y$ respectively. Find the length of segment $XY$. (Here $\overline{XY}$ denotes the length of segment $XY$.)

Topic: Geometria piana, Geometria analitica Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: $\frac{60}{23}$ Fonte: apri PDF

Punto medio diagonale ABCD quadrato O; punti P,Q,R,S sui lati; OP=3, OQ=OR=4; trovare XY

Il quadrato $ABCD$ ha diagonali che si incontrano a $O$. I punti $P,Q,R,S$ si trovano rispettivamente sui lati $AB$, $BC$, $CD$ e $DA$. È dato che $OP=3$ e $OQ=OR=4$. La linea attraverso $C$ e $D$ incontra la linea attraverso $Q$ e $R$ in un punto; la linea attraverso $B$ e $C$ incontra la linea attraverso $R$ e $S$ in un altro punto; questi due punti di intersezione sono rispettivamente $X$ e $Y$. Trova la lunghezza del segmento $XY$. (Qui $\overline{XY}$ indica la lunghezza del segmento $XY$.)

Risposta: \dfrac{60}{23} src_jmo24yq_yosen__Q09

55×55 grid, colour operations; minimum operations to achieve prescribed black/white pattern

Consider a $55\times 55$ grid of cells. An \emph{operation} consists of: choosing a rectangular sub-grid (one or more complete rows and columns), then painting every cell in that rectangle a single colour (all black or all white). Starting from the state where all cells are white, find the minimum number of operations needed to reach a configuration in which all of the following three conditions hold: \begin{itemize} \item All cells in the leftmost column are black. \item Every row that contains at least one white cell also contains a black cell adjacent (sharing a side) to some white cell. \item Every white cell is adjacent to at least one black cell. \end{itemize}

Topic: Combinatoria Metodo: Invarianti, Estremalità Abilita: Modellizzazione, Ragionamento geometrico, Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 784 Fonte: apri PDF

55×55 griglia, operazioni a colori; operazioni minime per ottenere il modello nero/bianco prescritto

Considera una griglia di celle $55\times 55$. L’operazione \emph{} consiste nel: scegliere una sottogriglia rettangolare (una o più righe e colonne complete), poi dipingere ogni cella in quel rettangolo in un unico colore (intero nero o tutto bianco). Partendo dallo stato in cui tutte le celle sono bianche, trovare il numero minimo di operazioni necessarie per raggiungere una configurazione in cui tutte le seguenti tre condizioni sono valide: \begin{itemize} \item Tutte le celle nella colonna più sinistra sono nere. \item Ogni riga che contiene almeno una cellula bianca contiene anche una cellula nera adiacente (con un lato condiviso) a qualche cellula bianca. Ogni cellula bianca è adiacente ad almeno una cellula nera. # Finire #

Risposta: 784 src_jmo24yq_yosen__Q10

Fill 6×6 array with integers 1–6; two compositional conditions; count valid arrays

Write an integer from $1$ to $6$ in each cell of a $6\times 6$ array $(a_{i,j})$ (where $1\le i,j\le 6$), with repetition allowed. For each row $i$, define the function $f_i:\{1,\dots ,6\}\to \{1,\dots ,6\}$ by $f_i(j)=a_{i,j}$. Count the number of ways to fill the array so that both of the following conditions hold for all valid indices: \begin{itemize} \item For every $i$ with $1\le i\le 6$: $f_i(f_i(j))=i$ for all $j$ with $1\le j\le 6$. \item For every $i,k$ with $1\le i,k\le 6$: $f_{f_i(k)}(j)=f_i(f_k(j))$ for all $j$ with $1\le j\le 6$. \end{itemize}

Topic: Combinatoria, Algebra Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Astrazione, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Algebra e Analisi Risposta: 122 Fonte: apri PDF

Fill 6×6 array con numeri interi 16; due condizioni di composizione; contare array validi

Scrivere un numero intero da $1$ a $6$ in ogni cella di un array $6\times 6$ $(a_{i,j})$ (dove $1\le i,j\le 6$), con la ripetizione consentita. Per ogni riga $i$, definire la funzione $f_i:\{1,\dots ,6\}\to \{1,\dots ,6\}$ con $f_i(j)=a_{i,j}$. Conteggi il numero di modi per riempire la matrice in modo che entrambe le seguenti condizioni si applichino a tutti gli indici validi: \begin{itemize} \item Per ogni $i$ con $1\le i\le 6$: $f_i(f_i(j))=i$ per tutti $j$ con $1\le j\le 6$. \item Per ogni $i,k$ con $1\le i,k\le 6$: $f_{f_i(k)}(j)=f_i(f_k(j))$ per tutti $j$ con $1\le j\le 6$. # Finire #

Risposta: 122 src_jmo24yq_yosen__Q11

Find largest m so that 2m indices guarantee product-sum bound 1/2.014

Find the largest positive integer $m$ satisfying the following condition: there exist $2m$ integers $i_1,\dots ,i_m$ and $j_1,\dots ,j_m$ (not necessarily distinct), each between $1$ and $1000$ inclusive, such that for every sequence of non-negative real numbers $a_1,\dots ,a_{1000}$ with $a_1+a_2+\cdots +a_{1000}=1$, $a_{i_1}{a}_{j_1}+a_{i_2}{a}_{j_2}+\cdots +a_{i_m}{a}_{j_m}\le \frac{1}{2.014}.$

Topic: Disuguaglianze, Algebra Metodo: Estremalità, Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica, Astrazione, Stima Area: Algebra e Analisi Risposta: 496503 Fonte: apri PDF

Ricerca il più grande m in modo che gli indici 2m garantiscano un limite di somma del prodotto 1/2.014

Trova il più grande intero positivo $m$ che soddisfi la seguente condizione: esistono $2m$ enti $i_1,\dots ,i_m$ e $j_1,\dots ,j_m$ (non necessariamente distinti), ciascuno tra $1$ e $1000$ inclusi, in modo che per ogni sequenza di numeri reali non negativi $a_1,\dots ,a_{1000}$ con $a_1+a_2+\cdots +a_{1000}=1$, $a_{i_1}{a}_{j_1}+a_{i_2}{a}_{j_2}+\cdots +a_{i_m}{a}_{j_m}\le \frac{1}{2.014}.$

Risposta: 496503 src_jmo24yq_yosen__Q12