Japan Mathematical Olympiad 2015 — Honsen (Final)

Find all positive integers n making 10^n/(n^3+n^2+n+1) an integer

Find all positive integers $n$ such that $\frac{10^n}{n^3+n^2+n+1}$ is an integer.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Trovare tutti gli integri positivi n rendendo 10^n/(n^3+n^2+n+1) un intero

Trovare tutti gli integri positivi $n$ in modo che $\frac{10^n}{n^3+n^2+n+1}$ sia un intero.

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Checkers on triangulated hexagon: find minimum moves to reach any vertex

Let $n$ be a positive integer. A regular hexagon $ABCDEF$ with side length $n$ is divided into unit equilateral triangles by lines parallel to its sides. A checker is placed at a point $P$ strictly inside the hexagon (not on the boundary). The checker can jump to one of 4 (out of 6) vertices of the unit triangle that contains $P$. For each length-1 edge $PQ$ of the triangulation, the checker can move from $P$ to $Q$ but cannot move from $Q$ to $P$. (Here, $P$ can reach $Q$ in one move means $P$ is a vertex of some unit triangle and $Q$ is one of the 4 allowed vertices of that triangle.) No matter how the triangulation directions are assigned, there always exists a point $k$ on the triangulation grid from which any other grid point can be reached. Find the minimum value of such $k$.

Topic: Combinatoria Metodo: Estremalità, Grafi, Invarianti Abilita: Modellizzazione, Ragionamento geometrico, Astrazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Controlli sull’esagono triangolato: trovare movimenti minimi per raggiungere qualsiasi vertice

$n$ sia un numero intero positivo. Un esagono regolare $ABCDEF$ con lunghezza laterale $n$ è diviso in triangoli equilaterali unitari con linee parallele ai suoi lati. Un controllore è posizionato in un punto $P$ rigorosamente all’interno dell’esagono (non sul confine). Il controllatore può saltare su uno dei 4 vertici del triangolo unitario che contiene $P$. Per ciascun bordo $PQ$ di lunghezza-1 della triangolazione, il controllore può passare da $P$ a $Q$, ma non può passare da $Q$ a $P$. (Qui, $P$ può raggiungere $Q$ in una mossa significa $P$ è un vertice di un triangolo unitario e $Q$ è uno dei 4 vertici consentiti di quel triangolo.) Indipendentemente da come le direzioni di triangolazione sono assegnate, esiste sempre un punto $k$ sulla griglia di triangolazione da cui si può raggiungere qualsiasi altro punto di griglia. Trova il valore minimo di tale $k$.

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Ascending sequences of positive integers and multiples of primes

A sequence of positive integers $\{a_n\}$ $(n=1,2,\dots )$ is called ascending if, for every positive integer $n$, $a_n<a_{n+1}\text{and}{a}_n\mid 2a_{n+1}.$

(1) Suppose $\{a_n\}$ is ascending and $p$ is a prime greater than $a_1$. Show that some term of the sequence is divisible by $p$.

(2) Let $p$ be an odd prime. Show that there exists an ascending sequence $\{a_n\}$ that contains no multiple of $p$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Induzione, Congruenze, method_casework Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Astrazione, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Sequenze ascendenti di numeri interi positivi e multipli di numeri primi

Una sequenza di interi positivi $\{a_n\}$ $(n=1,2,\dots )$ si chiama ascendente se, per ogni intero positivo $n$, $a_n<a_{n+1}\text{and}{a}_n\mid 2a_{n+1}.$

(1) Supponiamo che $\{a_n\}$ sia in ascesa e $p$ sia un primo maggiore di $a_1$. Indicare che un certo termine della sequenza è divisibile per $p$.

(2) $p$ sia un primo pari. Indicare che esiste una sequenza ascendente $\{a_n\}$ che non contiene un multiple di $p$.

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Four concyclic points from incircle and circumcircle constructions on triangle ABC

Let $ABC$ be a scalene (non-isosceles) triangle, $\Gamma$ its circumcircle, and $I$ its incenter. Let the incircle of $△ABC$ touch sides $AB$ and $AC$ at $D$ and $E$, respectively. Let $P$ be the second intersection (other than $B$) of the circumcircle of $△BEI$ with $\Gamma$. Let $Q$ be the second intersection (other than $C$) of the circumcircle of $△CDI$ with $\Gamma$. Prove that the four points $D$, $E$, $P$, $Q$ are concyclic.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Quattro punti conciclici dalle costruzioni incircolare e circoncircolare sul triangolo ABC

Il $ABC$ deve essere un triangolo scaleno (non isosceles), $\Gamma$ il suo circoncircolo e $I$ il suo incentro. Lascia che l’incircolo dei lati $△ABC$ tocchi $AB$ e $AC$ rispettivamente a $D$ e $E$. Il $P$ deve essere la seconda intersezione (diversi da $B$) del circoncircolo di $△BEI$ con $\Gamma$. Il $Q$ deve essere la seconda intersezione (diversi da $C$) del circoncircolo di $△CDI$ con $\Gamma$. Provare che i quattro punti $D$, $E$, $P$, $Q$ sono conciclici.

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Max number of a×a sub-grids with exactly a black cells among n chosen

Let $a$ be a positive integer. Prove that for all sufficiently large integers $n$, the following holds:

Choose $n$ cells from an infinite grid and color them black. Let $K$ be the number of $a\times a$ sub-grids (axis-aligned squares of side $a$) that contain exactly $a$ black cells. Then the maximum possible value of $K$ is $a(n+1-a)$.

(Here, “holds for all sufficiently large $n$” means there exists an integer $N$ such that the statement holds for every $n\ge N$.)

Topic: Combinatoria Metodo: Estremalità, Doppio conteggio, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Modellizzazione, Stima, Astrazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Numero massimo di a×una sotto-griglia con esattamente una cellula nera tra n scelti

$a$ sia un numero intero positivo. Provare che per tutti gli integri sufficientemente grandi $n$ vale quanto segue:

Selezionare le celle $n$ da una griglia infinita e colorarle in nero. Il $K$ è il numero di $a\times a$ sottogridi (quadrati laterali allineati all’asse $a$) che contengono esattamente $a$ cellule nere. In questo caso, il valore massimo possibile di $K$ è $a(n+1-a)$.

(Qui, “rende per tutti $n$ sufficientemente grandi” significa che esiste un numero intero $N$ tale che l’indicazione rende per ogni $n\ge N$.)

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