Japan Mathematical Olympiad 2015 — Yosen (Preliminary)

Count divisors of 6000 that are not perfect squares

How many positive divisors of $6000$ are not perfect squares?

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 34 Fonte: apri PDF

Contare divisori di 6000 che non sono quadrati perfetti

Quanti divisori positivi di $6000$ non sono quadrati perfetti?

Risposta: 34 src_jmo25yq_yosen__Q01

Find BC given two tangents meet at P and AB parallel to CP

Three points $A$, $B$, $C$ lie on a circle. Let $P$ be the intersection of the tangents to the circle at $B$ and at $C$. Suppose that lines $AB$ and $CP$ are parallel, $AB=3$, and $BP=4$. Find the length $BC$.

(Here $XY$ denotes the length of segment $XY$.)

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: $2\sqrt{3}$ Fonte: apri PDF

Ricerca BC dato che due tangenti si incontrano a P e AB parallele a CP

Tre punti $A$, $B$ e $C$ si trovano su un cerchio. $P$ è l’intersezione dei tangenti al cerchio a $B$ e a $C$. Supponiamo che le linee $AB$ e $CP$ siano parallele, $AB=3$ e $BP=4$. Trova la lunghezza $BC$.

(Qui $XY$ indica la lunghezza del segmento $XY$.)

Risposta: 2\sqrt{3} src_jmo25yq_yosen__Q02

Minimize a+b+c+d+e under a chain of strict inequalities involving squares and cubes

Positive integers $a,b,c,d,e$ satisfy $a<b<c<d<e<a^2<b^2<c^2<d^2<e^2<b^3<c^3<d^3<e^3.$ Find the minimum possible value of $a+b+c+d+e$.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Estremalità, Casework Abilita: Lettura attenta, Manipolazione algebrica, Stima Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 35 Fonte: apri PDF

Minimizzare a+b+c+d+e sotto una catena di rigide disuguaglianze che coinvolgono quadrati e cubi

I numeri interi positivi $a,b,c,d,e$ soddisfano $a<b<c<d<e<a^2<b^2<c^2<d^2<e^2<b^3<c^3<d^3<e^3.$ Trovare il valore minimo possibile di $a+b+c+d+e$.

Risposta: 35 src_jmo25yq_yosen__Q03

Count 3×3 fillings with 1–9 where every row and column sum is divisible by 3

In how many ways can we write the integers $1,2,\dots ,9$ (each exactly once) into the cells of a $3\times 3$ grid so that the sum of the three numbers in each row and each column is divisible by $3$? (Arrangements related by rotation or reflection are counted as distinct.)

Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio, Congruenze, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 5184 Fonte: apri PDF

Contare 3×3 riempimenti con 19 in cui ogni somma di righe e colonne è divisibile per 3

In quanti modi possiamo scrivere i numeri interi $1,2,\dots ,9$ (ciascuno esattamente una volta) nelle celle di una griglia $3\times 3$ in modo che la somma dei tre numeri in ogni riga e ogni colonna sia divisibile da $3$? (Le disposizioni relative alla rotazione o alla riflessione si contano come distinte.)

Risposta: 5184 src_jmo25yq_yosen__Q04

Express a telescoping product quotient in the form a+b√2

Express the following quantity in the form $a+b\sqrt{2}$, where $a$ and $b$ are rational numbers: $\frac{(1\times 4+\sqrt{2})(2\times 5+\sqrt{2})\cdots (10\times 13+\sqrt{2})}{(2\times 2-2)(3\times 3-2)\cdots (11\times 11-2)}.$

Topic: Algebra Metodo: Telescoping, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi Risposta: $11+5\sqrt{2}$ Fonte: apri PDF

Esprimere un quotiente del prodotto del telescopio nella forma a+b√2

Esprimere la seguente quantità nella forma $a+b\sqrt{2}$, dove $a$ e $b$ sono numeri razionali: $\frac{(1\times 4+\sqrt{2})(2\times 5+\sqrt{2})\cdots (10\times 13+\sqrt{2})}{(2\times 2-2)(3\times 3-2)\cdots (11\times 11-2)}.$

Risposta: 11 + 5\sqrt{2} src_jmo25yq_yosen__Q05

Find minimum a+b+c for positive integers satisfying four GCD conditions

Positive integers $a,b,c$ satisfy all four of the following conditions: \begin{itemize} \item $\gcd (a,b,c)=1$, \item $\gcd (a,b)+c>1$, \item $\gcd (b,c)+a>1$, \item $\gcd (c,a)+b>1$. \end{itemize} Find the minimum value of $a+b+c$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Estremalità, Casework Abilita: Lettura attenta, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 30 Fonte: apri PDF

Ricerca il minimo a+b+c per i numeri interi positivi che soddisfano quattro condizioni GCD

I numeri interi positivi $a,b,c$ soddisfano tutte e quattro le seguenti condizioni: \begin{itemize} \item $\gcd (a,b,c)=1$, \item $\gcd (a,b)+c>1$, \item $\gcd (b,c)+a>1$, \item $\gcd (c,a)+b>1$. \end{itemize} Trova il valore minimo di $a+b+c$.

Risposta: 30 src_jmo25yq_yosen__Q06

Count lines through lattice points in 20×15 grid with at most one interior lattice point on segment from origin

Consider lattice points $(m,n)$ with $m=1,2,\dots ,20$ and $n=1,2,\dots ,15$. For each such point, consider the line segment from the origin $O=(0,0)$ to $(m,n)$. Call such a segment \emph{good} if the open segment from $O$ to $(m,n)$ contains at most one lattice point (i.e.\ a point with both coordinates positive integers). How many good segments are there? (Here a \emph{lattice point} is a point both of whose coordinates are integers; segments parallel to the coordinate axes are excluded.)

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio, Congruenze Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 212 Fonte: apri PDF

Contare le linee attraverso i punti della griglia nella griglia 20 ×15 con al massimo un punto della griglia interna sul segmento di origine

Considerare i punti della griglia $(m,n)$ con $m=1,2,\dots ,20$ e $n=1,2,\dots ,15$. Per ciascun punto, si considera il segmento di linea dall’origine $O=(0,0)$ a $(m,n)$. Chiamare tale segmento \emph{good} se il segmento aperto da $O$ a $(m,n)$ contiene al massimo un punto reticolo (cioè\ un punto con entrambe le coordinate interi positivi). Quanti buoni segmenti ci sono? (Qui un punto di laminazione è un punto le cui coordinate sono enteri; i segmenti paralleli agli assi di coordinate sono esclusi.)

Risposta: 212 src_jmo25yq_yosen__Q07

Find PQ where Q is the second intersection of circumcircles of triangles PAC and PBD

Five points $A,B,C,D,P$ lie in a plane, with $A,B,C,D$ collinear in that order. We have $AB=BC=CD=6$, $PB=5$, $PC=7$. Let $Q$ be the intersection of the circumcircle of $△PAC$ and the circumcircle of $△PBD$ other than $P$. Find the length $PQ$.

(Here $XY$ denotes the length of segment $XY$.)

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: $\frac{55\sqrt{7}}{14}$ Fonte: apri PDF

Ricerca PQ dove Q è la seconda intersezione dei circoncircoli dei triangoli PAC e PBD

Cinque punti $A,B,C,D,P$ si trovano in un piano, con $A,B,C,D$ collineare in tale ordine. Abbiamo $AB=BC=CD=6$, $PB=5$, $PC=7$. Il $Q$ deve essere l’intersezione tra il circoncircolo di $△PAC$ e il circoncircolo di $△PBD$ diverso da $P$. Trova la lunghezza $PQ$.

(Qui $XY$ indica la lunghezza del segmento $XY$.)

Risposta: \dfrac{55\sqrt{7}}{14} src_jmo25yq_yosen__Q08

Find maximum number of distinct length-2015 subsequences of a sequence with each integer 1–2015 appearing three times

Consider a sequence of $3\times 2015=6030$ integers in which each of the integers $1,2,\dots ,2015$ appears exactly three times. A \emph{half-sequence} is an ordered selection of $2015$ terms from this sequence (preserving order) thought of as a subsequence. Two half-sequences are considered the same if they consist of the same integers in the same order (even if chosen from different positions). Over all choices of the original sequence, find the maximum number of distinct half-sequences.

Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio, Doppio conteggio, Estremalità Abilita: Conteggio sistematico, Astrazione, Riconoscimento di pattern Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4030}{2015}\right)-2015$ Fonte: apri PDF

Ricerca il numero massimo di subsequenze di lunghezza distinta 2015 di una sequenza con ogni numero intero 12015 che appare tre volte

Considera una sequenza di integri $3\times 2015=6030$ in cui ciascuno degli integri $1,2,\dots ,2015$ appare esattamente tre volte. Una \emph{half-sequence} è una selezione ordinata dei termini $2015$ di questa sequenza (ordine conservante) pensato come una subsequenza. Due semiseguenze sono considerate uguali se sono costituite dagli stessi numeri interi nello stesso ordine (anche se scelte da posizioni diverse). Su tutte le scelte della sequenza originale, trovare il numero massimo di semissequenze distinte.

Risposta: \binom{4030}{2015} - 2015 src_jmo25yq_yosen__Q09

Count how many times 25^2015 appears in orbit of the digit-operation starting from 25^2015

Consider the following operation on positive integers: remove the units digit $d$ of the number, and add $4d$ to the remaining number (i.e.\ if $n=10q+d$ with $0\le d\le 9$, replace $n$ by $q+4d$). For example, $7\mapsto 0+4\times 7=28$, and $139\mapsto 13+4\times 9=49$. Starting from $25^{2015}$, apply this operation $10000$ times in succession. Among the $10001$ numbers in the sequence (including the starting value $25^{2015}$), how many equal $25^{2015}$?

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Invarianti, Ricorsione Abilita: Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 4 Fonte: apri PDF

Contare quante volte 25^2015 appare in orbita dell’operazione digitali a partire dal 25^2015

Considerare la seguente operazione sui numeri interi positivi: rimuovere la cifra unità $d$ del numero e aggiungere $4d$ al numero rimanente (cioè, se $n=10q+d$ con $0\le d\le 9$, sostituire $n$ con $q+4d$). Ad esempio, $7\mapsto 0+4\times 7=28$ e $139\mapsto 13+4\times 9=49$. A partire da $25^{2015}$, applicare successivamente questa operazione $10000$ volte. Tra i numeri $10001$ della sequenza (compreso il valore di partenza $25^{2015}$), quanti sono uguali $25^{2015}$?

Risposta: 4 src_jmo25yq_yosen__Q10

Find area of triangle ABC given areas of three sub-triangles formed by arc midpoints

Let $△ABC$ be a triangle inscribed in a circle. Let $A^{\prime }$ be the midpoint of arc $BC$ not containing $A$, let $B^{\prime }$ be the midpoint of arc $CA$ not containing $B$, and let $C^{\prime }$ be the midpoint of arc $AB$ not containing $C$. The areas of $△A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$, $△A{B}^{\prime }{C}^{\prime }$, and $△A^{\prime }B{C}^{\prime }$ are $2$, $3$, and $4$, respectively. Find the area of $△ABC$.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: $\frac{288}{35}$ Fonte: apri PDF

Ricerca l’area del triangolo ABC dato alle aree di tre sotto-triangoli formati da punti di centro d’arco

Che $△ABC$ sia un triangolo inciso in un cerchio. Il $A^{\prime }$ deve essere il punto medio dell’arco $BC$ senza $A$, il $B^{\prime }$ deve essere il punto medio dell’arco $CA$ senza $B$ e il $C^{\prime }$ deve essere il punto medio dell’arco $AB$ senza $C$. Le superfici di $△A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$, $△A{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ e $△A^{\prime }B{C}^{\prime }$ sono rispettivamente $2$, $3$ e $4$. Trova la superficie di $△ABC$.

Risposta: \dfrac{288}{35} src_jmo25yq_yosen__Q11

Find maximum constant a such that any black-white colored grid always admits a·n² non-overlapping L-tromino placements

For any positive integer $n$, consider an $(n+1)\times (n+1)$ grid of unit cells, each colored black or white. We wish to place non-overlapping L-shaped trominos (each covering $3$ cells forming a $2\times 2$ square with one corner removed, i.e.\ an L-tromino) on the grid, subject to the condition that within the $2\times 2$ bounding square of each placed tromino, the $2\times 2$ region must contain both a black cell and a white cell (i.e.\ must not be monochromatic). Find the maximum real number $a$ such that, for every positive integer $n$ and every black-white coloring of the $(n+1)\times (n+1)$ grid, one can always place at least $\lfloor a{n}^2\rfloor$ such non-overlapping trominos.

(Here $[r]$ denotes the greatest integer not exceeding the real number $r$.)

Topic: Combinatoria Metodo: Estremalità, Invarianti, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Astrazione, Modellizzazione, Stima Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: $\frac{1}{36}$ Fonte: apri PDF

Ricerca una costante massima tale che ogni griglia di colore bianco e nero ammetta sempre a·n2 posizioni non sovrapposte di L-tromino

Per qualsiasi numero intero positivo $n$, considera una griglia $(n+1)\times (n+1)$ di cellule unità, ciascuna di colore nero o bianco. Desideriamo posizionare sulla griglia tromini a forma di L non sovrapposti (ciascuno coprendo cellule $3$ che formano un quadrato $2\times 2$ con un angolo rimosso, cioè\ un tromino L), a condizione che all’interno del quadrato di confine $2\times 2$ di ogni tromino posizionato, la regione $2\times 2$ contenga sia una cellula nera che una cellula bianca (cioè che\ non deve essere monocromatica). Trovare il numero reale massimo $a$ in modo tale che, per ogni numero intero positivo $n$ e per ogni colorazione in bianco e nero della griglia $(n+1)\times (n+1)$, si possa sempre posizionare almeno $\lfloor a{n}^2\rfloor$ tali tromino non sovrapposti.

(Qui $[r]$ indica il più grande numero intero non superiore al numero reale $r$.)

Risposta: \dfrac{1}{36} src_jmo25yq_yosen__Q12