Japan Mathematical Olympiad 2016 — Yosen (Preliminary)

Compute a radical of fourth powers

Compute the value of the following expression and give the answer as an integer: $\sqrt{\frac{11^4+100^4+111^4}{2}}.$

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 11221 Fonte: apri PDF

Estratto da scansione giapponese a bassa risoluzione — enunciato tradotto da verificare con la fonte.

Calcolare un radicale di quattro potenze

Calcolare il valore della seguente espressione e dare la risposta come numero intero: $\sqrt{\frac{11^4+100^4+111^4}{2}}.$

Risposta: 11221 src_jmo26yq_yosen__Q01

Count integers 1..2016 with small remainder mod 20

Among the integers from $1$ to $2016$, how many are there whose remainder upon division by $20$ is smaller than half of $16$ (that is, the remainder of the integer modulo $20$ is smaller than $\frac{16}{2}=8$)?

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 600 Fonte: apri PDF

Estratto da scansione giapponese a bassa risoluzione — enunciato tradotto da verificare con la fonte.

*Conta i numeri interi 1..2016 con mod 20 *

Tra i numeri interi da $1$ a $2016$, quanti sono i cui restanti dopo la divisione da $20$ sono inferiori alla metà di $16$ (cioè il restante del modulo intero $20$ è inferiore a $\frac{16}{2}=8$)?

Risposta: 600 src_jmo26yq_yosen__Q02

Angle of two lines in a cyclic hexagon

Let $ABCDEF$ be a hexagon inscribed in a circle. Let $P$ be the intersection of line $AB$ and line $DC$, $Q$ the intersection of line $BC$ and line $ED$, $R$ the intersection of line $CD$ and line $FE$, $S$ the intersection of line $DE$ and line $AF$, and $T$ the intersection of line $FE$ and line $CB$. It is given that $\angle BPC=50^{\circ }$, $\angle CQD=45^{\circ }$, $\angle DRE=40^{\circ }$, and $\angle ESF=35^{\circ }$. Find the size of the angle formed by the intersection of line $BE$ and line $CF$.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: $95^{\circ }$ Fonte: apri PDF

Estratto da scansione giapponese a bassa risoluzione — enunciato tradotto da verificare con la fonte.

Angolo di due linee in un esagono ciclico

Il $ABCDEF$ deve essere un esagono inciso in un cerchio. $P$ è l’intersezione della linea $AB$ e della linea $DC$, $Q$ l’intersezione della linea $BC$ e della linea $ED$, $R$ l’intersezione della linea $CD$ e della linea $FE$, $S$ l’intersezione della linea $DE$ e della linea $AF$, e $T$ l’intersezione della linea $FE$ e della linea $CB$. È dato che $\angle BPC=50^{\circ }$, $\angle CQD=45^{\circ }$, $\angle DRE=40^{\circ }$ e $\angle ESF=35^{\circ }$. Trova la dimensione dell’angolo formato dall’intersezione della linea $BE$ e della linea $CF$.

Risposta: 95^\circ src_jmo26yq_yosen__Q03

Partitions of 11x11 grid into 5 rectangles, one interior

An $11\times 11$ grid of unit cells is partitioned along the grid lines into $5$ rectangles. Among such partitions, consider those in which exactly one of the resulting rectangles does not touch the outer boundary of the grid (none of its sides lies on the outer border). How many such partitions are there? Two partitions that coincide under rotation or reflection are counted as distinct.

Topic: Combinatoria Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 32400 Fonte: apri PDF

Estratto da scansione giapponese a bassa risoluzione — enunciato tradotto da verificare con la fonte.

Partzioni della griglia 11x11 in 5 rettangoli, un interno

Una griglia $11\times 11$ di celle di unità è suddivisa lungo le linee della griglia in rettangoli $5$. Tra queste partizioni, si possono considerare quelle in cui esattamente uno dei rettangoli risultanti non tocca il confine esterno della griglia (nessuno dei suoi lati si trova sul confine esterno). Quante partizioni di questo tipo ci sono? Due partizioni che coincidono sotto rotazione o riflessione sono contate come distinte.

Risposta: 32400 src_jmo26yq_yosen__Q04

Area of triangle BCP from similar triangles

In quadrilateral $ABCD$, $AC=20$ and $AD=16$. Take a point $P$ on side $CD$. Suppose that triangle $ABP$ and triangle $ACD$ are similar (have the same shape). When the area of triangle $APD$ is $28$, find the area of triangle $BCP$.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: $\frac{63}{4}$ Fonte: apri PDF

Estratto da scansione giapponese a bassa risoluzione — enunciato tradotto da verificare con la fonte.

Area del triangolo BCP da triangoli simili

In quadrilaterali $ABCD$, $AC=20$ e $AD=16$. Prendi un punto $P$ sul lato $CD$. Supponiamo che il triangolo $ABP$ e il triangolo $ACD$ siano simili (hanno la stessa forma). Quando l’area del triangolo $APD$ è $28$, si trova l’area del triangolo $BCP$.

Risposta: \dfrac{63}{4} src_jmo26yq_yosen__Q05

Average score over all ways to circle 100 of 1..200

The integers from $1$ to $200$ are each written exactly once on separate lottery tickets, and exactly $100$ of them are circled (chosen). For such a choice, the score is defined as the sum of the circled integers minus the sum of the $100$ integers that are not circled. Compute the average of this score over all possible choices.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Doppio conteggio, Simmetria Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 670000 Fonte: apri PDF

Estratto da scansione giapponese a bassa risoluzione — enunciato tradotto da verificare con la fonte.

Punto medio su tutti i modi per circolare 100 su 1,200

I numeri interi da $1$ a $200$ sono scritti esattamente una volta su biglietti di lotteria separati, e esattamente $100$ di essi sono circolati (scelti). Per una tale scelta, il punteggio è definito come la somma dei numeri interi circondati meno la somma dei numeri interi $100$ non circondati. Calcola la media di questo punteggio su tutte le possibili scelte.

Risposta: 670000 src_jmo26yq_yosen__Q06

Minimum of sum of squares under three product equations

Real numbers $a,b,c,d$ satisfy $\{\begin{array}{l}(a+b)(c+d)=2,\\ (a+c)(b+d)=3,\\ (a+d)(b+c)=4.\end{array}$ Find the minimum possible value of $a^2+b^2+c^2+d^2$.

Topic: Algebra, Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: 7 Fonte: apri PDF

Estratto da scansione giapponese a bassa risoluzione — enunciato tradotto da verificare con la fonte.

Minimum della somma dei quadrati sotto tre equazioni di prodotto

Numeri reali $a,b,c,d$ soddisfano $\{\begin{array}{l}(a+b)(c+d)=2,\\ (a+c)(b+d)=3,\\ (a+d)(b+c)=4.\end{array}$ Trovare il valore minimo possibile di $a^2+b^2+c^2+d^2$.

Risposta: 7 src_jmo26yq_yosen__Q07

Length XD from incircle chord with given ratios

Let $\omega$ be the incircle of triangle $ABC$. Let $D$ be the point where side $BC$ touches $\omega$, and let $X$ be the second intersection of line $AD$ with $\omega$ (other than $D$). Given that $AX:XD:BC=1:3:16$ and that the radius of $\omega$ is $1$, find the length of segment $XD$.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: $\frac{3\sqrt{10}}{5}$ Fonte: apri PDF

Estratto da scansione giapponese a bassa risoluzione — enunciato tradotto da verificare con la fonte.

Lunghezza XD da un’accordazione incircolare con dati relativi

$\omega$ sia l’incircolo del triangolo $ABC$. $D$ sia il punto in cui il lato $BC$ tocca $\omega$, e $X$ sia il secondo incrocio della linea $AD$ con $\omega$ (diversi da $D$). Dato che $AX:XD:BC=1:3:16$ e che il raggio di $\omega$ è $1$, si trova la lunghezza del segmento $XD$.

Risposta: \dfrac{3\sqrt{10}}{5} src_jmo26yq_yosen__Q08

Count pairs (a,b) with two divisibility conditions

How many pairs of integers $(a,b)$ with $1\le a,b\le 2015$ are there such that $a$ is a multiple of $b+1$ and $2016-a$ is a multiple of $b$?

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio, Casework Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 1980 Fonte: apri PDF

Estratto da scansione giapponese a bassa risoluzione — enunciato tradotto da verificare con la fonte.

Coppie di conteggio (a,b) con due condizioni di divisibilità

Quante coppie di integri $(a,b)$ con $1\le a,b\le 2015$ esistono tali che $a$ sia un multiple di $b+1$ e $2016-a$ sia un multiple di $b$?

Risposta: 1980 src_jmo26yq_yosen__Q09

Minimum travel distance to visit 2016 points on a circle

On a circle there are $2016$ flags placed at equally spaced positions ($2016$ points, adjacent ones at arc-distance $1$). Person A moves along the circle and wants to take down all the flags. For the worst case over A’s starting position, find the minimum total distance A must travel so as to be able to take down all the flags. A does not need to return to the starting point. (The answer has the form below.)

Topic: Combinatoria, Geometria piana Metodo: Estremalità, Casework Abilita: Modellizzazione, Stima Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Risposta: $1-\frac{1}{3\cdot 2^{1008}-2}$ Fonte: apri PDF

Estratto da scansione giapponese a bassa risoluzione — enunciato tradotto da verificare con la fonte.

Minimum di distanza da percorrere per visitare i punti 2016 su un cerchio

Su un cerchio ci sono bandiere $2016$ posizionate in posizioni spaziali uguali (punti $2016$, quelli adiacenti a distanza d’arco $1$). La persona A si muove lungo il cerchio e vuole abbattere tutte le bandiere. Per il peggiore caso sopra la posizione di partenza di A, trovare la distanza totale minima A deve percorrere in modo da poter abbattere tutte le bandiere. A non deve tornare al punto di partenza. (La risposta è riportata sotto.)

Risposta: 1 - \dfrac{1}{3 \cdot 2^{1008} - 2} src_jmo26yq_yosen__Q10

Count permutations of 1..1000 with step a or b condition

How many pairs of integers $(a,b)$ with $a,b\ge 2$ are there such that there exists a sequence $x_1,x_2,\dots ,x_{1000}$ satisfying both of the following conditions? (i) $x_1,x_2,\dots ,x_{1000}$ is a rearrangement of $1,2,\dots ,1000$. (ii) For every integer $i$ with $1\le i\le 1000$ (indices taken cyclically), either $x_{i+1}=x_i+a$ or $x_{i+1}=x_i-b$ holds.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Invarianti, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 2940 Fonte: apri PDF

Estratto da scansione giapponese a bassa risoluzione — enunciato tradotto da verificare con la fonte.

Conteggi permutazioni di 1..1000 con condizione di fase a o b

Quante coppie di integri $(a,b)$ con $a,b\ge 2$ esistono tali che esista una sequenza $x_1,x_2,\dots ,x_{1000}$ che soddisfa entrambe le seguenti condizioni? (i) $x_1,x_2,\dots ,x_{1000}$ è una riorganizzazione di $1,2,\dots ,1000$. (ii) Per ogni numero intero $i$ con $1\le i\le 1000$ (indici presi ciclicamente), $x_{i+1}=x_i+a$ o $x_{i+1}=x_i-b$ è tenuto.

Risposta: 2940 src_jmo26yq_yosen__Q11

Max honest count identifiable via villager liar-count reports

There are villagers numbered $1$ to $2015$ living in a village; among the $2016$ villagers some are honest and some are liars, with at least one honest villager. An honest villager always tells the truth, while a liar may state either truth or falsehood (you do not know which each liar does, nor who is honest). You know that the number of honest villagers is exactly $T$. Each villager knows, for every other villager, whether that villager is honest or a liar. On any day you may secretly give an instruction to one chosen villager; on the next day that villager writes down the count of liars among a specified set of villagers and, on the evening of the $i$-th day, delivers the paper to villager $i-k_i$ (with $1\le i\le 2016$). An honest villager writes the true count; a liar may write any number. Determine the maximum value of $T$ for which there is a strategy that, no matter how the liars behave, lets you correctly identify all of the honest villagers. (Note: parts of this problem’s mechanics are partly illegible in the scan; the final answer is $503$.)

Topic: Combinatoria, Logica Metodo: Estremalità, Casework Abilita: Modellizzazione, Astrazione, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 503 Fonte: apri PDF

Estratto da scansione giapponese a bassa risoluzione — enunciato tradotto da verificare con la fonte.

Maxime conteggio onesto identificabile attraverso i rapporti di contato di bugiardi del villaggio

Ci sono abitanti di villaggio numerati da $1$ a $2015$ che vivono in un villaggio; tra i abitanti di villaggio $2016$ alcuni sono onesti e altri sono bugiardi, con almeno un abitante onesto. Un cittadino onesto dice sempre la verità, mentre un bugiardo può dire la verità o la menzogna (non sai cosa fa ogni bugiardo, né chi è onesto). Sapete che il numero di abitanti onesti è esattamente $T$. Ogni cittadino sa, per ogni cittadino, se quel cittadino è onesto o un bugiardo. Ogni giorno potete dare segretamente un’istruzione a un abitante del villaggio scelto; il giorno successivo quel abitante scrive il numero di bugiardi tra un gruppo specifico di abitanti del villaggio e, la sera del $i$-th giorno, consegna la carta al abitante del villaggio $i-k_i$ (con $1\le i\le 2016$). Un abitante onesto scrive il conto vero; un bugiardo può scrivere qualsiasi numero. Determina il valore massimo di $T$ per il quale esiste una strategia che, non importa come si comportino i bugiardi, ti permette di identificare correttamente tutti i villaggieri onesti. (Nota: alcune parti della meccanica di questo problema sono parzialmente illeggibili nella scansione; la risposta finale è $503$.)

Risposta: 503 src_jmo26yq_yosen__Q12