Japan Mathematical Olympiad 2017 — Honsen (Final)

lcm(a,b) never equals lcm(a+c,b+c)

Let $a,b,c$ be positive integers. Show that the least common multiple of $a$ and $b$ is not equal to the least common multiple of $a+c$ and $b+c$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

lcm(a,b) non è mai uguale a lcm(a+c,b+c)

Lasciate che $a,b,c$ siano numeri interi positivi. Indicare che il più piccolo comune di $a$ e $b$ non è uguale al più piccolo comune di $a+c$ e $b+c$.

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greedy doubling sequence is eventually constant

Let $N$ be a positive integer. Positive integers $a_1,a_2,\dots ,a_N$ are given, none of which is a multiple of $2^{N+1}$. For each integer $n\ge N+1$, define $a_n$ as follows:

Among $k=1,2,\dots ,n-1$, choose $k$ for which the remainder of $a_k$ upon division by $2^n$ is smallest, and set $a_n=2a_k$. If there are several such $k$, choose the largest of them.

Show that there exists a positive integer $M$ such that $a_n=a_M$ holds for all $n\ge M$.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Congruenze, Estremalità, Invarianti Abilita: Lettura attenta, Riconoscimento di pattern, Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

La sequenza di raddoppiamento avida è infine costante.

$N$ sia un numero intero positivo. Sono dati numeri interi positivi $a_1,a_2,\dots ,a_N$, nessuno dei quali è un multiple di $2^{N+1}$. Per ogni numero intero $n\ge N+1$, definire $a_n$ come segue:

Tra $k=1,2,\dots ,n-1$, scegli $k$ per il quale il rimanente di $a_k$ dopo la divisione da $2^n$ è più piccolo e imposta $a_n=2a_k$. Se ci sono diverse $k$, scegliere la più grande.

Indicare che esiste un intero positivo $M$ tale che $a_n=a_M$ sia valido per tutti $n\ge M$.

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A, midpoint of XY, midpoint of BC are collinear

Let $ABC$ be an acute triangle with circumcenter $O$. Let $D$, $E$, $F$ be the feet of the perpendiculars dropped from $A$, $B$, $C$ to the opposite sides, respectively, and let $M$ be the midpoint of side $BC$. Let $X$ be the intersection of line $AD$ and line $EF$, and let $Y$ be the intersection of line $AO$ and line $BC$. Let $Z$ be the midpoint of segment $XY$. Show that the three points $A$, $Z$, $M$ are collinear.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Trigonometria, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Astrazione Area: Geometria Fonte: apri PDF

A, punto medio di XY, punto medio di BC sono collineari

$ABC$ sia un triangolo acuto con il centro circundante $O$. Il $D$, $E$, $F$ sono i piedi delle perpendicolari abbassate rispettivamente da $A$, $B$, $C$ ai lati opposti e il $M$ è il punto medio del lato $BC$. Il $X$ deve essere l’intersezione della linea $AD$ e della linea $EF$, e il $Y$ deve essere l’intersezione della linea $AO$ e della linea $BC$. Il segmento $Z$ deve essere il punto medio di $XY$. Indicare che i tre punti $A$, $Z$ e $M$ sono collineari.

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daily gatherings, every pair shakes once, equal sizes

Let $n$ be an integer with $n\ge 3$. There are $n$ people, and every day a gathering attended by at least $3$ of them is held. At each gathering, every two of the participants shake hands exactly once each. After the gathering on the $n$-th day ends, it turns out that every two of the $n$ people had shaken hands exactly once each in total. Show that the same number of people attended every gathering.

Topic: Combinatoria Metodo: Doppio conteggio, Conteggio, Estremalità Abilita: Conteggio sistematico, Modellizzazione, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Incontri giornalieri, ogni coppia scuote una volta, dimensioni uguali

$n$ sia un numero intero con $n\ge 3$. Ci sono persone $n$ e ogni giorno si tiene un incontro a cui partecipano almeno $3$ di esse. A ogni riunione, tutti e due i partecipanti stringono la mano esattamente una volta. Dopo la fine della riunione del giorno 4, si scopre che ogni due persone hanno dato la mano esattamente una volta. Mostrate che a ogni riunione era presente lo stesso numero di persone.

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power sums divisible by 2017 force every term divisible

Let $x_1,x_2,\dots ,x_{1000}$ be integers such that for every positive integer $k$ with $k\le 672$, the sum $\sum _{i=1}^{1000}{x}_i^k$ is a multiple of $2017$. Show that $x_1,x_2,\dots ,x_{1000}$ are all multiples of $2017$. (Note: $2017$ is prime.)

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Congruenze, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Astrazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

somme di potenza divisibile per 2017 forza ogni termine divisibile

Lasciate che $x_1,x_2,\dots ,x_{1000}$ siano integri in modo tale che per ogni intero positivo $k$ con $k\le 672$, la somma $\sum _{i=1}^{1000}{x}_i^k$ sia un multiple di $2017$. Mostrare che $x_1,x_2,\dots ,x_{1000}$ sono tutti multipli di $2017$. (Nota: $2017$ è primo.)

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