Japan Mathematical Olympiad 2017 — Yosen (Preliminary)

Area of quadrilateral with three 30-degree angles

Quadrilateral $ABCD$ satisfies $\angle A=\angle B=\angle C=30^{\circ }$, $AB=4$, and $BC=2\sqrt{3}$. Find the area of quadrilateral $ABCD$. (If the answer contains a radical $\sqrt{XY}$, give the value $XY$ under the radical.)

Topic: Geometria piana, Trigonometria Metodo: Trigonometria, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: $\frac{3\sqrt{3}}{2}$ Fonte: apri PDF

Area quadrilaterale con tre angoli di 30 gradi

Il quadrilaterale $ABCD$ soddisfa $\angle A=\angle B=\angle C=30^{\circ }$, $AB=4$ e $BC=2\sqrt{3}$. Trova l’area del quadrilaterale $ABCD$. (Se la risposta contiene un radicale $\sqrt{XY}$, indicare il valore $XY$ sotto il radicale.)

Risposta: $\frac{3\sqrt{3}}{2}$ src_jmo27yq_yosen__Q01

Count coprime ordered factorizations a<b of 29!

How many pairs of positive integers $(a,b)$ are there such that $a<b$, $ab=29!$, and $a$ and $b$ are coprime (i.e. $\gcd (a,b)=1$)?

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Fattorizzazione, Conteggio, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: $512$ Fonte: apri PDF

*Contate le fatturazioni ordinate in coprime a<b di 29! *

Quante coppie di integri positivi $(a,b)$ esistono tali che $a<b$, $ab=29!$, e $a$ e $b$ siano coprime (cioè: $\gcd (a,b)=1$)?

Risposta: $512$ src_jmo27yq_yosen__Q02

Black-minus-white area of a 3x3 checkerboard-cut rectangle

As in the figure, rectangle $ABCD$ is divided into $9$ regions by $4$ lines parallel to its sides, and the regions are colored alternately black and white. Given $AP=269,PQ=292,QB=223,AR=387,RS=263,SD=176,$ find the value of (total area of the black regions) $-$ (total area of the white regions). (If the answer contains a radical $\sqrt{XY}$, give the value $XY$ under the radical.)

Topic: Geometria piana, Combinatoria Metodo: Conteggio, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: $60000$ Fonte: apri PDF

area in bianco-nero-meno di un rettangolo taglio da scacchi 3x3

Come nella figura, il rettangolo $ABCD$ è diviso in regioni $9$ da linee $4$ parallele ai suoi lati, e le regioni sono colorate alternatamente in bianco e nero. Date $AP=269,PQ=292,QB=223,AR=387,RS=263,SD=176,$, si trova il valore di (superficie totale delle regioni nere) $-$ (superficie totale delle regioni bianche). (Se la risposta contiene un radicale $\sqrt{XY}$, indicare il valore $XY$ sotto il radicale.)

Risposta: $60000$ src_jmo27yq_yosen__Q03

Length EF in tangent-circle configuration

Three distinct points $D$, $B$, $C$ are collinear with $DB=BC=2$. Point $A$ satisfies $AB=AC$. Suppose there exists a circle $\Gamma$ tangent to line $AC$ at $A$ and tangent to line $DC$ at $D$. Let $E$ be the intersection of $\Gamma$ and line $AB$ other than $A$, and let $F$ be the intersection of line $CE$ and $\Gamma$ other than $E$. Find the length of segment $EF$. (If the answer contains a radical $\sqrt{XY}$, give the value $XY$ under the radical.)

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: $6$ Fonte: apri PDF

Lunghezza EF in configurazione di cerchio tangente

Tre punti distinti $D$, $B$ e $C$ sono collineari con $DB=BC=2$. Il punto $A$ soddisfa $AB=AC$. Supponiamo che esista un cerchio $\Gamma$ tangente alla linea $AC$ a $A$ e tangente alla linea $DC$ a $D$. $E$ sia l’intersezione di $\Gamma$ e della linea $AB$ diversa da $A$, e $F$ sia l’intersezione di $CE$ e $\Gamma$ diversa da $E$. Trova la lunghezza del segmento $EF$. (Se la risposta contiene un radicale $\sqrt{XY}$, indicare il valore $XY$ sotto il radicale.)

Risposta: $6$ src_jmo27yq_yosen__Q04

Count tuples of distinct positives with a+b=c+d+e=29

How many ordered tuples $(a,b,c,d,e)$ of mutually distinct positive integers are there such that $a+b=c+d+e=29$?

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Conteggio, Inclusione-esclusione Abilita: Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: $7392$ Fonte: apri PDF

Contare i doppi di positivi distinti con a+b=c+d+e=29

Quanti tuppi ordinati $(a,b,c,d,e)$ di integri positivi reciprocamente distinti sono tali da $a+b=c+d+e=29$?

Risposta: $7392$ src_jmo27yq_yosen__Q05

Term x_144 of an integer recurrence

An integer sequence $x_1,x_2,\dots$ is defined by $x_1=1,x_2=x_3=\cdots =x_{13}=0,$ $x_{n+13}=x_{n+5}+2x_n(n=1,2,\dots ).$ Find the value of $x_{144}$.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Ricorsione, Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: $2888$ Fonte: apri PDF

Term x_144 di ricorrenza di un numero intero

Una sequenza di numeri interi $x_1,x_2,\dots$ è definita da $x_1=1,x_2=x_3=\cdots =x_{13}=0,$ $x_{n+13}=x_{n+5}+2x_n(n=1,2,\dots ).$ Trova il valore di $x_{144}$.

Risposta: $2888$ src_jmo27yq_yosen__Q06

Smallest index where a good permutation may differ from identity

A rearrangement $a_1,a_2,\dots ,a_{1000}$ of $1,2,\dots ,1000$ is called a good rearrangement if it satisfies: for positive integers $m,n\le 1000$, if $n$ is a multiple of $m$ then $a_n$ is a multiple of $a_m$. Find the smallest positive integer $k$ satisfying the following condition: there exists a good rearrangement $b_1,b_2,\dots ,b_{1000}$ with $b_k\ne k$.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Estremalità Abilita: Conteggio sistematico, Astrazione, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: $59$ Fonte: apri PDF

Indice più piccolo in cui una buona permutazione può differire dall’identità

Una riorganizzazione $a_1,a_2,\dots ,a_{1000}$ di $1,2,\dots ,1000$ è chiamata una buona riorganizzazione se soddisfa: per i numeri interi positivi $m,n\le 1000$, se $n$ è un multiple di $m$ allora $a_n$ è un multiple di $a_m$. Trova il numero intero positivo più piccolo $k$ che soddisfi la seguente condizione: esiste una buona riorganizzazione $b_1,b_2,\dots ,b_{1000}$ con $b_k\ne k$.

Risposta: $59$ src_jmo27yq_yosen__Q07

Length XE from two circumcircles meeting at X

On side $BC$ of triangle $ABC$ there are two points $D$ and $E$, with the four points $B,D,E,C$ lying in this order. We have $\angle BAD=\angle ACE$ and $\angle ABD=\angle CAE$. Let $X$ be the second intersection point (other than $A$) of the circumcircle of triangle $ABE$ and the circumcircle of triangle $ADC$, and let $F$ be the intersection of $AX$ and $BC$. Given $BF=5$, $CF=6$, and $XD=3$, find the length of segment $XE$. (If the answer contains a radical $\sqrt{XY}$, give the value $XY$ under the radical.)

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: $\frac{3\sqrt{30}}{5}$ Fonte: apri PDF

Lunghezza XE da due circoncircoli che si incontrano a X

Sul lato $BC$ del triangolo $ABC$ ci sono due punti $D$ e $E$, con i quattro punti $B,D,E,C$ in questo ordine. Abbiamo $\angle BAD=\angle ACE$ e $\angle ABD=\angle CAE$. $X$ sia il secondo punto di intersezione (diverso da $A$) del circoncircolo del triangolo $ABE$ e del circoncircolo del triangolo $ADC$, e $F$ sia l’intersezione di $AX$ e $BC$. Date $BF=5$, $CF=6$ e $XD=3$, si trova la lunghezza del segmento $XE$. (Se la risposta contiene un radicale $\sqrt{XY}$, indicare il valore $XY$ sotto il radicale.)

Risposta: $\frac{3\sqrt{30}}{5}$ src_jmo27yq_yosen__Q08

Sum of (number of fixed points)^4 over all permutations

For a permutation $\sigma =(\sigma (1),\sigma (2),\dots ,\sigma (2017))$ of $1,2,\dots ,2017$, let $F(\sigma )$ denote the number of indices $i$ with $1\le i\le 2017$ such that $\sigma (i)=i$. Find the sum of $F(\sigma {)}^4$ over all permutations $\sigma$.

Topic: Combinatoria Metodo: Doppio conteggio, Conteggio, Simmetria Abilita: Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica, Astrazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: $15\cdot 2017!$ Fonte: apri PDF

Summa di (numero di punti fissi)^4 su tutte le permutazioni

Per una permutazione $\sigma =(\sigma (1),\sigma (2),\dots ,\sigma (2017))$ di $1,2,\dots ,2017$, $F(\sigma )$ indichi il numero di indici $i$ con $1\le i\le 2017$ tale che $\sigma (i)=i$. Trova la somma di $F(\sigma {)}^4$ su tutte le permutazioni $\sigma$.

Risposta: $15\cdot 2017!$ src_jmo27yq_yosen__Q09

Length of perpendicular from Q to BC in right triangle

Triangle $ABC$ satisfies $\angle B=90^{\circ }$, $AB=8$, $BC=3$. A point $P$ lies on side $BC$, a point $Q$ on side $CA$, and a point $R$ on side $AB$, satisfying $\angle CRP=\angle CRQ$ and $\angle BPR=\angle CPQ$. Moreover, the perimeter of triangle $PQR$ is $12$. Find the length of the perpendicular dropped from $Q$ to side $BC$. (If the answer contains a radical $\sqrt{XY}$, give the value $XY$ under the radical.)

Topic: Geometria piana, Trigonometria Metodo: Trigonometria, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: $\frac{9}{2}$ Fonte: apri PDF

Lunghezza perpendicolare da Q a BC in triangolo rettangolo

Il triangolo $ABC$ soddisfa $\angle B=90^{\circ }$, $AB=8$, $BC=3$. Un punto $P$ si trova sul lato $BC$, un punto $Q$ sul lato $CA$ e un punto $R$ sul lato $AB$, soddisfacendo $\angle CRP=\angle CRQ$ e $\angle BPR=\angle CPQ$. Inoltre, il perimetro del triangolo $PQR$ è $12$. Trova la lunghezza della perpendicolare abbassata da $Q$ a lato $BC$. (Se la risposta contiene un radicale $\sqrt{XY}$, indicare il valore $XY$ sotto il radicale.)

Risposta: $\frac{9}{2}$ src_jmo27yq_yosen__Q10

Minimum number of test problems realizing an equivalence

A class has $30$ students assigned attendance numbers $1,2,\dots ,30$. A test consisting of several problems was given to this class. After grading, the teacher noticed that the following two propositions about a subset $S$ of $\{1,2,\dots ,30\}$ are equivalent: (1) for every problem, there exists an element $k$ of $S$ such that the student with attendance number $k$ answered that problem correctly; (2) $S$ contains all multiples of $2$ from $1$ to $30$, or all multiples of $3$ from $1$ to $30$, or all multiples of $5$ from $1$ to $30$. Find the smallest possible number of problems on the test.

Topic: Combinatoria, Logica Metodo: Casework, Inclusione-esclusione, Estremalità Abilita: Conteggio sistematico, Lettura attenta, Modellizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: $103$ Fonte: apri PDF

Minimo numero di problemi di prova che ottengono un’equivalenza

Una classe ha $30$ studenti assegnati numeri di frequenza $1,2,\dots ,30$. A questa classe è stata data una prova composta da diversi problemi. Dopo la valutazione, l’insegnante ha notato che le seguenti due proposizioni su un sottoinsieme $S$ di $\{1,2,\dots ,30\}$ sono equivalenti: (1) per ogni problema, esiste un elemento $k$ di $S$ in modo tale che lo studente con numero di frequenza $k$ risponda correttamente a tale problema; (2) $S$ contiene tutti i multipli di $2$ da $1$ a $30$, o tutti i multipli di $3$ da $1$ a $30$, o tutti i multipli di $5$ da $1$ a $30$. Trova il minor numero possibile di problemi nel test.

Risposta: $103$ src_jmo27yq_yosen__Q11

Smallest n with a_n equal to a_2017 in a pursuit game

A boss and a subordinate play the following game. Regardless of the cell the subordinate starts on and of the subordinate’s actions, let $a_n$ be the smallest positive integer $X$ for which the boss can win. Here $n$ is a positive integer, and a subordinate token is on some cell of an $n\times n$ grid. The boss and the subordinate alternately repeat the actions below; the boss wins if the subordinate becomes unable to act within the grid. Boss’s action: the boss confirms which cell the subordinate is on, then chooses a set of $X$ cells. Subordinate’s action: the subordinate moves to an up/down/left/right adjacent cell between $0$ and $4$ times, ending on a cell that is not among the $X$ cells the boss chose. Find the smallest value of $n$ such that $a_n=a_{2017}$.

Topic: Combinatoria, Logica Metodo: Casework, Invarianti, Estremalità Abilita: Modellizzazione, Astrazione, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: $23$ Fonte: apri PDF

Migliore n con a_n uguale a_2017 in un gioco di inseguimento

Un capo e un subordinato giocano il gioco seguente. Indipendentemente dalla cella in cui il subordinato inizia e dalle azioni del subordinato, $a_n$ deve essere il numero intero positivo $X$ più piccolo per il quale il capo può vincere. Qui $n$ è un numero intero positivo, e un token subordinato è su una cellula di una griglia $n\times n$. Il capo e il subordinato ripetono alternativamente le azioni di seguito; il capo vince se il subordinato diventa incapace di agire all’interno della griglia. Azione del capo: il capo conferma su quale cellula si trova il subordinato, sceglie quindi una serie di cellule $X$. Azione del subordinato: il subordinato si sposta in una cella adiacente su/basso/sinistra/destra tra $0$ e $4$ volte, terminando in una cella che non è tra le celle $X$ scelte dal capo. Trova il valore più piccolo di $n$ tale da $a_n=a_{2017}$.

Risposta: $23$ src_jmo27yq_yosen__Q12