Japan Mathematical Olympiad 2018 — Yosen (Preliminary)

Two-digit table number containing the digit 5

J chose 5 numbers from the multiplication table (numbers expressible as the product of two integers each between $1$ and $9$ inclusive). He noticed that all 5 are two-digit numbers, and that across their units and tens digits each of $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$ appears exactly once. Among the numbers J chose, give the one whose units digit or tens digit is $5$. (A two-digit number whose tens digit is $0$ is not considered.)

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 56 Fonte: apri PDF

Numero di tabella a due cifre contenente la cifra 5

J ha scelto 5 numeri dalla tabella di moltiplicazione (numeri espressibili come il prodotto di due numeri interi ciascuno tra $1$ e $9$ inclusivo). Ha notato che tutti i 5 sono numeri a due cifre, e che attraverso le loro unità e decine di cifre ciascuno di $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$ appare esattamente una volta. Tra i numeri scelti da J, indicare quello che ha una cifra di unità o una cifra di decine è $5$. (Un numero a due cifre la cui cifra decimale è $0$ non è considerato.)

Risposta: 56 src_jmo28yq_yosen__Q01

Distribute cards 1-9 into 3 boxes forming arithmetic progressions

There are 9 cards, each labeled with one of the integers from $1$ to $9$, one card per number. They are distributed, 3 cards each, into 3 indistinguishable boxes. In how many ways can this be done so that, for every box, the three numbers on its cards form an arithmetic progression when arranged in increasing order? Here, three numbers $a,b,c$ form an arithmetic progression when $b-a=c-b$ holds.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 5 ways Fonte: apri PDF

Distribuire le carte 1-9 in 3 scatole che formano progressioni aritmetiche

Ci sono 9 carte, ciascuna etichettata con uno degli enti da $1$ a $9$, una carta per numero. Sono distribuite, 3 carte ciascuno, in 3 scatole indistinguibili. In quanti modi si può fare questo in modo che, per ogni scatola, i tre numeri sulle sue carte formino una progressione aritmetica quando sono disposti in ordine crescente? Qui, tre numeri $a,b,c$ formano una progressione aritmetica quando $b-a=c-b$ si mantiene.

Risposta: 5 ways src_jmo28yq_yosen__Q02

Area of right trapezoid given two diagonals and a 45-degree angle

In quadrilateral $ABCD$, $\angle A=\angle B=90^{\circ }$, $\angle C=45^{\circ }$, $AC=19$, $BD=15$. Find its area. Here $XY$ denotes the length of segment $XY$.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: 68 Fonte: apri PDF

*Area di trapezzoide retto data due diagonali e un angolo di 45 gradi *

In quadrilaterali $ABCD$, $\angle A=\angle B=90^{\circ }$, $\angle C=45^{\circ }$, $AC=19$, $BD=15$. Trova la sua area. Qui $XY$ indica la lunghezza del segmento $XY$.

Risposta: 68 src_jmo28yq_yosen__Q03

Remainder of 1111^2018 modulo 11111

Find the remainder when $1111^{2018}$ is divided by $11111$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 100 Fonte: apri PDF

Restante di 1111^2018 modulo 11111

Trova il rimanente quando $1111^{2018}$ è diviso da $11111$.

Risposta: 100 src_jmo28yq_yosen__Q04

Counting flip-sequences turning alternating Othello row all black

Eleven Othello stones are placed in a row as in arrangement (a). The following operation is performed some number of times: choose two stones of the same visible color that are not adjacent and such that all stones strictly between them show the other color; then flip all the stones between them simultaneously. How many distinct sequences of operations lead from arrangement (a) to arrangement (b)? Arrangement (a) is $\bullet \circ \bullet \circ \bullet \circ \bullet \circ \bullet \circ \bullet$ (alternating, starting and ending with black). Arrangement (b) is all eleven stones black: $\bullet \bullet \bullet \bullet \bullet \bullet \bullet \bullet \bullet \bullet \bullet$. Each Othello stone is black ($\bullet$) on one face and white ($\circ$) on the other.

Topic: Combinatoria Metodo: Invarianti, Casework, Ricorsione Abilita: Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern, Modellizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 945 ways Fonte: apri PDF

Contando le sequenze di inversione che girano in alternativa la riga Othello tutta nera

Undici pietre di Othello sono disposte in fila come indicato nell’ordine (a). L’operazione seguente viene eseguita un certo numero di volte: scegliere due pietre dello stesso colore visibile che non sono adiacenti e in modo tale che tutte le pietre strettamente tra di loro mostrino l’altro colore; quindi girare tutte le pietre tra di loro contemporaneamente. Quante sequenze di operazioni distinte portano dall’accordo (a) all’accordo (b)? L’accordo (a) è $\bullet \circ \bullet \circ \bullet \circ \bullet \circ \bullet \circ \bullet$ (alternativo, inizia e termina con nero). Arrangimento (b) tutti gli undici pietre nere: $\bullet \bullet \bullet \bullet \bullet \bullet \bullet \bullet \bullet \bullet \bullet$. Ogni pietra Othello è nera ($\bullet$) su una faccia e bianca ($\circ$) sull’altra.

Risposta: 945 ways src_jmo28yq_yosen__Q05

Length AX in nested isosceles right triangles

Triangle $ABC$ is a right isosceles triangle with $\angle A=90^{\circ }$. Inside it, three points $X,Y,Z$ are chosen so that triangle $XYZ$ is a right isosceles triangle with $\angle X=90^{\circ }$, and moreover the points $A,Y,X$ are collinear in this order, $B,Z,Y$ are collinear in this order, and $C,X,Z$ are collinear in this order. Given $AB=1$ and $XY=\frac{1}{4}$, find the length of segment $AX$. Here $ST$ denotes the length of segment $ST$.

Topic: Geometria piana, Trigonometria Metodo: Coordinate, Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: $\frac{2+\sqrt{79}}{20}$ Fonte: apri PDF

Lunghezza AX in triangoli rettangolari con isosceles nidificati

Il triangolo $ABC$ è un triangolo a destra con $\angle A=90^{\circ }$. All’interno di esso, sono scelti tre punti $X,Y,Z$ in modo che il triangolo $XYZ$ sia un triangolo a destra con $\angle X=90^{\circ }$, e inoltre i punti $A,Y,X$ sono collineari in questo ordine, $B,Z,Y$ sono collineari in questo ordine e $C,X,Z$ sono collineari in questo ordine. Se si dà $AB=1$ e $XY=\frac{1}{4}$, si trova la lunghezza del segmento $AX$. Qui $ST$ indica la lunghezza del segmento $ST$.

Risposta: \frac{2+\sqrt{79}}{20} src_jmo28yq_yosen__Q06

Partitions of 1-12 into pairs with total |i-j| equal to 30

Partition the integers from $1$ to $12$ into $6$ pairs, two integers per pair. When $i$ and $j$ form a pair, the value $|i-j|$ is the score of that pair. In how many ways can the partition be made so that the total of the scores of the $6$ pairs equals $30$?

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 1104 ways Fonte: apri PDF

*Partzioni di 1-12 in coppie con totale i-j = 30 *

Dividere gli entieri da $1$ a $12$ in coppie $6$, due interi per coppia. Quando $i$ e $j$ formano una coppia, il valore $|i-j|$ è il punteggio di tale coppia. In quanti modi può essere fatta la partizione in modo che il totale dei punteggi delle coppie $6$ sia uguale a $30$?

Risposta: 1104 ways src_jmo28yq_yosen__Q07

Minimum of cyclic dot-product sum over three permutations

Let $a_1,a_2,\dots ,a_6$ and $b_1,b_2,\dots ,b_6$ and $c_1,c_2,\dots ,c_6$ each be a permutation of $1,2,3,4,5,6$. Find the minimum possible value of $a_1{b}_1+a_2{b}_2+\cdots +a_6{b}_6+b_1{c}_1+b_2{c}_2+\cdots +b_6{c}_6+c_1{a}_1+c_2{a}_2+\cdots +c_6{a}_6.$

Topic: Algebra, Combinatoria, Disuguaglianze Metodo: Estremalità, Simmetria Abilita: Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico, Stima Area: Algebra e Analisi, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 195 Fonte: apri PDF

Minimum della somma del prodotto ciclico dei punti su tre permutazioni

Se $a_1,a_2,\dots ,a_6$ e $b_1,b_2,\dots ,b_6$ e $c_1,c_2,\dots ,c_6$ sono ciascuna una permutazione di $1,2,3,4,5,6$. Trova il valore minimo possibile di $a_1{b}_1+a_2{b}_2+\cdots +a_6{b}_6+b_1{c}_1+b_2{c}_2+\cdots +b_6{c}_6+c_1{a}_1+c_2{a}_2+\cdots +c_6{a}_6.$

Risposta: 195 src_jmo28yq_yosen__Q08

Length DE from incircle and A-excircle tangent-line intersections

The incircle of triangle $ABC$ touches sides $BC,CA,AB$ at points $P,Q,R$ respectively, and the excircle in angle $A$ touches side $BC$, line $CA$, line $AB$ at points $S,T,U$ respectively. Let $I$ be the incenter of triangle $ABC$. Let $D$ be the intersection of line $PQ$ and line $ST$, and let $E$ be the intersection of line $PR$ and line $SU$. Given $AI=3$, $IP=1$, $PS=2$, find the length of segment $DE$. Here $XY$ denotes the length of segment $XY$, and the excircle in angle $A$ of triangle $ABC$ is the circle tangent to side $BC$, to the extension of side $AB$ beyond $B$, and to the extension of side $AC$ beyond $C$.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: $\frac{4\sqrt{2}}{3}$ Fonte: apri PDF

Lunghezza DE dalle intersezioni di linea tangente incircolare e eccircolare A

L’incircolo del triangolo $ABC$ tocca rispettivamente i lati $BC,CA,AB$ nei punti $P,Q,R$ e l’escircolo in angolo $A$ tocca rispettivamente il lato $BC$, la linea $CA$, la linea $AB$ nei punti $S,T,U$. $I$ sia l’incentro del triangolo $ABC$. Il $D$ deve essere l’intersezione della linea $PQ$ e della linea $ST$, e il $E$ deve essere l’intersezione della linea $PR$ e della linea $SU$. Date $AI=3$, $IP=1$, $PS=2$, si trova la lunghezza del segmento $DE$. Qui $XY$ indica la lunghezza del segmento $XY$, e l’escircolo in angolo $A$ del triangolo $ABC$ è il cerchio tangente al lato $BC$, all’estensione del lato $AB$ oltre $B$ e all’estensione del lato $AC$ oltre $C$.

Risposta: \frac{4\sqrt{2}}{3} src_jmo28yq_yosen__Q09

Practice-match outcomes giving exactly 2 possible champions

$2^3=8$ players take part in a single-elimination chess tournament, in which the champion is decided as follows. First, all players are lined up in a row. Then the following operation is repeated $3$ times: the players in the row are grouped into pairs, two at a time from one end, and the two players in each pair play a match; the winner stays in the row and the loser drops out. (There are no draws.) The player remaining in the row at the end is the champion. Before the tournament a full round-robin of practice matches was held, in which no draws occurred; that is, for every pair of players a practice match was played and a winner determined. Now assume the results of the tournament matches agree with the practice-match results. Depending on the initial lineup of the players, the number of players who could possibly become champion turned out to be exactly $2$. How many possible combinations of the practice-match results are there (for which exactly $2$ players can possibly become champion)?

Topic: Combinatoria Metodo: Casework, Conteggio, Ricorsione Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato, Modellizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 344064 ways Fonte: apri PDF

Rescultati di partite di pratica che danno esattamente 2 possibili campioni

I giocatori di$2^3=8$ partecipano a un torneo di scacchi di eliminazione singola, in cui il campione è deciso come segue. Innanzitutto, tutti i giocatori sono in fila. Poi si ripete la seguente operazione $3$ volte: i giocatori della fila sono raggruppati in coppie, due alla volta da una estremità, e i due giocatori di ciascuna coppia giocano una partita; il vincitore rimane nella fila e il perdente scende. Il giocatore che rimane in fila alla fine è il campione. Prima del torneo si svolgeva un round-robin completo di partite di pratica, in cui non si verificavano sorte; cioè, per ogni coppia di giocatori si giocava una partita di pratica e si determinava il vincitore. Ora supponiamo che i risultati delle partite del torneo concordino con i risultati delle prove. A seconda della formazione iniziale dei giocatori, il numero di giocatori che potrebbero diventare campioni si è rivelato esattamente $2$. Quante possibili combinazioni dei risultati tra pratiche e partite ci sono (per cui esattamente $2$ i giocatori possono diventare campioni)?

Risposta: 344064 ways src_jmo28yq_yosen__Q10

Count integers equal to sum of base-7 single-digit-deletions

How many positive integers $n$ satisfy the following condition? Condition: Write $n$ in base $7$ (with nonzero leading digit) and let $k$ be its number of digits; require $k\ge 2$. After writing $n$ in base $7$, for each $i=1,2,\dots ,k-1$ remove the $i$-th digit from the right (the bottom), obtaining a $(k-1)$-digit base-$7$ integer $n_i$. Then ${\sum }_{i=1}^{k-1}{n}_i=n.$

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Casework, Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 42 Fonte: apri PDF

Conteggio di enti interi pari alla somma delle delezioni a 7 cifre di base

Quanti integri positivi $n$ soddisfano la seguente condizione? Condizione: Scrivere $n$ in base $7$ (con cifre di primo piano non zero) e lasciare $k$ essere il suo numero di cifre; richiedere $k\ge 2$. Dopo aver scritto $n$ nella base $7$, per ogni $i=1,2,\dots ,k-1$ togliere la $i$-esima cifra dalla destra (in basso), ottenendo un $(k-1)$-digito base-$7$ intero $n_i$. Poi ${\sum }_{i=1}^{k-1}{n}_i=n.$

Risposta: 42 src_jmo28yq_yosen__Q11

Largest N with a_{N+1}-a_N not equal to 1

An integer-valued sequence $a_1,a_2,\dots$ satisfies, for all integers $m,n$: if $m,n\ge 30$ and $|m-n|\ge 2018$, then $a_{m+n}$ equals $a_m+n$ or $a_n+m$. Find the largest possible value of a positive integer $N$ for which $a_{N+1}-a_N\ne 1$.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri, Insiemi e funzioni Metodo: Casework, Induzione, Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Astrazione Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 4065 Fonte: apri PDF

N più piccolo con a_{N+1}-a_N non uguale a 1

Una sequenza a valore intero $a_1,a_2,\dots$ soddisfa, per tutti gli enti $m,n$: se $m,n\ge 30$ e $|m-n|\ge 2018$, allora $a_{m+n}$ è uguale a $a_m+n$ o $a_n+m$. Trova il più grande valore possibile di un intero positivo $N$ per il quale $a_{N+1}-a_N\ne 1$.

Risposta: 4065 src_jmo28yq_yosen__Q12