Japan Mathematical Olympiad 2019 — Honsen (Final)

Diophantine equation in three positive integers

Find all triples $(a,b,c)$ of positive integers satisfying $a^2+b+3=(b^2-c^2{)}^2$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Equazione diofantina in tre numeri interi positivi

Trova tutti i triples $(a,b,c)$ di numeri interi positivi che soddisfano $a^2+b+3=(b^2-c^2{)}^2$.

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Grid-writing game maximizing row/column multiple-of-n score

Let $n$ be an odd integer with $n\ge 3$. A game is played on an $n\times n$ grid of cells. The game consists of $n^2$ turns, and on each turn the following operations are performed in order: \begin{itemize} \item Choose one cell in which no integer has yet been written, and write in it one integer between $1$ and $n^2$ inclusive. Throughout the game, each integer may be written at most once. \item For each of the row and the column that contain that cell, if the sum of the integers written in it is a multiple of $n$, then $1$ point is earned (if both are multiples of $n$, then $2$ points are earned). \end{itemize} Find the maximum possible value of the total number of points that can be earned by the time the game ends.

Topic: Combinatoria Metodo: Casi e conteggio, Congruenze, Estremalità Abilita: Conteggio sistematico, Modellizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Gioco di scrittura a griglia che massimizza il punteggio multiplo di n di riga/colonna

$n$ sia un numero intero parente con $n\ge 3$. Si gioca una partita su una griglia di celle $n\times n$. Il gioco è composto da giri $n^2$, e a ogni turno vengono eseguite le seguenti operazioni in ordine: \begin{itemize} \item Scegli una cella in cui non è stato ancora scritto un intero, e scrivete in essa un intero tra $1$ e $n^2$ inclusivo. Durante tutto il gioco, ogni numero intero può essere scritto una volta al massimo. \item Per ciascuna riga e colonna che contengono quella cella, se la somma dei numeri interi scritti in essa è un multiple di $n$, allora $1$ punto viene guadagnato (se entrambi sono multipli di $n$, allora $2$ punti vengono guadagnati). \end{itemize} Trova il massimo valore possibile del numero totale di punti che possono essere guadagnati al termine della partita.

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Functional equation over positive reals

Find all functions $f$ defined on the positive real numbers and taking positive real values such that, for all positive real numbers $x,y$, $f\left(\frac{f(y)}{f(x)}+1\right)=f\left(x+\frac{y}{x}+1\right)-f(x).$

Topic: Equazioni funzionali Metodo: Simmetria Abilita: Manipolazione algebrica, Astrazione Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Equazione funzionale su valori reali positivi

Trova tutte le funzioni $f$ definite sui numeri reali positivi e prendi valori reali positivi in modo tale che, per tutti i numeri reali positivi $x,y$, $f\left(\frac{f(y)}{f(x)}+1\right)=f\left(x+\frac{y}{x}+1\right)-f(x).$

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Circle on diameter AK tangent to incircle

Let $I$ be the incenter of triangle $ABC$ and let $\omega$ be its incircle. Let $M$ be the midpoint of side $BC$. Let $K$ be the intersection point of the line through $A$ perpendicular to line $BC$ and the line through $M$ perpendicular to line $AI$. Prove that the circle with diameter $AK$ is tangent to $\omega$.

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF

Circolo su diametro AK tangente a incircolo

Che $I$ sia l’incentro del triangolo $ABC$ e che $\omega$ sia il suo incircolo. Il punto medio del lato $BC$ è $M$. Il punto di intersezione di $K$ deve essere il punto di intersezione della linea attraverso $A$ perpendicolare alla linea $BC$ e la linea attraverso $M$ perpendicolare alla linea $AI$. Provare che il cerchio con diametro $AK$ è tangente a $\omega$.

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Beautiful sets and a uniform bound on non-multiples

For a set $S$ consisting of positive integers, $S$ is called a \emph{beautiful set} if, for any distinct elements $x,y,z$ of $S$, at least one of them is a divisor of $x+y+z$. Prove that there exists an integer $N$ satisfying the following condition, and find the smallest such $N$:

For every beautiful set $S$, there exists an integer $n_S$ with $n_S\ge 2$ such that the number of elements of $S$ that are not multiples of $n_S$ is at most $N$.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria, Insiemi e funzioni Metodo: Estremalità, Casework Abilita: Astrazione, Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Belle serie e una linea uniforme su non multipli

Per un insieme $S$ composto da integri positivi, $S$ è chiamato un insieme \emph{beautiful} se, per qualsiasi elemento distinto $x,y,z$ di $S$, almeno uno di essi è un divisore di $x+y+z$. Prova che esiste un intero $N$ che soddisfa la seguente condizione e trova il più piccolo di tali $N$:

Per ogni insieme bello $S$, esiste un intero $n_S$ con $n_S\ge 2$ tale che il numero di elementi di $S$ che non sono moltipli di $n_S$ sia al massimo $N$.

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