Japan Mathematical Olympiad 2019 — Yosen (Preliminary)

Positive integer triples with x+xy+xyz=31, x<y<z

Find all triples $(x,y,z)$ of positive integers such that $x+xy+xyz=31,x<y<z.$

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Casework Abilita: Casework accurato, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: (1,2,14), (1,3,9) Fonte: apri PDF

Triplici interi positivi con x+xy+xyz=31, x<y<z

Trovare tutti i triples $(x,y,z)$ di numeri interi positivi in modo tale che $x+xy+xyz=31,x<y<z.$

Risposta: (1,2,14), (1,3,9) src_jmo29yq_yosen__Q01

3-digit number, all digits prime, whose square is also such

Call a positive integer a \emph{good number} if every one of its digits is a prime (that is, each digit is one of $2,3,5,7$). Find all $3$-digit good numbers whose square is a $5$-digit good number.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Casework Abilita: Casework accurato, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 235 Fonte: apri PDF

numero a 3 cifre, tutte prime, il cui quadrato è anche tale

Chiamare un intero positivo un \emph{buono numero} se ognuno dei suoi numeri è un primo (cioè, ogni numero è uno di $2,3,5,7$). Trovare tutti i numeri buoni $3$-cifre il cui quadrato è un numero buono $5$-cifre.

Risposta: 235 src_jmo29yq_yosen__Q02

Fill 3x3 grid with 1-9 so edge-adjacent entries differ by at most 3

In each cell of a $3\times 3$ grid we write one integer from $1$ to $9$, with no integer repeated (so each of $1,2,\dots ,9$ is used exactly once). In how many ways can this be done so that, for any two cells sharing an edge, the difference of the two integers written in them is at most $3$? Here, arrangements that coincide under rotation or reflection are counted as different.

Topic: Combinatoria Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 32 Fonte: apri PDF

Riempire la griglia 3x3 con 1-9, in modo che le voci adiacenti ai bordi differiscano per un massimo di 3

In ogni cella di una griglia $3\times 3$ scriviamo un intero da $1$ a $9$, senza che un intero si ripeta (percio’ ognuno di $1,2,\dots ,9$ viene usato esattamente una volta). In quanti modi può essere fatto in modo che, per due cellule che condividono un bordo, la differenza dei due numeri interi scritti in esse sia al massimo $3$? Qui, gli accordi che coincidono sotto rotazione o riflessione sono contati come diversi.

Risposta: 32 src_jmo29yq_yosen__Q03

Regular pentagon, line through diagonal intersection; find AG

In a regular pentagon $ABCDE$, let $F$ be the intersection of the diagonals $BE$ and $AC$. A line through the point $F$ meets the side $AB$ at $G$ and the side $CD$ at $H$, with $BG=4$ and $CH=5$. Find the length of the segment $AG$. Here, $XY$ denotes the length of the segment $XY$.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: $2\sqrt{6}-2$ Fonte: apri PDF

Pentagono regolare, linea attraverso intersezione diagonale; trovare AG

In un pentagono regolare $ABCDE$, $F$ deve essere l’intersezione delle diagonali $BE$ e $AC$. Una linea attraverso il punto $F$ incontra il lato $AB$ a $G$ e il lato $CD$ a $H$, con $BG=4$ e $CH=5$. Trova la lunghezza del segmento $AG$. Qui $XY$ indica la lunghezza del segmento $XY$.

Risposta: 2\sqrt{6}-2 src_jmo29yq_yosen__Q04

Smallest positive integer with remainders 32,33,34 mod 97,100,103

Find the smallest positive integer that leaves remainders $32$, $33$, $34$ when divided by $97$, $100$, $103$ respectively.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 333033 Fonte: apri PDF

Il più piccolo intero positivo con i rimanenti 32,33,34 mod 97,100,103

Trova il numero intero positivo più piccolo che lascia i rimanenti $32$, $33$, $34$ quando diviso rispettivamente da $97$, $100$, $103$.

Risposta: 333033 src_jmo29yq_yosen__Q05

Max marked vertices of regular 120-gon avoiding 18-degree-apex isosceles triple

Some of the vertices of a regular $120$-gon are marked. Find the largest possible number of marked vertices for which there is no triple of marked vertices that forms the three vertices of an isosceles triangle whose apex angle is $18^{\circ }$.

Topic: Combinatoria, Geometria piana Metodo: Estremalità, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Risposta: 78 Fonte: apri PDF

Vertici massimi segnalati di 120 goni regolari evitando l’isosceles di 18 gradi di punta tripla

Alcuni dei vertici di un normale $120$-gon sono segnati. Trovare il maggior numero possibile di vertici segnati per i quali non esiste un triplo di vertici segnati che forma i tre vertici di un triangolo a uguale occhio il cui angolo di punta è $18^{\circ }$.

Risposta: 78 src_jmo29yq_yosen__Q06

Quadratics with P(1)=P(2)=Q(3)=0 and P^2+Q^2=R^2; find R

Let $P,Q,R$ be quadratic polynomials with integer coefficients satisfying the following conditions. Find all possible $R(x)$. \begin{itemize} \item $P(1)=P(2)=Q(3)=0$. \item For every real number $x$, $P(x{)}^2+Q(x{)}^2=R(x{)}^2$ holds. \item There is no integer $\ge 2$ that divides all of the coefficients of $P$, $Q$, $R$. \item The leading (quadratic) coefficients of $P$ and $Q$ are nonzero, and the leading (quadratic) coefficient of $R$ is positive. \end{itemize}

Topic: Algebra Metodo: Fattorizzazione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Astrazione Area: Algebra e Analisi Risposta: $5x^2-18x+17$ Fonte: apri PDF

Quadratici con P(1)=P(2)=Q(3)=0 e P^2+Q^2=R^2; trovare R

$P,Q,R$ siano polinomi quadratici con coefficienti interi che soddisfino le seguenti condizioni. Trova tutte le possibili $R(x)$. \inbegin{itemize} \item $P(1)=P(2)=Q(3)=0$. \item Per ogni numero reale $x$, $P(x{)}^2+Q(x{)}^2=R(x{)}^2$ è valido. \item Non esiste un numero intero $\ge 2$ che divida tutti i coefficienti di $P$, $Q$, $R$. \item I coefficienti principali (quadratici) di $P$ e $Q$ non sono zero e il coefficiente principale (quadratico) di $R$ è positivo. # Finire #

Risposta: 5x^2-18x+17 src_jmo29yq_yosen__Q07

Triangle AB>AC, points at 1:8 on sides, incenter forms unit equilateral; find AB

Let $ABC$ be a triangle with $AB>AC$, and let $I$ be its incenter. Let $D$ and $E$ be the points that divide the sides $AB$ and $AC$ respectively in the ratio $1:8$ (so $AD:DB=AE:EC=1:8$). Given that triangle $DIE$ is an equilateral triangle of side length $1$, find the length of the segment $AB$. Here, $XY$ denotes the length of the segment $XY$.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: $\frac{81+9\sqrt{13}}{16}$ Fonte: apri PDF

Triangolo AB>AC, punti a 1:8 sui lati, incentro forma unità equilaterale; trovare AB

Che $ABC$ sia un triangolo con $AB>AC$, e che $I$ sia il suo incentro. I punti $D$ e $E$ siano i punti che dividono rispettivamente i lati $AB$ e $AC$ nel rapporto $1:8$ (così $AD:DB=AE:EC=1:8$). Dato che il triangolo $DIE$ è un triangolo equilaterale di lunghezza laterale $1$, trovare la lunghezza del segmento $AB$. Qui $XY$ indica la lunghezza del segmento $XY$.

Risposta: \frac{81+9\sqrt{13}}{16} src_jmo29yq_yosen__Q08

Color 4x4 grid in 4 colors; every row and column meets one of 3 patterns

Each cell of a $4\times 4$ grid is colored with one of the four colors red, blue, yellow, green. In how many colorings does every row and every column satisfy at least one of the following three conditions? \begin{itemize} \item All $4$ cells are colored with a single color. \item Exactly $2$ distinct colors are used, each coloring exactly $2$ of the cells. \item All $4$ colors are used, each coloring exactly $1$ cell. \end{itemize} Here, colorings that coincide under rotation or reflection are counted as different.

Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio, Casework, Inclusione-esclusione Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 262144 Fonte: apri PDF

Colore griglia 4x4 in 4 colori; ogni riga e colonna soddisfa uno dei 3 modelli

Ogni cella di una griglia $4\times 4$ è colorata con uno dei quattro colori rosso, blu, giallo e verde. In quante colori soddisfa ogni riga e colonna almeno una delle seguenti tre condizioni? \begin{itemize} \item Tutte le celle $4$ sono colorate con un unico colore. \item Esattamente $2$ vengono utilizzati diversi colori, ciascuna colorazione esattamente $2$ delle celle. \item Tutti i colori $4$ sono utilizzati, ogni colorazione esattamente $1$ cellula. Qui, i colori che coincidono sotto rotazione o riflessione sono contati come diversi.

Risposta: 262144 src_jmo29yq_yosen__Q09

Two circles configuration on triangle; find FG/BC

Let $ABC$ be a triangle, and let $D$, $E$ be points on the sides $AB$, $AC$ respectively such that $AB=6$, $AC=9$, $AD=4$, $AE=6$. The circumcircle of triangle $ADE$ meets the side $BC$ at two points $F$ and $G$, where $B,F,G,C$ lie on line $BC$ in this order. Suppose that the lines $DF$ and $EG$ meet at a point lying on the circumcircle of triangle $ABC$. Find the value of $\frac{FG}{BC}$. Here, $XY$ denotes the length of the segment $XY$.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: $\frac{-3+\sqrt{33}}{6}$ Fonte: apri PDF

Configurazione di due cerchi su un triangolo; trovare FG/BC

Che $ABC$ sia un triangolo, e che $D$, $E$ siano punti sui lati $AB$, $AC$ rispettivamente in modo tale che $AB=6$, $AC=9$, $AD=4$, $AE=6$. Il circoncircolo del triangolo $ADE$ incontra il lato $BC$ in due punti $F$ e $G$, dove $B,F,G,C$ si trova sulla linea $BC$ in questo ordine. Supponiamo che le linee $DF$ e $EG$ si incontrino in un punto situato sul circoncircolo del triangolo $ABC$. Trova il valore di $\frac{FG}{BC}$. Qui $XY$ indica la lunghezza del segmento $XY$.

Risposta: \frac{-3+\sqrt{33}}{6} src_jmo29yq_yosen__Q10

Distinct values of f(k)=#{m: km mod 2019^3 > m}, k up to 2019^3

For $k=1,2,\dots ,2019^3$, let $f(k)$ be the number of positive integers $m$ such that the remainder of $km$ upon division by $2019^3$ is greater than $m$. How many distinct values appear among $f(1),f(2),\dots ,f(2019^3)$?

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Congruenze, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 25 Fonte: apri PDF

Vari distinti di f(k)=#{m: km mod 2019^3 > m}, k fino a 2019^3

Per $k=1,2,\dots ,2019^3$, $f(k)$ deve essere il numero di integri positivi $m$ in modo tale che il rimanente di $km$ diviso per $2019^3$ sia maggiore di $m$. Quanti valori distinti sono presenti tra $f(1),f(2),\dots ,f(2019^3)$?

Risposta: 25 src_jmo29yq_yosen__Q11

Count maps F on subsets of {1..6} with F(F(A)∪B)=A∩F(B)

Let $S=\{1,2,\dots ,6\}$. Consider rules $F$ that assign to each subset $X$ of $S$ a subset $F(X)$ of $S$, such that for every pair of subsets $A,B$ of $S$, $F(F(A)\cup B)=A\cap F(B)$ holds. How many such rules $F$ are there?

Topic: Insiemi e funzioni, Combinatoria Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Astrazione, Conteggio sistematico Area: Algebra e Analisi, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 499 Fonte: apri PDF

Conte le mappe F su sottoinsiemi di {1..6} con F(F(A)∪B)=A∩F(B)

Let $S=\{1,2,\dots ,6\}$. Considera le regole $F$ che assegnano a ciascun sottoinsieme $X$ di $S$ un sottoinsieme $F(X)$ di $S$, in modo tale che per ogni coppia di sottoinsiemi $A,B$ di $S$, $F(F(A)\cup B)=A\cap F(B)$ sia valida. Quante norme di questo tipo esistono?

Risposta: 499 src_jmo29yq_yosen__Q12