Japan Mathematical Olympiad 2020 — Honsen (Final)

Find all positive integer pairs making two expressions integers

Find all pairs of positive integers $(m,n)$ such that both $\frac{n^2+1}{2m}$ and $\sqrt{2^{n-1}+m+4}$ are integers.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Ricerca tutte le coppie di numeri interi positivi che fanno due espressioni di numeri interi

Trova tutte le coppie di integri positivi $(m,n)$ in modo che sia $\frac{n^2+1}{2m}$ che $\sqrt{2^{n-1}+m+4}$ siano integri.

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Circumcircles and perpendicularity condition in triangle ABC

Let $ABC$ be a triangle with $BC<AB$ and $BC<AC$. On sides $AB$ and $AC$, take points $D$ and $E$ respectively such that $BD=CE=BC$. Let $P$ be the intersection of line $BE$ and line $CD$. Let $Q$ be one of the intersection points of the circumcircle of triangle $ABE$ and the circumcircle of triangle $ACD$ other than $A$. Prove that line $PQ$ and line $BC$ are perpendicular.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Circoli e condizione di perpendicularità nel triangolo ABC

Il $ABC$ deve essere un triangolo con $BC<AB$ e $BC<AC$. sui lati $AB$ e $AC$, prendere rispettivamente i punti $D$ e $E$ in modo tale che $BD=CE=BC$. La linea $P$ deve essere l’intersezione della linea $BE$ e della linea $CD$. $Q$ sia uno dei punti di intersezione del circoncircolo del triangolo $ABE$ e del circoncircolo del triangolo $ACD$ diversi da $A$. Provare che la linea $PQ$ e la linea $BC$ sono perpendicolari.

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Find all functions where a given inequality holds for all integers

Find all functions $f$ defined on the positive integers taking positive integer values such that for any integers $m,n\ge 1$, $m^2+f(n{)}^2+(m-f(n){)}^3\ge f(m{)}^2+n^2$ holds.

Topic: Equazioni funzionali, Disuguaglianze Metodo: Casework, Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Ricerca tutte le funzioni in cui una determinata disuguaglianza si applica a tutti gli integri

Trova tutte le funzioni $f$ definite sui numeri interi positivi che assumono valori di numeri interi positivi in modo tale che per qualsiasi numero intero $m,n\ge 1$, $m^2+f(n{)}^2+(m-f(n){)}^3\ge f(m{)}^2+n^2$ sia contenuto.

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Two players, special points on circle; show fraction of connected pairs is large

Let $n\ge 2$ be an integer. Suppose there are $3n$ distinct points on a circle, called special points. Players $A$ and $B$ alternately perform the following operation $n$ times each.

First, Player $A$ chooses 2 special points that are not yet connected by a segment and connects them with a segment. Then, Player $B$ chooses 1 special point that has not yet had a piece placed on it and places a piece on it.

Regardless of how Player $B$ plays, prove that when all $n$ operations are finished, Player $A$ can always make it so that the number of segments connecting a special point with a piece on it to a special point without a piece on it is at least $\frac{n}{6}$.

Topic: Combinatoria Metodo: Grafi, Estremalità, Invarianti Abilita: Modellizzazione, Ragionamento geometrico, Conteggio sistematico, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Due giocatori, punti speciali sul cerchio; mostrare la frazione di coppie connesse è grande

$n\ge 2$ sia un numero intero. Supponiamo che ci siano $3n$ punti distinti su un cerchio, chiamati punti speciali. I giocatori $A$ e $B$ eseguono alternativamente la seguente operazione $n$ ogni volta.

In primo luogo, il giocatore $A$ sceglie 2 punti speciali che non sono ancora collegati da un segmento e li collega con un segmento. Il giocatore $B$ sceglie un punto speciale che non ha ancora avuto un pezzo posto su di esso e lo pone.

Indipendentemente dal modo in cui il giocatore $B$ gioca, dimostrare che quando tutte le operazioni $n$ sono terminate, il giocatore $A$ può sempre fare in modo che il numero di segmenti che collegano un punto speciale con un pezzo su di esso a un punto speciale senza un pezzo su di esso sia almeno $\frac{n}{6}$.

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Find all positive integer sequences where gcd condition holds for all m,n

Find all sequences $a_1,a_2,\dots$ of positive integers such that for any positive integers $m,n$, $\gcd (a_{m+n},a_m+a_n)>c(m+n)$ holds, where $c$ is some fixed positive real number.

Here, for positive integers $x,y$, $\gcd (x,y)$ denotes the greatest common divisor of $x$ and $y$.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Congruenze, Induzione, Principio dei cassetti Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Ricerca tutte le sequenze di numeri interi positivi in cui la condizione gcd è valida per tutti m,n

Trova tutte le sequenze $a_1,a_2,\dots$ di interi positivi in modo tale che per tutti gli interi positivi $m,n$, $\gcd (a_{m+n},a_m+a_n)>c(m+n)$ si tenga, dove $c$ è un certo numero reale positivo fisso.

Qui, per i numeri interi positivi $x,y$, $\gcd (x,y)$ indica il più grande divisore comune di $x$ e $y$.

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