Japan Mathematical Olympiad 2020 — Yosen (Preliminary)

Count multiples of 7 that are 4 times a perfect square up to 10^9

How many positive multiples of $7$ that do not exceed $10^9$ are of the form $4k^2$ for some positive integer $k$?

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 14 Fonte: apri PDF

Count multiples of 7 that are 4 times a perfect square up to 10^9

How many positive multiples of $7$ that do not exceed $10^9$ are of the form $4k^2$ for some positive integer $k$?

Risposta: 14 src_jmo30yq_yosen__Q01

Regular hexagon, equilateral triangle CGH inside, find area of triangle EFH

A regular hexagon $ABCDEF$ has side length $1$. Let $G$ be the midpoint of side $AB$. A point $H$ is taken inside the hexagon such that triangle $CGH$ is equilateral. Find the area of triangle $EFH$.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: $\frac{\sqrt{3}}{8}$ Fonte: apri PDF

Esagono regolare, triangolo equilaterale CGH all’interno, area del triangolo EFH

Un esagono regolare $ABCDEF$ ha una lunghezza laterale $1$. Il punto medio del lato $AB$ è $G$. Un punto $H$ è preso all’interno dell’esagono in modo che il triangolo $CGH$ sia equilaterale. Trova l’area del triangolo $EFH$.

Risposta: \frac{\sqrt{3}}{8} src_jmo30yq_yosen__Q02

Count arrangements of 1-6 in 2x3 grid with adjacent cells differing

Fill each cell of a $2\times 3$ grid with the integers $1,2,3,4,5,6$ (each used exactly once) so that any two cells sharing an edge contain different numbers. How many such arrangements are there? Two arrangements that coincide after rotation or reflection are still counted as distinct.

Topic: Combinatoria Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 16 Fonte: apri PDF

Conteggi di conteggio di 1-6 in griglia 2x3 con celle adiacenti diverse

Riempire ogni cella di una griglia $2\times 3$ con i numeri interi $1,2,3,4,5,6$ (ciascuno utilizzato esattamente una volta) in modo che due celle che condividono un bordo contengano numeri diversi. Quante sono queste disposizioni? Due accordi che coincidono dopo la rotazione o la riflessione sono ancora considerati come distinti.

Risposta: 16 src_jmo30yq_yosen__Q03

Count positive integers n where digit sums of n^2 and n^3 are each 1 to 8

Find the number of positive integers $n$ such that the digit sum of $n^2$ and the digit sum of $n^3$ each lie in $\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$ (i.e.\ both digit sums are between $1$ and $8$ inclusive).

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Lettura attenta, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 24 Fonte: apri PDF

Contate i numeri interi positivi n dove le somme digitali di n^2 e n^3 sono ciascuna da 1 a 8

Trova il numero di interi positivi $n$ in modo tale che la somma digitali di $n^2$ e la somma digitali di $n^3$ si trovino ciascuna in $\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$ (cioè\ entrambe le somme digitali sono tra $1$ e $8$ incluse).

Risposta: 24 src_jmo30yq_yosen__Q04

Smallest positive n equal to (x1^2-1)(x2^2-2)…(x10^2-10) for integers xi

A positive integer $n$ is called writable if there exist integers $x_1,x_2,\dots ,x_{10}$ such that $n=(x_1^2-1)(x_2^2-2)(x_3^2-3)\cdots (x_{10}^2-10).$ Find the smallest writable positive integer.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Casework, Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 84 Fonte: apri PDF

La minore n positiva uguale a (x1^2-1) ((x2^2-2)…(x10^2-10) per gli integri xi

Un intero positivo $n$ viene chiamato scrivibile se esistono interi $x_1,x_2,\dots ,x_{10}$ in modo tale che $n=(x_1^2-1)(x_2^2-2)(x_3^2-3)\cdots (x_{10}^2-10).$ Trova il più piccolo intero positivo scrivibile.

Risposta: 84 src_jmo30yq_yosen__Q05

Three nested squares with two shared vertices, find shaded area

There are three squares in the plane. As shown in the figure, two of the four vertices of the smallest square coincide with two vertices of the largest square, and the diagonal extensions of the smallest square pass through the bottom-left vertex of the largest square. The side length of the smallest square is $1$ and the side length of the largest square is $3$. Find the area of the shaded region.

Topic: Geometria piana, Geometria analitica Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Modellizzazione Area: Geometria Risposta: $\frac{\sqrt{17}-1}{4}$ Fonte: apri PDF

Tre quadrati nidificati con due vertici condivisi, trovare area ombrata

Ci sono tre quadrati nell’aereo. Come mostrato nella figura, due dei quattro vertici del più piccolo quadrato coincidono con due vertici del più grande quadrato, e le estensioni diagonali del più piccolo quadrato passano attraverso il vertice inferiore a sinistra del più grande quadrato. La lunghezza laterale del più piccolo quadrato è $1$ e la lunghezza laterale del più grande quadrato è $3$. Trova l’area dell’ombra.

Risposta: \frac{\sqrt{17}-1}{4} src_jmo30yq_yosen__Q06

Count fillings of 2x1010 grid with 1-5 such that adjacent cells differ by 2 or 3

Fill each cell of a $2\times 1010$ grid with an integer from $1$ to $5$ (repetition allowed) so that any two cells sharing an edge contain numbers whose absolute difference is $2$ or $3$. How many such arrangements are there? Arrangements coinciding after rotation or reflection are counted as distinct.

Topic: Combinatoria Metodo: Ricorsione, Conteggio, Invarianti Abilita: Riconoscimento di pattern, Conteggio sistematico, Manipolazione algebrica Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: $10\cdot 3^{1009}$ Fonte: apri PDF

Contare i riempimenti della griglia 2x1010 con 1-5 in modo tale che le celle adiacenti differiscano di 2 o 3

Riempire ciascuna cella di una griglia $2\times 1010$ con un numero intero da $1$ a $5$ (repetimento consentito) in modo che due celle che condividono un bordo contengano numeri la cui differenza assoluta è $2$ o $3$. Quante sono queste disposizioni? Gli accordi che coincidono dopo la rotazione o la riflessione sono considerati distinti.

Risposta: 10 \cdot 3^{1009} src_jmo30yq_yosen__Q07

Sequence of 100 positive integers satisfying two conditions, find minimum a_100

A sequence $a_1,a_2,\dots ,a_{100}$ of positive integers satisfies: \begin{itemize} \item[(i)] For all $2\le k\le 100$: $a_{k-1}<a_k$. \item[(ii)] For all $6\le k\le 100$: $a_k$ is equal to one of $2a_1,2a_2,\dots ,2a_{k-1}$. \end{itemize} Find the smallest possible value of $a_{100}$.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Ricorsione, Estremalità, Casework Abilita: Lettura attenta, Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: $2^{19}\cdot 9$ Fonte: apri PDF

Sequenza di 100 integri positivi che soddisfano due condizioni, trovare minimo a_100

Una sequenza $a_1,a_2,\dots ,a_{100}$ di numeri interi positivi soddisfa: \begin{itemize} \item[(i)] Per tutti $2\le k\le 100$: $a_{k-1}<a_k$. \item[(ii) Per tutti $6\le k\le 100$: $a_k$ è uguale a uno di $2a_1,2a_2,\dots ,2a_{k-1}$. \end{itemize} Trova il minimo possibile valore di $a_{100}$.

Risposta: 2^{19} \cdot 9 src_jmo30yq_yosen__Q08

Multiplicative functional equation f(mn)=f(m)^f(n), find minimum of f(f(n))

Let $f$ be a function defined on the set of integers $\ge 2$ taking values in the set of integers $\ge 2$, such that for all integers $m,n\ge 2$, $f(mn)=f(m{)}^{f(n)}.$ Find the minimum possible value of $f(f^{(0)})$, where $f^{(n)}$ denotes the $n$-fold composition of $f$.

(Note: the exact expression in the exponent/composition was not fully legible in the scan. Based on context and the answer key, the problem asks for the minimum value attained by $f$ composed with itself over all valid functions $f$, which equals $4$.)

Topic: Equazioni funzionali, Algebra Metodo: Fattorizzazione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Astrazione, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Risposta: 4 Fonte: apri PDF

*Equazione funzionale moltiplicativa f(mn)=f(m)^f(n), trovare il minimo di f(f(n)) *

$f$ deve essere una funzione definita sull’insieme di integri $\ge 2$ che assume valori nell’insieme di integri $\ge 2$, in modo tale che per tutti gli integri $m,n\ge 2$, $f(mn)=f(m{)}^{f(n)}.$ Trovare il valore minimo possibile di $f(f^{(0)})$, dove $f^{(n)}$ indica la composizione $n$-fold di $f$.

*(Nota: l’espressione esatta nell’esponente/composto non è stata completamente leggibile nella scansione. In base al contesto e alla chiave di risposta, il problema chiede il valore minimo raggiunto da $f$ composto da sé su tutte le funzioni valide $f$, che equivale a $4$.) *

Risposta: 4 src_jmo30yq_yosen__Q09

Place 4 black and 4 white pieces on 8x8 chessboard, one per row/column, count arrangements

Consider an $8\times 8$ chessboard (with alternating black and white squares in the usual coloring). Place $4$ black pieces and $4$ white pieces on the board, one piece per row and one piece per column (so exactly $8$ cells are occupied), subject to the following condition: in each row and each column there is exactly $1$ piece, which is placed on a black cell if it is a black piece and on a white cell if it is a white piece.

Arrangements that coincide after rotation or reflection are still counted as distinct. How many such arrangements are there?

Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio, Casework, Inclusione-esclusione Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 20736 Fonte: apri PDF

Posizionare 4 pezzi neri e 4 bianchi su scacchi 8x8, uno per riga/colonna, ordini di conteggio

Considerate una scacchiera $8\times 8$ (con quadrati in bianco e nero alternati nel solito colore). Posizionare sul tabellone $4$ pezzi neri e $4$ pezzi bianchi, un pezzo per riga e un pezzo per colonna (così sono occupate esattamente le celle $8$), a condizione che in ogni riga e in ogni colonna ci sia esattamente un pezzo $1$, che viene posto su una cella nera se è un pezzo nero e su una cella bianca se è un pezzo bianco.

Gli accordi che coincidono dopo la rotazione o la riflessione sono ancora considerati come distinti. Quante sono queste disposizioni?

Risposta: 20736 src_jmo30yq_yosen__Q10

Circle with 5 points, two tangent circles meet at K, find length CQ

Five points $A,B,C,D,P$ lie on a circle $\Omega$ in this order. The circle passing through $P$ and tangent to line $AB$ at $A$, and the circle passing through $P$ and tangent to line $CD$ at $D$, intersect at a point $K$ inside $\Omega$. Let $M$ and $N$ be the midpoints of chords $AB$ and $CD$ respectively. It is given that the three points $A$, $K$, $N$ are collinear, and the three points $D$, $K$, $M$ are collinear. Given $AK=5$, $DK=3$, $KM=7$, let $Q$ be the intersection of line $PK$ with $\Omega$ other than $P$. Find the length $CQ$, where $XY$ denotes the length of segment $XY$.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria Risposta: 11 Fonte: apri PDF

Circolo con 5 punti, due cerchi tangenti si incontrano a K, trovare lunghezza CQ

Cinque punti $A,B,C,D,P$ si trovano su un cerchio $\Omega$ in questo ordine. Il cerchio che attraversa $P$ e tangente alla linea $AB$ a $A$, e il cerchio che attraversa $P$ e tangente alla linea $CD$ a $D$, si intersecano in un punto $K$ all’interno di $\Omega$. $M$ e $N$ siano rispettivamente i punti medi degli accordi $AB$ e $CD$. Si ritiene che i tre punti $A$, $K$, $N$ siano collineari e i tre punti $D$, $K$, $M$ siano collineari. Dato $AK=5$, $DK=3$, $KM=7$, $Q$ deve essere l’intersezione della linea $PK$ con $\Omega$ diversa da $P$. Trova la lunghezza $CQ$, dove $XY$ indica la lunghezza del segmento $XY$.

Risposta: 11 src_jmo30yq_yosen__Q11

Max length of good sequence of distinct positive integers at most 30 with divisibility pattern

For a positive integer $k$, a sequence of $k$ distinct positive integers $a_1,a_2,\dots ,a_k$ is called a good sequence if it satisfies both of the following conditions: \begin{itemize} \item All terms are at most $30$. \item For each $i=1,2,\dots ,k-1$: if $i$ is odd, then $a_{i+1}$ is a multiple of $a_i$; if $i$ is even, then $a_{i+1}$ is a divisor of $a_i$. \end{itemize} Find the maximum possible length of a good sequence.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Estremalità, Casework, Ricorsione Abilita: Riconoscimento di pattern, Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 23 Fonte: apri PDF

Lunghezza massima di buona sequenza di numeri interi positivi distinti non superiore a 30 con modello di divisibilità

Per un intero positivo $k$, una sequenza di $k$ diversi interi positivi $a_1,a_2,\dots ,a_k$ è chiamata buona sequenza se soddisfa entrambe le seguenti condizioni: \begin{itemize} item \Tutti i termini sono al massimo $30$. \item Per ogni $i=1,2,\dots ,k-1$: se $i$ è pari, allora $a_{i+1}$ è un multiple di $a_i$; se $i$ è pari, allora $a_{i+1}$ è un divisore di $a_i$. Trova la lunghezza massima possibile di una buona sequenza.

Risposta: 23 src_jmo30yq_yosen__Q12