Japan Mathematical Olympiad 2021 — Honsen (Final)

Find all functions f making two divisibility/value conditions equivalent

Find all functions $f$ defined on the positive integers taking positive integer values such that, for all positive integers $m$ and $n$, the following two conditions are equivalent:

• $n\mid m$ (i.e., $n$ divides $m$);
• $f(m)=f(n)$.

Topic: Insiemi e funzioni, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Fattorizzazione Abilita: Lettura attenta, Manipolazione algebrica, Astrazione Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Ricerca tutte le funzioni f che rendono due condizioni di divisibilità/valore equivalenti

Trovare tutte le funzioni $f$ definite sui numeri interi positivi che assumono valori interi positivi in modo tale che, per tutti i numeri interi positivi $m$ e $n$, le seguenti due condizioni siano equivalenti: - $n\mid m$ (cioè $n$ divide $m$); - $f(m)=f(n)$.

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Grid stone game: determine when Taro can guarantee reaching column 1

Let $n\ge 2$ be an integer. Consider a $1\times (2n-1)$ board whose cells are labeled $1,2,\dots ,2n-1$ from left to right. Taro (太郎) and Jiro (次郎) play the following game.

First, Taro places a stone on any cell he chooses. After that, Jiro and Taro alternate turns (Jiro goes first). On each player’s turn, that player moves the stone to an adjacent cell (left or right by one step). If the stone is at an end cell (cell $1$ or cell $2n-1$), it cannot be moved further in that direction. Taro’s goal is to move the stone to cell $1$ (the leftmost cell); Jiro’s goal is to prevent this.

Determine for which initial cells Taro can guarantee to move the stone to cell $1$, regardless of Jiro’s play.

Topic: Combinatoria Metodo: Backward, Invarianti, Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Modellizzazione, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Gioco di griglia: determinare quando Taro può garantire di raggiungere la colonna 1

$n\ge 2$ sia un numero intero. Si consideri una lavagna $1\times (2n-1)$ le cui celle sono etichettate $1,2,\dots ,2n-1$ da sinistra a destra. Taro (太郎) e Jiro (次郎) giocano il seguente gioco.

In primo luogo, Taro mette una pietra su qualsiasi cellula che scelga. Dopo di che, Jiro e Taro si alternano (Jiro va prima). A turno di ciascun giocatore, quel giocatore sposta la pietra in una cella adiacente (a sinistra o a destra con un passo). Se la pietra si trova in una cella terminale (cellula $1$ o cella $2n-1$), non può essere spostata in quella direzione. L’obiettivo di Taro è quello di spostare la pietra nella cella $1$ (la cella più sinistra); l’obiettivo di Jiro è quello di prevenire questo.

Determina per quali cellule iniziali Taro può garantire di spostare la pietra nella cellula $1$, indipendentemente dal gioco di Jiro.

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Acute triangle, points on sides with BD=CE; prove angle equality with circumcircle point

Let $△ABC$ be an acute triangle. Let $D$ and $E$ be points on sides $AB$ and $AC$ respectively, satisfying $BD=CE$. Let $P$ be a point on segment $DE$, and let $Q$ be a point on the arc $BC$ of the circumscribed circle of $△ABC$ not containing $A$. Suppose that $BP\cdot PC=QD\cdot QE$ and that the points $A,B,C,D,E,P,Q$ are all distinct. Prove that $\angle BPC=\angle BAC+\angle EQD.$

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Casework Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Triangolo acuto, punti su lati con BD=CE; prova uguale angolo con punto di circoncircolo

Lasciate che $△ABC$ sia un triangolo acuto. Il punto $D$ e il punto $E$ devono essere punti rispettivamente sui lati $AB$ e $AC$, soddisfacendo il punto $BD=CE$. $P$ sia un punto sul segmento $DE$ e $Q$ sia un punto sull’arco $BC$ del cerchio circonscritto di $△ABC$ non contenente $A$. Supponiamo che $BP\cdot PC=QD\cdot QE$ e che i punti $A,B,C,D,E,P,Q$ siano tutti distinti. Provare che $\angle BPC=\angle BAC+\angle EQD.$

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Integer sequence with a_{n+2}>a_{n+1}+a_n in [1,2016]; minimize max minus min

Consider a sequence of integers $a_1,a_2,\dots ,a_{2021}$ where each term satisfies $1\le a_i\le 2016$, and for all valid indices $n$ the inequality $a_{n+2}>a_{n+1}+a_n$ holds. Find the minimum possible value of $\max (a_1,a_2,\dots ,a_{2021})-\min (a_1,a_2,\dots ,a_{2021}).$

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Estremalità, Casework, Disuguaglianze Abilita: Manipolazione algebrica, Stima, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Sequenza integrale con a_{n+2}>a_{n+1}+a_n in [1,2016]; minimizzare il massimo meno min

Considera una sequenza di enti $a_1,a_2,\dots ,a_{2021}$ in cui ogni termine soddisfa $1\le a_i\le 2016$, e per tutti gli indici validi $n$ la disuguaglianza $a_{n+2}>a_{n+1}+a_n$ è mantenuta. Trova il valore minimo possibile di $\max (a_1,a_2,\dots ,a_{2021})-\min (a_1,a_2,\dots ,a_{2021}).$

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2n×2n grid white/black coloring; bound number of 2×2 all-black squares by 2n−1

Let $n$ be a positive integer. Consider a $2n\times 2n$ grid of unit squares. Each cell is colored either white or black. A white cell is selected, and then every cell sharing a side with that white cell is colored black (cells that were already black remain black); the selected white cell itself is also colored black. Prove that, under some condition on the initial coloring, the number of $2\times 2$ sub-grids in which all four cells are black is at most $2n-1$.

Topic: Combinatoria Metodo: Doppio conteggio, Invarianti, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Modellizzazione, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

2n×2n griglia di colore bianco/nero; numero finito di 2×2 quadrati tutti neri di 2n−1

$n$ sia un numero intero positivo. Considera una griglia $2n\times 2n$ di quadrati unitari. Ogni cella è di colore bianco o nero. Una cellula bianca viene selezionata, e poi ogni cellula che condivide un lato con quella cellula bianca è di colore nero (cellule che erano già nere rimangono nere); la cellula bianca selezionata stessa è anche di colore nero. Prove che, in qualche condizione della colorazione iniziale, il numero di sottoreti $2\times 2$ in cui tutte e quattro le celle sono nere è massimo $2n-1$.

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