Japan Mathematical Olympiad 2021 — Yosen (Preliminary)

Maximize product mn with m+n=90 and m,n coprime

Let $m$ and $n$ be mutually coprime positive integers satisfying $m+n=90$. Find the maximum possible value of the product $mn$.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Estremalità, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 2021 Fonte: apri PDF

Maximizzare il prodotto mn con m+n=90 e m,n coprimo

Che $m$ e $n$ siano interamente integri positivi coprimari che soddisfano $m+n=90$. Trova il valore massimo possibile del prodotto $mn$.

Risposta: 2021 src_jmo31yq_yosen__Q01

Shaded area inside a regular decagon of area 1

There is a regular decagon (regular $10$-sided polygon) as shown in the figure below. If the total area of the decagon is $1$, find the area of the shaded region.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Astrazione Area: Geometria Risposta: $\frac{2}{5}$ Fonte: apri PDF

L’area ombrata all’interno di un decagono regolare di area 1

C’è un decagono regolare (poligono laterale regolare $10$) come mostrato nella figura seguente. Se la superficie totale del decagone è $1$, si trova la superficie della regione ombrata.

Risposta: \frac{2}{5} src_jmo31yq_yosen__Q02

Isosceles triangle: feet of perpendiculars from interior point; find AB

Let $ABC$ be an isosceles triangle with $AB=AC$, and let $P$ be a point inside it. Let $D$, $E$, $F$ be the feet of the perpendiculars dropped from $P$ to the sides $BC$, $CA$, $AB$ respectively. Suppose $BD=9$, $CD=5$, $PE=2$, $PF=5$. Find the length of side $AB$. Here $XY$ denotes the length of segment $XY$.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: $4\sqrt{7}$ Fonte: apri PDF

Triangolo isosceles: piedi di perpendicolari dal punto interno; trovare AB

Lasciate che $ABC$ sia un triangolo di uguali dimensioni con $AB=AC$, e lasciate che $P$ sia un punto all’interno di esso. I piedi $D$, $E$ e $F$ siano i piedi delle perpendicolari abbassate rispettivamente da $P$ ai lati $BC$, $CA$ e $AB$. Supponiamo $BD=9$, $CD=5$, $PE=2$, $PF=5$. Trova la lunghezza del lato $AB$. Qui $XY$ indica la lunghezza del segmento $XY$.

Risposta: 4\sqrt{7} src_jmo31yq_yosen__Q03

Averaging triples 2021 times yields integers; maximize initial sum

Three distinct positive integers are written on a blackboard. When real numbers $a$, $b$, $c$ are written on the blackboard, consider the operation that simultaneously rewrites them as $\frac{b+c}{2}$, $\frac{c+a}{2}$, $\frac{a+b}{2}$. After this operation is performed $2021$ times, the three numbers finally on the blackboard all turned out to be positive integers. Find the maximum possible value of the sum of the three positive integers that were written at the beginning.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Invarianti, Ricorsione, Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: $3\cdot 2^{2021}+3$ Fonte: apri PDF

La media di triples 2021 volte produce numeri interi; massimizza la somma iniziale

Tre numeri interi positivi distinti sono scritti su una lavagna nera. Quando i numeri reali $a$, $b$, $c$ sono scritti sulla lavagna, si considera l’operazione che li riscrive contemporaneamente come $\frac{b+c}{2}$, $\frac{c+a}{2}$, $\frac{a+b}{2}$. Dopo che questa operazione è stata eseguita $2021$ volte, i tre numeri sulla lavagna si sono rivelati tutti numeri interi positivi. Trova il valore massimo possibile della somma dei tre numeri interi positivi che sono stati scritti all’inizio.

Risposta: 3\cdot 2^{2021}+3 src_jmo31yq_yosen__Q04

Pack four kinds of L-tetracube blocks into a 2x2x4 box

As shown in the figure below, there are $4$ kinds of blocks, each formed from $4$ unit cubes of edge length $1$. How many ways are there to place $4$ such blocks into a $2\times 2\times 4$ rectangular box so that nothing protrudes? Blocks of the same kind may be used several times, and blocks may be inserted after rotation. Placements that coincide under a rotation of the entire box are counted as distinct.

Topic: Combinatoria, Geometria solida Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Risposta: 379 Fonte: apri PDF

Imballare quattro tipi di blocchi di L-tetracube in una scatola 2x2x4

Come mostrato nella figura di seguito, ci sono tipi di blocchi $4$, ognuno formato da cubetti unitari $4$ di lunghezza di bordo $1$. Quanti modi ci sono per inserire $4$ tali blocchi in una scatola rettangolare $2\times 2\times 4$ in modo che nulla salga fuori? Blocchi dello stesso tipo possono essere utilizzati più volte e blocchi possono essere inseriti dopo la rotazione. I posizionamenti che coincidono sotto una rotazione dell’intera scatola sono contati come distinti.

Risposta: 379 src_jmo31yq_yosen__Q05

Count distinct values of f among f(1)..f(10^10)

For a positive integer $n$, let $f(n)$ denote the number of positive integers $m$ such that $m$ and $n$ are mutually coprime and $m+1$ and $n+1$ are also mutually coprime, where $m$ ranges over $1,2,\dots ,n$. Among $f(1),f(2),\dots ,f(10^{10})$, how many distinct positive integers appear?

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Casework, Conteggio Abilita: Riconoscimento di pattern, Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 11 Fonte: apri PDF

*Conta i valori distinti di f tra f 1)..f 10^10) *

Per un intero positivo $n$, $f(n)$ indichi il numero di interi positivi $m$ in modo tale che $m$ e $n$ siano reciprocamente copriemi e $m+1$ e $n+1$ siano reciprocamente copriemi, dove $m$ va oltre $1,2,\dots ,n$. Tra $f(1),f(2),\dots ,f(10^{10})$, quanti numeri interi positivi distinti appaiono?

Risposta: 11 src_jmo31yq_yosen__Q06

Centroids of ACP and ABQ coincide; find BC

On side $BC$ of triangle $ABC$, points $P$ and $Q$ are taken, and the centroid of triangle $ACP$ coincides with the centroid of triangle $ABQ$. Given $AB=10$, $AC=11$, $BP=5$, $CQ=6$, find the length of side $BC$. Here $XY$ denotes the length of segment $XY$.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: $\sqrt{231}$ Fonte: apri PDF

Centroidi ACP e ABQ coincidono; trovare BC

Sul lato $BC$ del triangolo $ABC$, si prendono i punti $P$ e $Q$ e il centroide del triangolo $ACP$ coincide con il centroide del triangolo $ABQ$. Dato $AB=10$, $AC=11$, $BP=5$, $CQ=6$, si trova la lunghezza del lato $BC$. Qui $XY$ indica la lunghezza del segmento $XY$.

Risposta: \sqrt{231} src_jmo31yq_yosen__Q07

Count 17-tuples with two power towers both 1 mod 17

Find the number of tuples $(a_1,a_2,\dots ,a_{17})$ of integers, each at least $2$ and at most $20$, such that $a_1^{a_2^{{\cdot }^{{\cdot }^{a_{17}}}}}\equiv a_2^{a_3^{{\cdot }^{{\cdot }^{a_{17}}}}}\equiv 1(\mathrm{mod}17).$ Here each exponent is the power tower formed by the two (and further) numbers written to its upper right.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Congruenze, Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: $2042\cdot 19^{14}$ Fonte: apri PDF

Conta 17 doppi con due torri di alimentazione entrambe 1 mod 17

Trova il numero di tuppi $(a_1,a_2,\dots ,a_{17})$ di numeri interi, ciascuno almeno $2$ e al massimo $20$, in modo tale che $a_1^{a_2^{{\cdot }^{{\cdot }^{a_{17}}}}}\equiv a_2^{a_3^{{\cdot }^{{\cdot }^{a_{17}}}}}\equiv 1(\mathrm{mod}17).$ Qui ogni esponente è la torre di potenza formata dai due (e ulteriori) numeri scritti in alto a destra.

Risposta: 2042\cdot 19^{14} src_jmo31yq_yosen__Q08

Fill 2021x2021 with 1,2,3 so every 2x2 sums to 8; count mod 100

Consider the ways to write one of the numbers $1$, $2$, $3$ in each cell of a $2021\times 2021$ grid such that, for every $2\times 2$ block of cells, the sum of the four numbers written in it equals $8$. Suppose there are $A$ such fillings in total. Find the remainder when $A$ is divided by $100$. Fillings that coincide under a rotation or reflection are counted as distinct.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Conteggio, Congruenze Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 3 Fonte: apri PDF

Completare il 2021x2021 con 1,2,3, quindi ogni 2x2 è pari a 8; contare mod 100

Considerare i modi per scrivere uno dei numeri $1$, $2$, $3$ in ogni cella di una griglia $2021\times 2021$ in modo tale che, per ogni blocco di celle $2\times 2$, la somma dei quattro numeri scritti in esso sia uguale a $8$. Supponiamo che ci siano $A$ tali riempimenti in totale. Trova il rimanente quando $A$ è diviso da $100$. I riempimenti che coincidono sotto una rotazione o una riflessione sono contati come distinti.

Risposta: 3 src_jmo31yq_yosen__Q09

Concyclic D,B,C,E with interior point P and equal angles; find BP/CP

On sides $AB$ and $AC$ of triangle $ABC$ there are points $D$ and $E$ respectively, and the four points $D$, $B$, $C$, $E$ lie on one circle. Moreover, $P$ is a point inside quadrilateral $DBCE$ satisfying $\angle BDP=\angle BPC=\angle PEC$. Given $AB=9$, $AC=11$, $DP=1$, $EP=3$, find the value of $\frac{BP}{CP}$. Here $XY$ denotes the length of segment $XY$.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: $\frac{\sqrt{33}}{11}$ Fonte: apri PDF

Conciclica D,B,C,E con punto interno P e angoli uguali; trovare BP/CP

Nei lati $AB$ e $AC$ del triangolo $ABC$ ci sono i punti $D$ e $E$ rispettivamente, e i quattro punti $D$, $B$, $C$ e $E$ si trovano su un cerchio. Inoltre, $P$ è un punto all’interno del quadrilaterale $DBCE$ che soddisfa $\angle BDP=\angle BPC=\angle PEC$. Date $AB=9$, $AC=11$, $DP=1$, $EP=3$, si trova il valore di $\frac{BP}{CP}$. Qui $XY$ indica la lunghezza del segmento $XY$.

Risposta: \frac{\sqrt{33}}{11} src_jmo31yq_yosen__Q10

Sum maxima/minima of three pairings over all tuples; divisors of M-m

Over all tuples $(x,y,z,w)$ of integers each at least $1$ and at most $1000$, let $M$ be the sum of the maximum values of $xy+zw$, $zx+yw$, $xw+yz$ (that is, for each tuple add the largest of these three quantities). Similarly, over all such tuples $(x,y,z,w)$, let $m$ be the sum of the minimum values of $xy+zw$, $zx+yw$, $xw+yz$. Find the number of positive divisors of $M-m$.

Topic: Algebra, Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Estremalità, Simmetria, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico, Stima Area: Algebra e Analisi, Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 20412 Fonte: apri PDF

Summa massima/minima di tre abbinamenti su tutti i tuppi; divisori di M-m

Su tutti i tuppi $(x,y,z,w)$ di numeri interi ognuno almeno $1$ e al massimo $1000$, $M$ sia la somma dei valori massimi di $xy+zw$, $zx+yw$, $xw+yz$ (cioè per ogni tuple sommare il più grande di questi tre quantitativi). Allo stesso modo, su tutti tali tupli $(x,y,z,w)$, $m$ sia la somma dei valori minimi di $xy+zw$, $zx+yw$, $xw+yz$. Trova il numero dei divisori positivi di $M-m$.

Risposta: 20412 src_jmo31yq_yosen__Q11

Coins on 7x7 board, four spreading operations; maximize total coins

There is a $7\times 7$ array of cells. One coin is placed on the cell in the $1$st row from the top and the $4$th column from the left. We say cell $Y$ is to the lower-left of cell $X$ if, for some positive integer $k$, $Y$ is $k$ cells left and $k$ cells below $X$; similarly, $Y$ is to the lower-right of $X$ if, for some positive integer $k$, $Y$ is $k$ cells right and $k$ cells below $X$. For a cell $X$ not in the bottom row that has a coin on it, one may perform exactly one of the following four operations: (a) Remove a coin from $X$ and place one coin on the cell $1$ below $X$. (b) Remove a coin from $X$ and place one coin on each of the cells to the lower-left of $X$. (c) Remove a coin from $X$ and place one coin on each of the cells to the lower-right of $X$. (d) Remove a coin from $X$ and place one coin on each of the cell $1$ left and $1$ below $X$ and the cell $1$ right and $1$ below $X$; however, if only one of these two cells exists, place a coin only on that one cell. If one tries to place a coin on a cell that already has a coin, no coin is placed there. After performing such operations any number of times, find the maximum possible number of coins that can be on the cells.

Topic: Combinatoria Metodo: Invarianti, Estremalità, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Modellizzazione, Lettura attenta, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 19 Fonte: apri PDF

Monete su tavolo 7x7, quattro operazioni di diffusione; massimizzazione del totale delle monete

C’è un array di celle $7\times 7$. Una moneta viene posta sulla cella nella riga $1$st dall’alto e nella colonna $4$th dalla sinistra. Diciamo che la cellula $Y$ è a basso a sinistra della cellula $X$ se, per qualche intero positivo $k$, $Y$ è $k$ cellule a sinistra e $k$ cellule al di sotto $X$; allo stesso modo, $Y$ è a basso a destra di $X$ se, per qualche intero positivo $k$, $Y$ è $k$ cellule a destra e $k$ cellule al di sotto $X$. Per una cella $X$ che non è nella riga inferiore che ha una moneta sopra, si può eseguire esattamente una delle seguenti quattro operazioni: (a) Rimuovere una moneta da $X$ e inserire una moneta nella cella $1$ sotto $X$. b) Rimuovere una moneta da $X$ e posizionare una moneta su ciascuna delle celle situate in basso a sinistra di $X$. (c) Rimuovere una moneta da $X$ e posizionare una moneta su ciascuna delle celle in basso a destra di $X$. (d) Rimuovere una moneta da $X$ e posizionare una moneta su ciascuna delle celle $1$ a sinistra e $1$ sotto $X$ e la cella $1$ a destra e $1$ sotto $X$; tuttavia, se esiste solo una di queste due celle, posizionare una moneta solo su quella cella. Se si cerca di mettere una moneta su una cella che già ha una moneta, non viene messa lì. Dopo aver eseguito tali operazioni un certo numero di volte, trova il numero massimo possibile di monete che possono essere sulle celle.

Risposta: 19 src_jmo31yq_yosen__Q12