Japan Mathematical Olympiad 2022 — Honsen (Final)

Game on 2022-square row; find max squares A can guarantee

A row of 2022 squares is used; players A and B play a game. Initially, the squares in odd positions (from the left) have A’s name written in them, and the squares in even positions have B’s name written in them. Starting from A, the players alternate performing the following operation:

Choose 2 squares that are adjacent (neighboring) and whose immediate neighbors—the squares sandwiching them—are not both occupied by the same player’s name; more precisely, pick any 2 consecutive squares such that the squares adjacent to those 2 chosen squares have the other player’s name, then replace the names in the 2 chosen squares with the other player’s name.

When a player cannot perform the operation, the game ends. Find the maximum integer $m$ such that A can always guarantee that her name appears in at least $m$ squares when the game ends, regardless of B’s strategy.

Topic: Combinatoria Metodo: Estremalità, Invarianti, Casework Abilita: Modellizzazione, Ragionamento geometrico, Casework accurato, Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Gioca su fila quadrata 2022; trova i quadrati massimi A può garantire

Si utilizza una fila di quadrati 2022; i giocatori A e B giocano a un gioco. Inizialmente, i quadrati in posizioni odd (da sinistra) hanno il nome di A scritto in loro, e i quadrati in posizioni pari hanno il nome di B scritto in loro. A partire da A, i giocatori si alternano eseguendo la seguente operazione:

Scegliete 2 quadrati che sono adiacenti (vicinanti) e i cui vicini immediatile quadrate che li accompagnanonon sono entrambi occupati dal nome dello stesso giocatore; più precisamente, scegliete 2 quadrati consecutivi in modo che i quadrati adiacenti a quei 2 quadrati scelti abbiano il nome dell’altro giocatore, quindi sostituite i nomi nei 2 quadrati scelti con il nome dell’altro giocatore.

Quando un giocatore non può eseguire l’operazione, il gioco finisce. Trova il numero intero massimo $m$ in modo che A possa sempre garantire che il suo nome compare in almeno $m$ quadrati quando il gioco termina, indipendentemente dalla strategia di B.

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Find all strictly increasing f with f^100(m)+mn=f(m)f(n)

Let $f$ be a strictly increasing function from the positive integers to the positive integers. Find all such $f$ such that $f^{100}(m)+mn=f(m)f(n)$ holds for every pair of positive integers $m,n$. Here $f^{100}(n)$ denotes $f(f(\cdots f(n)\cdots ))$ with $f$ applied $100$ times.

Topic: Algebra, Insiemi e funzioni Metodo: Fattorizzazione, Induzione, Ricorsione Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

*Ricerca tutte le f stringentemente in aumento con f^100(m) +mn=f(m) f(n) *

Lasciate che $f$ sia una funzione strettamente in aumento dai numeri interi positivi ai numeri interi positivi. Trovare tutti tali $f$ in modo che $f^{100}(m)+mn=f(m)f(n)$ si tenga per ogni coppia di integri positivi $m,n$. Qui $f^{100}(n)$ indica $f(f(\cdots f(n)\cdots ))$ con $f$ applicato $100$ volte.

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Isosceles triangle, circumcircle, circumcenter of HDF lies on Gamma

Let $ABC$ be an isosceles triangle with $AB=AC$. Let $O$ be a point strictly inside the triangle (not on any side). Let $\Gamma$ be the circumcircle of triangle $ABC$. Lines through $O$ meet segment $BC$ at $D$ and segment $AC$ (excluding endpoints) at $E$, and these two lines intersect each other. Let $F$ be a point on $\Gamma$ other than $A$, $B$, $C$ such that $B$, $D$, $F$ are collinear (or the line $BD$ meets $\Gamma$ again at $F$). Let $H$ be the second intersection of the circumcircle of triangle $AEO$ with $\Gamma$. Prove that the circumcenter of triangle $HDF$ lies on $\Gamma$. Here, $XY$ denotes the length of segment $XY$.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Trigonometria, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Astrazione Area: Geometria Fonte: apri PDF

Il triangolo isosceles, il circoncircolo, il circoncentro di HDF si trova su Gamma

Che $ABC$ sia un triangolo di uguali dimensioni con $AB=AC$. Il $O$ deve essere un punto rigorosamente all’interno del triangolo (non su nessun lato). Il $\Gamma$ deve essere il circoncircolo del triangolo $ABC$. Le linee che attraversano $O$ incontrano il segmento $BC$ a $D$ e il segmento $AC$ (escluse le estremità) a $E$, e queste due linee si incrociano. Che $F$ sia un punto su $\Gamma$ diverso da $A$, $B$, $C$ in modo tale che $B$, $D$, $F$ siano collineari (o che la linea $BD$ rientri a $\Gamma$ a $F$). Il $H$ è la seconda intersezione del circoncircolo del triangolo $AEO$ con $\Gamma$. Prove che il centro circoncentrale del triangolo $HDF$ si trova su $\Gamma$. Qui, $XY$ indica la lunghezza del segmento $XY$.

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Find all positive integer pairs with 3^x - 8^y = 2xy+1

Find all pairs of positive integers $(x,y)$ satisfying $3^x-8^y=2xy+1.$

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Congruenze, Casework, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Ricerca tutte le coppie di numeri interi positivi con 3^x - 8^y = 2xy+1

Trova tutte le coppie di integri positivi $(x,y)$ soddisfacenti $3^x-8^y=2xy+1.$

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999 circular squares with reals; find minimum m for sequential property

Find the minimum positive integer $m$ for which the following statement holds:

Real numbers are written in each of 999 squares arranged in a circle. For any square $A$ and any positive integer $k\le m$, at least one of the following holds: \begin{itemize} \item The difference between the number written in the square $k$ steps clockwise from $A$ and the number written in $A$ equals $k$. \item The difference between the number written in the square $k$ steps counterclockwise from $A$ and the number written in $A$ equals $k$. \end{itemize} Then there exists a square $S$ such that, letting $x$ be the real number written in $S$, for every positive integer $k$ with $k<999$, at least one of the following holds: \begin{itemize} \item The number written in the square $k$ steps clockwise from $S$ equals $x+k$. \item The number written in the square $k$ steps counterclockwise from $S$ equals $x+k$. \end{itemize}

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Invarianti, Estremalità, Casework, Principio dei cassetti Abilita: Modellizzazione, Conteggio sistematico, Lettura attenta, Riconoscimento di pattern Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

999 quadrati circolari con reali; trovare m minimo per la proprietà sequenziale

Trovare il numero intero positivo minimo $m$ per il quale è valida la seguente affermazione:

I numeri reali sono scritti in ognuno dei 999 quadrati disposti in un cerchio. Per ogni quadrato $A$ e per ogni intero positivo $k\le m$, almeno uno dei seguenti valori è: \begin{itemize} \item La differenza tra il numero scritto nel quadrato $k$ passi in senso orario da $A$ e il numero scritto in $A$ equivale a $k$. \item La differenza tra il numero scritto nel quadrato $k$ passi in senso contrario all’orologio da $A$ e il numero scritto in $A$ equivale a $k$. Poi esiste un quadrato $S$ tale che, lasciando $x$ essere il numero reale scritto in $S$, per ogni intero positivo $k$ con $k<999$, almeno uno dei seguenti contiene: \begin{itemize} \item Il numero scritto nel quadrato $k$ passi in senso orario da $S$ equivale a $x+k$. \item Il numero scritto nel quadrato $k$ passi in senso contrario all’orologio da $S$ equivale a $x+k$. # Finire #

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