Japan Mathematical Olympiad 2022 — Yosen (Preliminary)

Smallest 4-digit multiple of 3 above 2022 with exactly 2 distinct digits

Find the smallest integer greater than $2022$ that is (i) a 4-digit number, (ii) a multiple of $3$, and (iii) uses exactly $2$ distinct digits among its thousands, hundreds, tens, and units places.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Casework Abilita: Lettura attenta, Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 2112 Fonte: apri PDF

Il più piccolo multiplo a 4 cifre di 3 al di sopra del 2022 con esattamente 2 cifre distinte

Trova il numero intero più piccolo di $2022$ che è (i) un numero a 4 cifre, (ii) un multiple di $3$, e (iii) utilizza esattamente $2$ cifre distinte tra i suoi migliaia, centinaia, decine e unità posti.

Risposta: 2112 src_jmo32ya_yosen__Q01

Area of trapezoid with inscribed circle, given two lateral sides

Trapezoid $ABCD$ has $AD\parallel BC$, with acute angles at $B$ and $C$. It has an inscribed circle of radius $3$. Given $AB=7$ and $CD=8$, find the area of trapezoid $ABCD$.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: 45 Fonte: apri PDF

Area di trapezzo con cerchio inciso, data due lati laterali

Il trapezoide $ABCD$ ha $AD\parallel BC$, con angoli acuti a $B$ e $C$. Ha un cerchio di raggio $3$. Date $AB=7$ e $CD=8$, si trova l’area del trapezoide $ABCD$.

Risposta: 45 src_jmo32ya_yosen__Q02

Hamiltonian circuits on regular hexagon with adjacent-or-opposite moves

Label the vertices of a regular hexagon $A,B,C,D,E,F$ in order. From any vertex, one may move to an adjacent vertex or to the diametrically opposite vertex. How many closed paths are there that start at $A$, visit each of the other five vertices exactly once (without returning to $A$ until the very end), and then return to $A$?

Topic: Combinatoria Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 12 Fonte: apri PDF

Circuiti di Hamilton su esagoni regolari con mosse adiacenti o opposte

Etichettare le vertici di un esagono regolare $A,B,C,D,E,F$ in ordine. Da qualsiasi vertice, si può spostare verso un vertice adiacente o verso il vertice diametralmente opposto. Quanti percorsi chiusi esistono che iniziano a $A$, visitano ciascuno degli altri cinque vertici esattamente una volta (senza tornare a $A$ fino alla fine), e poi ritornano a $A$?

Risposta: 12 src_jmo32ya_yosen__Q03

Area of triangle in convex quadrilateral with two perpendicularity conditions

Let $ABCD$ be a convex quadrilateral, and let $P$ be an interior point such that $AP\perp AD$ and $BP\perp CD$. Given $AB=7$, $AP=3$, $BP=6$, $AD=5$, and $CD=10$, find the area of triangle $ABC$.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: $\frac{245}{6}$ Fonte: apri PDF

Area di triangolo in quadrilaterale converso con due condizioni di perpendicularità

Che $ABCD$ sia un quadrilaterale convex e che $P$ sia un punto interno tale che $AP\perp AD$ e $BP\perp CD$. Date $AB=7$, $AP=3$, $BP=6$, $AD=5$ e $CD=10$, si trova l’area del triangolo $ABC$.

Risposta: \dfrac{245}{6} src_jmo32ya_yosen__Q04

Count pairs (m,n) satisfying an unbounded common-divisor condition

Find the number of pairs $(m,n)$ of positive integers with $1\le m,n\le 2022$ such that: for every positive integer $N$, there exist a non-negative integer $k$ and an integer $d>N$ such that $d$ divides both $m-k^2$ and $n+2k$.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Fattorizzazione, Congruenze Abilita: Manipolazione algebrica, Astrazione, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Risposta: 44 Fonte: apri PDF

Coppie di conteggio (m,n) che soddisfano una condizione di divisore comune illimitata

Trovare il numero di coppie $(m,n)$ di integri positivi con $1\le m,n\le 2022$ in modo tale che: per ogni integro positivo $N$, esiste un intero non negativo $k$ e un intero $d>N$ in modo tale che $d$ divida sia $m-k^2$ che $n+2k$.

Risposta: 44 src_jmo32ya_yosen__Q05

Colorings of triangular-tile board with balanced-color condition at each vertex

A board consists of $36$ equilateral-triangular tiles arranged in a triangular lattice with $30$ marked interior vertices. Color each tile either red or blue so that at every marked vertex, the number of red tiles sharing that vertex equals the number of blue tiles sharing that vertex. How many such colorings are there?

Topic: Combinatoria Metodo: Invarianti, Casework, Colorazione Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico, Astrazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 68 Fonte: apri PDF

Colori di tavola a tessuto triangolare con condizione di colore equilibrata a ciascun vertex

Una tavola è costituita da piastrelle triangolari equilaterali $36$ disposte in una griglia triangolare con vertici interni contrassegnati $30$. Colora ogni piastrella di colore rosso o blu in modo che a ogni vertice segnato, il numero di piastrelle rosse che condividono quel vertice sia uguale al numero di piastrelle blu che condividono quel vertice. Quante sono queste colorazioni?

Risposta: 68 src_jmo32ya_yosen__Q06

Find BD in right-isosceles triangle with interior cevian foot conditions

Let $ABC$ be a right isosceles triangle with $\angle BAC=90^{\circ }$ and $AB=AC=7$. Points $D$, $E$, $F$ lie on sides $BC$, $CA$, $AB$ respectively and satisfy $\angle EDF=90^{\circ }$, $DE=5$, $DF=3$. Find the length of segment $BD$.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: $\frac{21\sqrt{2}}{8}$ Fonte: apri PDF

Ricerca BD nel triangolo a destra con condizioni di piede ceviano interno

$ABC$ sia un triangolo a destra con $\angle BAC=90^{\circ }$ e $AB=AC=7$. I punti $D$, $E$, $F$ si trovano rispettivamente sui lati $BC$, $CA$ e $AB$ e soddisfano $\angle EDF=90^{\circ }$, $DE=5$ e $DF=3$. Trova la lunghezza del segmento $BD$.

Risposta: \dfrac{21\sqrt{2}}{8} src_jmo32ya_yosen__Q07

Count strictly-increasing sequences satisfying a decreasing squared-difference chain

How many strictly increasing sequences of positive integers $(a_1,a_2,\dots ,a_{2022})$ satisfy $a_1^2-6^2\ge a_2^2-7^2\ge \cdots \ge a_{2022}^2-2027^2?$

Topic: Algebra, Combinatoria Metodo: Casework, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Conteggio sistematico Area: Algebra e Analisi, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 10 Fonte: apri PDF

Contare sequenze in rigido aumento che soddisfano una catena di differenza quadrata in diminuzione

Quante sequenze di numeri interi positivi in aumento rigoroso $(a_1,a_2,\dots ,a_{2022})$ soddisfano $a_1^2-6^2\ge a_2^2-7^2\ge \cdots \ge a_{2022}^2-2027^2?$

Risposta: 10 src_jmo32ya_yosen__Q08

Permutations of 1–1000 where each p_i is a multiple of i

How many permutations $(p_1,p_2,\dots ,p_{1000})$ of $1,2,\dots ,1000$ are there such that for every integer $i$ with $1\le i\le 999$, $p_i$ is a multiple of $i$?

Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio, Casework, Doppio conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico, Riconoscimento di pattern Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 504 Fonte: apri PDF

Permutazioni di 11000 in cui ogni p_i è un multiple di i

Quante permutazioni $(p_1,p_2,\dots ,p_{1000})$ di $1,2,\dots ,1000$ esistono tali che per ogni numero intero $i$ con $1\le i\le 999$, $p_i$ sia un multiple di $i$?

Risposta: 504 src_jmo32ya_yosen__Q09

Count 25-element antichains in divisibility poset on {1,…,50}

How many ways are there to choose $25$ distinct integers from $\{1,2,\dots ,50\}$ such that among any two chosen integers, neither divides the other?

Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio, Biiezione, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Astrazione, Riconoscimento di pattern Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 1632 Fonte: apri PDF

Conta le anticette di 25 elementi nel posetto di divisibilità su {1,…,50}

Quanti modi ci sono per scegliere $25$ numeri interi distinti da $\{1,2,\dots ,50\}$ in modo tale che tra due numeri interi scelti, nessuno divida l’altro?

Risposta: 1632 src_jmo32ya_yosen__Q10

Largest power of 5 dividing sum of ±n^100 based on digit-sum parity

For each positive integer $n$, define $f(n)=\{\begin{array}{ll}{n}^{100}& \text{if the sum of the digits of }n\text{ is even,}\\ -n^{100}& \text{if the sum of the digits of }n\text{ is odd.}\end{array}$ Let $S=f(1)+f(2)+\cdots +f(10^{100}-1)$. Find the largest non-negative integer $m$ such that $5^m$ divides $S$ (it is given that $S\ne 0$).

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Congruenze, Induzione, Telescoping Abilita: Manipolazione algebrica, Astrazione, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Risposta: 5074 Fonte: apri PDF

La potenza più bassa di 5 somma divisoria di ±n^100 in base alla parità di somma digitali

Per ogni intero positivo $n$, definire $f(n)=\{\begin{array}{ll}{n}^{100}& \text{if the sum of the digits of }n\text{ is even,}\\ -n^{100}& \text{if the sum of the digits of }n\text{ is odd.}\end{array}$ Let $S=f(1)+f(2)+\cdots +f(10^{100}-1)$. Trova il più grande intero non negativo $m$ tale che $5^m$ divida $S$ (si dà che $S\ne 0$).

Risposta: 5074 src_jmo32ya_yosen__Q11

Find BC in acute triangle given orthocenter, midpoint, and angle condition

In acute triangle $ABC$, $AB=11$ and $AC=10$. Let $H$ be the orthocenter and $M$ the midpoint of $BC$. A point $P$ inside triangle $ABC$ lies on the circumcircle of triangle $BHC$ and satisfies $\angle ABP=\angle CPM$ and $PM=3$. Find the length of side $BC$.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria Risposta: $2\sqrt{21}$ Fonte: apri PDF

Ricerca BC in un triangolo acuto dato il centro, il punto medio e l’angolo condizione

In triangolo acuto $ABC$, $AB=11$ e $AC=10$. $H$ sia il centro ortografico e $M$ il punto medio di $BC$. Un punto $P$ all’interno del triangolo $ABC$ si trova sul circoncircolo del triangolo $BHC$ e soddisfa $\angle ABP=\angle CPM$ e $PM=3$. Trova la lunghezza del lato $BC$.

Risposta: 2\sqrt{21} src_jmo32ya_yosen__Q12