Japan Mathematical Olympiad 2024 — Honsen (Final)

Permutation of n consecutive integers mapped to itself by linear recurrence

Let $n\ge 2$ be an integer. Find all permutations $(a_1,a_2,\dots ,a_n)$ of $n$ consecutive integers such that $(a_1-2a_2,a_2-2a_3,\dots ,a_{n-1}-2a_n,a_n-2a_1)$ is also a permutation of $(a_1,a_2,\dots ,a_n)$.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Simmetria, Induzione Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Permutazione di n integri consecutivi mappati a se stessi con ricorrenza lineare

$n\ge 2$ sia un numero intero. Trovare tutte le permutazioni $(a_1,a_2,\dots ,a_n)$ di $n$ numeri interi consecutivi in modo tale che $(a_1-2a_2,a_2-2a_3,\dots ,a_{n-1}-2a_n,a_n-2a_1)$ sia anche una permutazione di $(a_1,a_2,\dots ,a_n)$.

src_jmo34hq_honsen__Q01

Find all functions on positive integers satisfying an lcm functional equation

Find all functions $f$ defined on the positive integers taking positive integer values such that, for all positive integers $m$ and $n$, $\mathrm{lcm}(f(m+f(n)),f(m))=\mathrm{lcm}(f(m),f(m+n)).$ Here $\mathrm{lcm}(x,y)$ denotes the least common multiple of $x$ and $y$.

Topic: Equazioni funzionali, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Ragionamento geometrico Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Ricerca tutte le funzioni su numeri interi positivi che soddisfano un’equazione funzionale lcm

Trova tutte le funzioni $f$ definite sui numeri interi positivi che assumono valori interi positivi in modo tale che, per tutti i numeri interi positivi $m$ e $n$, $\mathrm{lcm}(f(m+f(n)),f(m))=\mathrm{lcm}(f(m),f(m+n)).$ qui $\mathrm{lcm}(x,y)$ denota il più piccolo comune multiple di $x$ e $y$.

src_jmo34hq_honsen__Q02

Minimum n so that some good point lies on n Z-shaped broken lines in a grid

In the $xy$-plane, a lattice point $(x,y)$ is called good if $1<x\le 2000$ and $1<y\le 2000$ (i.e.~both coordinates are integers with $2\le x\le 2000$ and $2\le y\le 2000$). For four good points $A(x_1,y_1)$, $B(x_2,y_2)$, $C(x_3,y_3)$, $D(x_4,y_4)$, the polygonal path $ABCD$ is called a Z-shaped broken line if all of the following hold:

• $A,B,C,D$ are all good points.
• $x_1<x_2$ and $y_1=y_2$.
• $x_2>x_3$ and $y_2>y_3$.
• $x_3<x_4$ and $y_3=y_4$.

Here a Z-shaped broken line $ABCD$ consists of segments $AB$, $BC$, $CD$ (including their endpoints).

Let $n$ good Z-shaped broken lines $Z_1,Z_2,\dots ,Z_n$ satisfy all of the above conditions. Find the minimum integer $n$ such that: no matter which $n$ good Z-shaped broken lines are chosen, there always exists a good point $P$ that lies on at least two of them.

(Note: segment $AB$, $BC$, or $CD$ includes both endpoints.)

Topic: Combinatoria Metodo: Estremalità, Casework, Doppio conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato, Modellizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Minimum n in modo che un certo punto buono si trovi su n linee rotte a forma di Z in una griglia

Nel piano $xy$, un punto di rete $(x,y)$ è chiamato good se $1<x\le 2000$ e $1<y\le 2000$ (cioè.~ entrambe le coordinate sono interi con $2\le x\le 2000$ e $2\le y\le 2000$). Per quattro punti buoni $A(x_1,y_1)$, $B(x_2,y_2)$, $C(x_3,y_3)$, $D(x_4,y_4)$, il percorso poligonale $ABCD$ si chiama linea rotta ** a forma di Z** se tutti i seguenti punti: - $A,B,C,D$ sono tutti punti buoni. - $x_1<x_2$ e $y_1=y_2$. - $x_2>x_3$ e $y_2>y_3$. - $x_3<x_4$ e $y_3=y_4$.

Qui una linea rotta a forma di Z $ABCD$ è composta da segmenti $AB$, $BC$, $CD$ (compresi i loro punti di fine).

Lasciate che $n$ buone linee rotte a forma di Z $Z_1,Z_2,\dots ,Z_n$ soddisfino tutte le condizioni di cui sopra. Trovare il numero intero minimo $n$ in modo tale che: non importa quali $n$ buone linee rotte a forma di Z siano scelte, esiste sempre un buon punto $P$ che si trova su almeno due di esse.

(Nota: il segmento $AB$, $BC$ o $CD$ comprende entrambi gli endpoint.)

src_jmo34hq_honsen__Q03

Circumcircle diameter endpoint lies on circumcircle of auxiliary triangle via angle chase

Let triangle $ABC$ satisfy $AB<AC$. Let $O$ be the circumcenter of $△ABC$, and let $M$ be the midpoint of arc $BC$ not containing $A$ on the circumcircle. Let $D$ be the point on the extension of side $AB$ beyond $B$ such that $BD=BM$. Let $E$ be the point on side $AB$ (between $A$ and $B$) such that $CE=CM$. Let the circumcircle of $△ABE$ meet the circumcircle of $△ABC$ again at a point $X$ (other than $B$). Let $U$ and $V$ be the intersections of line $AX$ with the circumcircle of $△ABC$ (so $UV$ is a chord, with $U$ on arc $AB$ not containing $C$ and $V$ on arc $BC$ not containing $A$, or as appropriate). Show that segment $UV$ is a diameter of the circumcircle of $△ABC$ if and only if $D$, $O$, $X$ are collinear.

(More precisely: Let $E$ be the point on segment $AB$ with $CE=CM$. The circumcircle of $△ABE$ meets the circumcircle of $△ABC$ at $B$ and at another point $X$. Let $U$, $V$ be the two intersection points of line $AX$ with the circumcircle of $△ABC$. Prove that $UV$ is a diameter of the circumcircle of $△ABC$ if and only if $D$, $O$, $X$ are collinear, where $D$ is on the ray from $A$ through $B$ beyond $B$ with $BD=BM$.)

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Coordinate, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Il punto di fine del diametro del cerchio si trova sul cerchio del triangolo ausiliario attraverso la caccia angolare

Il triangolo $ABC$ deve soddisfare $AB<AC$. Let $O$ essere il centro circostante di $△ABC$, e let $M$ essere il punto medio di arco $BC$ non contenente $A$ sul circolo circostante. Il punto di estensione del lato $AB$ al di là di $B$ deve essere $D$ in modo tale che $BD=BM$. $E$ deve essere il punto laterale $AB$ (tra $A$ e $B$) in modo tale che $CE=CM$. Il circoncircolo di $△ABE$ deve incontrare di nuovo il circoncircolo di $△ABC$ in un punto $X$ (diversi da $B$). Che $U$ e $V$ siano le intersezioni della linea $AX$ con il circoncircolo di $△ABC$ (così $UV$ è un’accorda, con $U$ su arco $AB$ che non contiene $C$ e $V$ su arco $BC$ che non contiene $A$, o se del caso). Indicare che il segmento $UV$ è un diametro del circoncircolo di $△ABC$ se e solo se $D$, $O$, $X$ sono collineari.

(Più precisamente: $E$ sia il punto del segmento $AB$ con $CE=CM$. Il circoncircolo di $△ABE$ incontra il circoncircolo di $△ABC$ a $B$ e in un altro punto $X$. $U$, $V$ siano i due punti di intersezione della linea $AX$ con il circoncircolo di $△ABC$. Provare che $UV$ è un diametro del circoncircolo di $△ABC$ se e solo se $D$, $O$, $X$ sono collineari, dove $D$ è sul raggio da $A$ a $B$ oltre $B$ con $BD=BM$.)

src_jmo34hq_honsen__Q04

No positive integer solution to a^2+b^2+c^2+d^2−4√(abcd)=7·2^(2n−1)

Prove that there are no positive integers $(a,b,c,d,n)$ satisfying $a^2+b^2+c^2+d^2-4\sqrt{abcd}=7\cdot 2^{2n-1}.$

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Congruenze, Fattorizzazione, Induzione Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Nessuna soluzione di integri positivi a^2+b^2+c^2+d^2−4√(abcd)=7·2^(2n−1)

Prova che non ci sono numeri interi positivi $(a,b,c,d,n)$ che soddisfano $a^2+b^2+c^2+d^2-4\sqrt{abcd}=7\cdot 2^{2n-1}.$

src_jmo34hq_honsen__Q05