Japan Mathematical Olympiad 2024 — Yosen (Preliminary)

Simplify a nested factorial square root as a reduced fraction

The following value is rational. Express it as a reduced fraction: $\sqrt{\frac{123!-122!}{122!-121!}}$

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: $\frac{122}{11}$ Fonte: apri PDF

Semplificare una radice quadrata fattoriale incastonata come frazione ridotta

Il seguente valore è razionale. Esprimere come frazione ridotta: $\sqrt{\frac{123!-122!}{122!-121!}}$

Risposta: \frac{122}{11} src_jmo34yqa_yosen__Q01

Find all 3-digit n where n+2024 and n-34 are both prime-digit numbers

Call a positive integer a prime-digit number (素敵な数) if every digit that appears in it is a prime digit. Find all 3-digit positive integers $n$ such that both $n+2024$ and $n-34$ are prime-digit numbers. (There are exactly two such $n$; find all of them.)

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Casework, Casi e conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Lettura attenta, Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 309, 311 Fonte: apri PDF

Ricerca tutti i n a 3 cifre dove n+2024 e n-34 sono entrambi numeri a prime cifre

Chiamate un intero positivo numero a prime cifre (nellezza numero) se ogni cifra che appare in esso è una cifra primaria. Trova tutti i numeri interi positivi a 3 cifre $n$ in modo che sia $n+2024$ che $n-34$ siano numeri a prime cifre. (Ci sono esattamente due di questi $n$; trovateli tutti.)

Risposta: 309, 311 src_jmo34yqa_yosen__Q02

Find BX in equilateral triangle with circle tangent at X and crossing sides

Let $ABC$ be an equilateral triangle with side length $10$. A circle passing through $A$ is tangent to side $BC$ (excluding endpoints) at point $X$, and meets sides $AB$ and $AC$ again at points $D$ and $E$ (other than $A$) respectively. Given that $BX>CX$ and $AD+AE=13$, find the length $BX$. (Here $PQ$ denotes the length of segment $PQ$.)

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: $5+\sqrt{10}$ Fonte: apri PDF

Trova BX in triangolo equilaterale con tangente di cerchio a X e lati di incrocio

Il $ABC$ deve essere un triangolo equilaterale con lunghezza laterale $10$. Un cerchio che attraversa $A$ è tangente ai lati $BC$ (esclusi i punti finali) al punto $X$ e incontra i lati $AB$ e $AC$ di nuovo rispettivamente ai punti $D$ e $E$ (diversi da $A$). Dato che $BX>CX$ e $AD+AE=13$, trovare la lunghezza $BX$. (Qui $PQ$ indica la lunghezza del segmento $PQ$.)

Risposta: 5 + \sqrt{10} src_jmo34yqa_yosen__Q03

Minimum n so that 5-round stone replacement always ends on a black stone

Let $n$ be an integer with $0\le n\le 5^5$. Place $n$ black stones and $5^5-n$ white stones in a row, then repeat the following operation 5 times:

Divide the row of stones into groups of 5 from left to right. For each group, replace all 5 stones in that group with 5 copies of the color that appears more often among those 5 stones.

Find the minimum value of $n$ such that, regardless of the initial arrangement, the single remaining stone is always black.

Topic: Combinatoria Metodo: Invarianti, Estremalità, Induzione Abilita: Ragionamento geometrico, Astrazione, Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 2883 Fonte: apri PDF

Minimum n in modo che la sostituzione di pietra a 5 giri finisca sempre su una pietra nera

$n$ sia un numero intero con $0\le n\le 5^5$. Mettete le pietre nere $n$ e le bianche $5^5-n$ in fila e ripetete quindi la seguente operazione 5 volte:

Dividere la fila di pietre in gruppi di 5 da sinistra a destra. Per ciascun gruppo, sostituire tutte le 5 pietre di quel gruppo con 5 copie del colore che appare più spesso tra quelle 5 pietre.

Trova il valore minimo di $n$ in modo tale che, indipendentemente dalla disposizione iniziale, la sola pietra rimanente sia sempre nera.

Risposta: 2883 src_jmo34yqa_yosen__Q04

Smallest integer n >= 10 with product of floor(n/k) equal to C(n,10)

Find the smallest integer $n\ge 10$ satisfying $\lfloor \frac{n}{1}\rfloor \lfloor \frac{n}{2}\rfloor \cdots \lfloor \frac{n}{10}\rfloor =\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{10}\right).$ Here $[r]$ denotes the greatest integer not exceeding the real number $r$ (i.e., $[3.14]=3$, $[5]=5$).

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Casework, Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 2519 Fonte: apri PDF

*Il più piccolo numero intero n >= 10 con prodotto del piano n/k) uguale a C(n,10) *

Trova il numero intero più piccolo $n\ge 10$ soddisfacente $\lfloor \frac{n}{1}\rfloor \lfloor \frac{n}{2}\rfloor \cdots \lfloor \frac{n}{10}\rfloor =\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{10}\right).$ Qui $[r]$ indica il numero intero più grande non superiore al numero reale $r$ (cioè $[3.14]=3$, $[5]=5$).

Risposta: 2519 src_jmo34yqa_yosen__Q05

Find BC in isosceles triangle with circle tangent conditions and CF=10

In isosceles triangle $ABC$ with $AB=AC=5$, let $D$ be the point on side $AB$ with $AD=3$, and let $E$ be a point on side $BC$ (excluding endpoints). Let $\omega$ be the circle passing through $E$ and tangent to line $AB$ at point $B$; suppose $\omega$ is also tangent to the circumcircle of triangle $ADE$. Let $F$ be the intersection of $\omega$ and line $AE$ other than $E$. If $CF=10$, find the length $BC$. (Here $XY$ denotes the length of segment $XY$.)

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: $\frac{14\sqrt{65}}{13}$ Fonte: apri PDF

Ritrovare BC in triangolo di pari dimensioni con condizioni tangenti di cerchio e CF=10

Nel triangolo di uguali dimensioni $ABC$ con $AB=AC=5$, $D$ deve essere il punto laterale $AB$ con $AD=3$, e $E$ deve essere un punto laterale $BC$ (esclusi i punti finali). Che $\omega$ sia il cerchio che attraversa $E$ e che sia tangente alla linea $AB$ al punto $B$; supponiamo che $\omega$ sia anche tangente al circoncircolo del triangolo $ADE$. Il $F$ deve essere l’intersezione di $\omega$ e della riga $AE$ diversa da $E$. Se $CF=10$, trova la lunghezza $BC$. (Qui $XY$ indica la lunghezza del segmento $XY$.)

Risposta: \frac{14\sqrt{65}}{13} src_jmo34yqa_yosen__Q06

Count pairs (p,a) with p prime >= 3 and ap^4+2p^3+2p^2+1 a perfect square

Find the number of pairs $(p,a)$ where $p$ is a prime with $p\ge 3$ and $a$ is an integer with $1\le a\le 2024$, satisfying $a<p^4$ and $a{p}^4+2p^3+2p^2+1$ is a perfect square.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Fattorizzazione, Congruenze, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Risposta: 16 Fonte: apri PDF

Conte le coppie (p,a) con p primo >= 3 e ap^4+2p^3+2p^2+1 un quadrato perfetto

Trova il numero di coppie $(p,a)$ dove $p$ è un primo con $p\ge 3$ e $a$ è un intero con $1\le a\le 2024$, soddisfa $a<p^4$ e $a{p}^4+2p^3+2p^2+1$ è un quadrato perfetto.

Risposta: 16 src_jmo34yqa_yosen__Q07

Count tuples (f(0),…,f(2024)) for functional equation on non-negative integers

A function $f$ defined on the non-negative integers takes non-negative integer values and satisfies, for all non-negative integers $m,n$: $f(m+n{)}^2=f(m\cdot f(n))+f(n^2).$ How many tuples $(f(0),f(1),\dots ,f(2024))$ are possible?

Topic: Equazioni funzionali, Algebra Metodo: Casework, Induzione, Invarianti Abilita: Manipolazione algebrica, Astrazione, Casework accurato Area: Algebra e Analisi Risposta: $2^{990}+1$ Fonte: apri PDF

Conta i tuppi (f(0),…,f(2024)) per l’equazione funzionale su integri non negativi

Una funzione $f$ definita sui numeri interi non negativi prende valori di numeri interi non negativi e soddisfa, per tutti i numeri interi non negativi $m,n$: $f(m+n{)}^2=f(m\cdot f(n))+f(n^2).$ Quanti tupli $(f(0),f(1),\dots ,f(2024))$ sono possibili?

Risposta: 2^{990} + 1 src_jmo34yqa_yosen__Q08

Find DF in cyclic quadrilateral with angle bisector and equal angle conditions

Cyclic quadrilateral $ABCD$ satisfies $AB=7$ and $BC=18$. The angle bisector of $\angle CDA$ meets side $BC$ at point $E$, and a point $F$ on segment $DE$ satisfies $\angle AED=\angle FCD$. Given $BE=5$ and $EF=3$, find the length $DF$. (Here $XY$ denotes the length of segment $XY$.)

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: $\frac{17}{3}$ Fonte: apri PDF

Ricerca DF in quadrilaterali ciclici con bisettore angolare e condizioni di angolo uguale

Il quadrilaterale ciclico $ABCD$ soddisfa $AB=7$ e $BC=18$. Il bisettore angolare di $\angle CDA$ incontra il lato $BC$ al punto $E$, e un punto $F$ sul segmento $DE$ soddisfa $\angle AED=\angle FCD$. Con $BE=5$ e $EF=3$, si trova la lunghezza $DF$. (Qui $XY$ indica la lunghezza del segmento $XY$.)

Risposta: \frac{17}{3} src_jmo34yqa_yosen__Q09

Count 100x100 grids with letters J,M,O where every 2x2 block is good and exactly 10000 differing adjacent pairs

Consider filling each cell of a $100\times 100$ grid with one of the letters J, M, O. Call a $2\times 2$ sub-grid a good block if it satisfies one of the following conditions:

• All 4 cells contain exactly 1 distinct letter.
• The 4 cells contain exactly 2 distinct letters, each appearing exactly twice.
• The 4 cells contain exactly 3 distinct letters, and the bottom-left and top-right cells contain the same letter.

Find the number of fillings satisfying both of the following conditions:

• Every $2\times 2$ sub-grid is a good block.
• The number of pairs of adjacent cells (sharing an edge) that contain different letters is exactly $10000$. (Pairs are unordered.)

Fillings that coincide after rotation or reflection are counted as distinct.

Topic: Combinatoria Metodo: Casework, Conteggio, Doppio conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato, Astrazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{198}{100}\right)\cdot 3\cdot 2^{100}$ Fonte: apri PDF

Contare le griglie da 100x100 con le lettere J,M,O dove ogni blocco da 2x2 è buono e esattamente 10000 coppie adiacenti diverse

Considera di riempire ogni cella di una griglia $100\times 100$ con una delle lettere J, M, O. Chiamare un $2\times 2$ sottogrid **buono blocco ** se soddisfa una delle seguenti condizioni: - Tutte le 4 celle contengono esattamente 1 lettera distinta. - Le 4 celle contengono esattamente 2 lettere distinte, ognuna appare esattamente due volte. - Le 4 celle contengono esattamente 3 lettere distinte, e le celle di basso a sinistra e di alto a destra contengono la stessa lettera.

Trovare il numero di riempimenti che soddisfano entrambe le seguenti condizioni: - Ogni sottogrido $2\times 2$ è un buon blocco. - Il numero di coppie di celle adiacenti (con un bordo condiviso) che contengono lettere diverse è esattamente $10000$. (Le coppie non sono ordinate.)

I riempimenti che coincidono dopo la rotazione o la riflessione sono contati come distinti.

Risposta: \binom{198}{100} \cdot 3 \cdot 2^{100} src_jmo34yqa_yosen__Q10

Minimum sum f(100)+…+f(199) for function satisfying triangle side conditions

A function $f$ defined on the positive integers takes positive integer values, satisfies $f(34)=2024$, and has the property that for any positive integers $a,b,c$, a triangle with side lengths $a+f(b)$, $b+f(c)$, $c+f(a)$ exists (where three collinear points do not form a triangle). Find the minimum possible value of $f(100)+f(101)+\cdots +f(199)$.

Topic: Disuguaglianze, Equazioni funzionali Metodo: Estremalità, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Stima, Ragionamento geometrico Area: Algebra e Analisi Risposta: 102050 Fonte: apri PDF

Summa minima f(100)+…+f(199) per la funzione che soddisfa le condizioni laterali del triangolo

Una funzione $f$ definita sui numeri interi positivi assume valori interi positivi, soddisfa $f(34)=2024$, e ha la proprietà che per tutti i numeri interi positivi $a,b,c$, esiste un triangolo con lunghezze laterali $a+f(b)$, $b+f(c)$, $c+f(a)$ (dove tre punti collineari non formano un triangolo). Trova il valore minimo possibile di $f(100)+f(101)+\cdots +f(199)$.

Risposta: 102050 src_jmo34yqa_yosen__Q11

Count tuples (a_1,…,a_2100) mod 2100 satisfying a Mobius-type convolution condition

Find the number of tuples $(a_1,a_2,\dots ,a_{2100})$ of integers with $0\le a_i\le 2099$ for all $i$, such that there exists a tuple of integers $(b_1,b_2,\dots ,b_{2100})$ for which, for every integer $i$ with $1\le i\le 2100$, $a_i\equiv {\sum }_{\begin{array}{c}\gcd (j-i,2100)=1\\ 1\le j\le 2100\end{array}}{b}_j(\mathrm{mod}2100).$ Here the right-hand side is the sum of $b_j$ over all integers $j$ with $1\le j\le 2100$ such that no integer $\ge 2$ divides both $j-i$ and $2100$.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra, Combinatoria Metodo: Congruenze, Doppio conteggio, Biiezione Abilita: Astrazione, Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: $\frac{2100^{210}}{2^{164}\cdot 3^{30}}$ Fonte: apri PDF

Conta i dupli (a_1,…,a_2100) mod 2100 che soddisfano una condizione di convoluzione di tipo Mobius

Trovare il numero di tuppi $(a_1,a_2,\dots ,a_{2100})$ di enti interi con $0\le a_i\le 2099$ per tutti $i$, in modo che esista un tuple di enti $(b_1,b_2,\dots ,b_{2100})$ per il quale, per ogni intero $i$ con $1\le i\le 2100$, $a_i\equiv {\sum }_{\begin{array}{c}\gcd (j-i,2100)=1\\ 1\le j\le 2100\end{array}}{b}_j(\mathrm{mod}2100).$ Qui il lato destro è la somma di $b_j$ su tutti gli enti $j$ con $1\le j\le 2100$ in modo che nessun intero $\ge 2$ divide sia $j-i$ che $2100$.

Risposta: \frac{2100^{210}}{2^{164} \cdot 3^{30}} src_jmo34yqa_yosen__Q12