Japan Mathematical Olympiad 2025 — Honsen (Final)

Minimum of cyclic sum of squared differences under gap constraints

Let $n\ge 2$ be an integer. Real numbers $a_1,a_2,\dots ,a_{2n}$ satisfy $|a_k-a_{n+k}|\ge 1$ for every integer $k$ with $1\le k\le n$. Find the minimum value of $(a_1-a_2{)}^2+(a_2-a_3{)}^2+\cdots +(a_{2n-1}-a_{2n}{)}^2+(a_{2n}-a_1{)}^2.$

Topic: Algebra, Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze, Estremalità, Simmetria Abilita: Manipolazione algebrica, Stima, Ragionamento geometrico Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Minimum della somma ciclica delle differenze quadrate sotto vincoli di distanza

$n\ge 2$ sia un numero intero. I numeri reali $a_1,a_2,\dots ,a_{2n}$ soddisfano $|a_k-a_{n+k}|\ge 1$ per ogni numero intero $k$ con $1\le k\le n$. Trova il valore minimo di $(a_1-a_2{)}^2+(a_2-a_3{)}^2+\cdots +(a_{2n-1}-a_{2n}{)}^2+(a_{2n}-a_1{)}^2.$

src_jmo35hq_honsen__Q01

Circumcenters of sub-triangles with circumcenter; collinearity proof

Let $ABC$ be an acute triangle with circumcenter $O$. Let $O_1$ and $O_2$ be the circumcenters of triangles $ABO$ and $ACO$, respectively. The circumcircle of triangle $A{O}_1{O}_2$ meets line $BC$ at two distinct points $P$ and $Q$. Let $O_3$ be the circumcenter of triangle $OPQ$. Prove that the three points $A$, $O$, $O_3$ are collinear.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Circumcenti di sotto-triangoli con circoncentro; prova di collinearietà

$ABC$ sia un triangolo acuto con il centro circundante $O$. $O_1$ e $O_2$ siano rispettivamente i circoncentri dei triangoli $ABO$ e $ACO$. Il circoncircolo del triangolo $A{O}_1{O}_2$ incontra la linea $BC$ a due punti distinti $P$ e $Q$. Lasciate che $O_3$ sia il centro circundante del triangolo $OPQ$. Prove che i tre punti $A$, $O$ e $O_3$ sono collineari.

src_jmo35hq_honsen__Q02

Minimum n so n triples cover all consecutive triples in any 1-to-100 sequence

Let $n$ be a positive integer. Suppose $n$ triples of integers $(x_1,y_1,z_1),(x_2,y_2,z_2),\dots ,(x_n,y_n,z_n)$, each with $1\le x_j,y_j,z_j\le 100$, satisfy the following condition:

\textit{For every infinite sequence $a_1,a_2,\dots$ of integers with $1\le a_i\le 100$ for all $i\ge 1$, and for every positive integer $i$, there exists an integer $j$ with $1\le j\le n$ such that $(a_i,a_{i+1},a_{i+2})=(x_j,y_j,z_j)$.}

Find the minimum possible value of $n$.

Topic: Combinatoria Metodo: Casework, Conteggio, Estremalità, Principio dei cassetti Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico, Riconoscimento di pattern, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF

Minimum n tripli coprono tutti i tripli consecutivi in qualsiasi sequenza da 1 a 100

$n$ sia un numero intero positivo. Supponiamo che $n$ tripli di integri $(x_1,y_1,z_1),(x_2,y_2,z_2),\dots ,(x_n,y_n,z_n)$, ciascuno con $1\le x_j,y_j,z_j\le 100$, soddisfino la seguente condizione:

\textit{Per ogni sequenza infinita $a_1,a_2,\dots$ di numeri interi con $1\le a_i\le 100$ per tutti $i\ge 1$, e per ogni intero positivo $i$, esiste un intero $j$ con $1\le j\le n$ tale che $(a_i,a_{i+1},a_{i+2})=(x_j,y_j,z_j)$.}

Trova il valore minimo possibile di $n$.

src_jmo35hq_honsen__Q03

Find all integer-valued functions with f(n)>0 and f(n) divides n^{f(n)}-1

Find all functions $f$ defined on integers $n\ge 2$ taking positive integer values such that both of the following conditions hold for all integers $n\ge 2$: \begin{itemize} \item $f(n)>0$, \item $f(n)\mid n^{f(n)}-1$. \end{itemize}

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Fattorizzazione, Casework Abilita: Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Fonte: apri PDF

Ricerca tutte le funzioni a valore intero con f(n)>0 e f(n) divisi n^{f(n)}-1

Trova tutte le funzioni $f$ definite su enti $n\ge 2$ che assumono valori interi positivi in modo tale che entrambe le seguenti condizioni si applichino a tutti gli enti $n\ge 2$: \begin{itemize} \item $f(n)>0$, \item $f(n)\mid n^{f(n)}-1$. # Finire #

src_jmo35hq_honsen__Q04

Interior points via angle bisectors; reflections yield similar triangles

Let $ABC$ be a non-isosceles acute triangle. There are three distinct points $A_1$, $B_1$, $C_1$ in the interior of triangle $ABC$ satisfying $A{B}_1:C{B}_1=AB:CB\text{and}A{C}_1:B{C}_1=AC:BC.$ Let $A_2$ be the reflection of $A_1$ over line $BC$, let $B_2$ be the reflection of $B_1$ over line $AC$, and let $C_2$ be the reflection of $C_1$ over line $AB$. The following conditions all hold: \begin{itemize} \item The four points $A$, $A_2$, $B$, $C_2$ are concyclic. \item The four points $A$, $A_2$, $B_2$, $C$ are concyclic. \item The four points $B$, $B_2$, $C$, $C_2$ are concyclic. \item None of the points $A_2$, $B_2$, $C_2$ lies on the circumcircle of triangle $ABC$. \end{itemize} Prove that triangle $A_1{B}_1{C}_1$ is similar to triangle $A_2{B}_2{C}_2$. (Here, $XY$ denotes the length of segment $XY$.)

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria, Coordinate, Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Lettura attenta, Manipolazione algebrica Area: Geometria Fonte: apri PDF

Punti interni tramite bisettori angolari; i riflessi producono triangoli simili

Che il $ABC$ sia un triangolo acuto non isosceles. Ci sono tre punti distinti $A_1$, $B_1$, $C_1$ all’interno del triangolo $ABC$ che soddisfano $A{B}_1:C{B}_1=AB:CB\text{and}A{C}_1:B{C}_1=AC:BC.$ Che $A_2$ sia il riflesso di $A_1$ sulla linea $BC$, che $B_2$ sia il riflesso di $B_1$ sulla linea $AC$, e che $C_2$ sia il riflesso di $C_1$ sulla linea $AB$. Le seguenti condizioni si applicano tutte: \begin{itemize} \item I quattro punti $A$, $A_2$, $B$, $C_2$ sono conciclici. \item I quattro punti $A$, $A_2$, $B_2$, $C$ sono conciclici. \item I quattro punti $B$, $B_2$, $C$, $C_2$ sono conciclici. \item Nessuno dei punti $A_2$, $B_2$, $C_2$ si trova sul circoncircolo del triangolo $ABC$. \end{itemize} Prova che il triangolo $A_1{B}_1{C}_1$ è simile al triangolo $A_2{B}_2{C}_2$. (Qui $XY$ indica la lunghezza del segmento $XY$.)

src_jmo35hq_honsen__Q05