Japan Mathematical Olympiad 2025 — Yosen (Preliminary)

Fill 7 honeycomb hexagons with 1-7 (each once), adjacent sums at most 10

As shown in the figure, $7$ regular-hexagon cells are arranged in a honeycomb pattern (one central cell surrounded by $6$ cells). Write one integer from $1$ to $7$ in each cell, using each integer exactly once, so that for every two cells that share an edge the sum of the two integers written in them is at most $10$. How many ways are there to do this? Here, two ways that coincide under a rotation or reflection are also counted as distinct.

Topic: Combinatoria Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 72 Fonte: apri PDF

Remplire 7 esagoni di mellifera con 1-7 (ogni una volta), somme adiacenti al massimo 10

Come mostrato nella figura, le cellule $7$ a esagono regolare sono disposte in un modello di pelliccia (una cellula centrale circondata da cellule $6$). Scrivi un intero da $1$ a $7$ in ogni cella, utilizzando ogni intero esattamente una volta, in modo che per ogni due celle che condividono un bordo la somma dei due numeri interi scritti in loro sia al massimo $10$. Quanti modi ci sono per farlo? Qui, due vie che coincidono sotto una rotazione o riflessione sono anche contate come distinte.

Risposta: 72 src_jmo35yqa_yosen__Q01

Count quadruples (a,b,c,d) of positive integers, abcd=2025, ab,bc,cd,da all squares

How many quadruples $(a,b,c,d)$ of positive integers satisfy $abcd=2025$ such that $ab$, $bc$, $cd$, $da$ are all perfect squares?

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Fattorizzazione, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 44 Fonte: apri PDF

Conta quadrupli (a,b,c,d) di numeri interi positivi, abcd=2025, ab,bc,cd,da tutti i quadrati

Quante quadruple $(a,b,c,d)$ di numeri interi positivi soddisfano $abcd=2025$ in modo tale che $ab$, $bc$, $cd$, $da$ siano tutti quadrati perfetti?

Risposta: 44 src_jmo35yqa_yosen__Q02

Place six bracket-shaped pieces P1,P2,P4,P5,P7,P8 on a 10x10 grid without overlap

For a positive integer $n$, call $P_n$ the piece consisting of $3n+2$ unit cells shaped like the figure: a bracket ($\sqcap$) shape made of a top row of $n+2$ cells together with two vertical legs of $n$ cells each hanging down from the two ends of the top row. We have one each of the six pieces $P_1,P_2,P_4,P_5,P_7,P_8$. In how many ways can these $6$ pieces be placed on a $10\times 10$ grid of cells, each piece aligned to the cells and no two pieces overlapping? Here, pieces may be rotated, and two placements that coincide under a rotation or reflection of the grid are counted as distinct.

Topic: Combinatoria Metodo: Casework, Conteggio Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 512 Fonte: apri PDF

Posizionare sei pezzi a forma di supporto P1, P2, P4, P5, P7, P8 su una griglia da 10x10 senza sovrapposizione

Per un numero intero positivo $n$, chiamare $P_n$ il pezzo costituito da cellule unità $3n+2$ con forma simile alla figura: una forma di supporto ($\sqcap$) costituita da una riga superiore di cellule $n+2$ insieme a due gambe verticali di cellule $n$ ognuna appesa dalle due estremità della riga superiore. Abbiamo uno per ogni sei pezzi $P_1,P_2,P_4,P_5,P_7,P_8$. In quanti modi questi pezzi $6$ possono essere posizionati su una griglia di celle $10\times 10$, ciascun pezzo allineato alle celle e senza due pezzi che si sovrappongono? Qui, i pezzi possono essere rotati e due posizioni che coincidono sotto una rotazione o riflessione della griglia sono contate come distinte.

Risposta: 512 src_jmo35yqa_yosen__Q03

Count integers 1..1000 whose remainders mod 2,3,4,5,6 are pairwise distinct

How many integers $n$ with $1\le n\le 1000$ have the property that the remainders obtained when $n$ is divided by $2$, $3$, $4$, $5$, $6$ respectively are pairwise distinct (no two are equal)?

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Congruenze Abilita: Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 49 Fonte: apri PDF

Contare i numeri interi 1..1000 i cui restanti mod 2,3,4,5,6 sono separati in coppia

Quanti integri $n$ con $1\le n\le 1000$ hanno la proprietà che i rimanenti ottenuti quando $n$ è diviso da $2$, $3$, $4$, $5$, $6$ rispettivamente sono pareggiamente distinti (nessuno di due è uguale)?

Risposta: 49 src_jmo35yqa_yosen__Q04

Bicentric quadrilateral, incircle radius 6; triangles PBC,QCD inradii 5,3; find BC/CD

A quadrilateral $ABCD$ is inscribed in a circle and is also circumscribed about a circle of radius $6$. The ray $AB$ and the ray $DC$ meet at a point $P$, and the ray $AD$ and the ray $BC$ meet at a point $Q$. The inradii of triangles $PBC$ and $QCD$ are $5$ and $3$ respectively. Find $\frac{BC}{CD}$. Here, $XY$ denotes the length of segment $XY$.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: $\frac{15}{11}$ Fonte: apri PDF

Quadrilaterali bicentrici, raggio incircolo 6; triangoli PBC, QCD inradii 5,3; trovare BC/CD

Un quadrilaterale $ABCD$ è inserito in un cerchio ed è circoscritto anche su un cerchio di raggio $6$. Il raggio $AB$ e il raggio $DC$ si incontrano a un punto $P$, e il raggio $AD$ e il raggio $BC$ si incontrano a un punto $Q$. Le inradii dei triangoli $PBC$ e $QCD$ sono rispettivamente $5$ e $3$. Trova $\frac{BC}{CD}$. Qui $XY$ indica la lunghezza del segmento $XY$.

Risposta: \frac{15}{11} src_jmo35yqa_yosen__Q05

Two positive-integer sequences with coupled halving recurrence; count starting pairs (a1,b1) both at most 40

There are two sequences of positive integers $a_1,a_2,\dots$ and $b_1,b_2,\dots$ such that for every positive integer $n$, one of the following holds: $(a_{n+1},b_{n+1})=\left(\frac{a_n}{2},b_n+\frac{a_n}{2}\right)\text{or}(a_{n+1},b_{n+1})=\left(a_n+\frac{b_n}{2},\frac{b_n}{2}\right).$ At this point, how many pairs $(a_1,b_1)$ of positive integers, each at most $40$, can occur as the starting pair (i.e. so that both sequences consist entirely of positive integers)?

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Ricorsione, Casework, Invarianti Abilita: Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 1064 Fonte: apri PDF

Due sequenze di numeri interi positivi con ricorrenza a metà accoppiata; contare le coppie iniziali (a1,b1) entrambe al massimo 40

Ci sono due sequenze di interi positivi $a_1,a_2,\dots$ e $b_1,b_2,\dots$ in modo che per ogni intero positivo $n$, una delle seguenti sostengono: $(a_{n+1},b_{n+1})=\left(\frac{a_n}{2},b_n+\frac{a_n}{2}\right)\text{or}(a_{n+1},b_{n+1})=\left(a_n+\frac{b_n}{2},\frac{b_n}{2}\right).$ A questo punto, quante coppie $(a_1,b_1)$ di interi positivi, ciascuna al massimo $40$, possono verificarsi come coppia di partenza (cioè: in modo che entrambe le sequenze siano interamente composte da numeri interi positivi)?

Risposta: 1064 src_jmo35yqa_yosen__Q06

On a 20x25 grid, fill turns writing n along right/up-adjacent chains, minimizing turns; count final fillings

There is a grid of cells with $20$ rows and $25$ columns, all initially blank. Taro plays a game with this grid. The game is divided into several turns; on the $n$-th turn he performs the following operation: He chooses a positive integer $k$ and $k$ blank cells $A_1,A_2,\dots ,A_k$ such that for every integer $i$ with $1\le i\le k-1$, the cell $A_{i+1}$ is adjacent to $A_i$ on its right or above it; then he writes $n$ in all $k$ of these cells. The game ends when every cell has a number written in it. When Taro acts so as to make the number of turns until the game ends as small as possible, how many distinct ways can the numbers be written on the grid at the end of the game? Here, two writings that coincide under a rotation or reflection are also counted as distinct.

Topic: Combinatoria Metodo: Casework, Conteggio, Estremalità Abilita: Conteggio sistematico, Ragionamento geometrico, Modellizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: $20{!}^3$ Fonte: apri PDF

Su una griglia di 20x25, riempire le curve scritte n lungo le catene adiacenti a destra/ascesa, riducendo al minimo le curve; contare i riempimenti finali

C’è una griglia di celle con righe $20$ e colonne $25$, tutte inizialmente vuote. Taro gioca una partita con questa griglia. Il gioco è diviso in diverse giri; alla volta $n$-th esegue la seguente operazione: sceglie un intero positivo $k$ e $k$ celle vuote $A_1,A_2,\dots ,A_k$ in modo tale che per ogni numero intero $i$ con $1\le i\le k-1$, la cella $A_{i+1}$ sia adiacente a $A_i$ a destra o sopra di esso; quindi scrive $n$ in tutte le $k$ di queste celle. Il gioco finisce quando ogni cellula ha un numero scritto. Quando Taro agisce in modo da rendere il numero di giri fino a quando il gioco finisce il più piccolo possibile, quanti modi distinti possono essere scritti i numeri sulla griglia alla fine della partita? Qui, due scritti che coincidono sotto una rotazione o riflessione sono anche considerati come distinti.

Risposta: 20!^3 src_jmo35yqa_yosen__Q07

Beautiful integer sequences containing 2025 with convexity-like condition; among max length N find min a_N

For an integer $n\ge 3$, a sequence of integers $a_1,a_2,\dots ,a_n$ is called beautiful if all of the following conditions hold:

• $0=a_1<a_2<\cdots <a_n$;
• there exists an integer $i$ with $1\le i\le n$ such that $a_i=2025$;
• for all integers $i,j,k$ with $i<j<k$, the inequality $\frac{a_i+a_k}{2}\le a_j$ holds. Let $N$ be the largest possible length of a beautiful sequence. Among beautiful sequences $a_1,a_2,\dots ,a_N$ of length $N$, find the smallest possible value of $a_N$. Here, the length of a sequence $x_1,x_2,\dots ,x_l$ is $l$.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Estremalità, Casework, Disuguaglianze Abilita: Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 2057 Fonte: apri PDF

Belle sequenze di numeri interi contenenti 2025 con condizione di convexità; tra la lunghezza massima N trovare min a_N

Per un numero intero $n\ge 3$, una sequenza di numeri interi $a_1,a_2,\dots ,a_n$ è chiamata bella se tutte le seguenti condizioni sono valide: - $0=a_1<a_2<\cdots <a_n$; - esiste un numero intero $i$ con $1\le i\le n$ in modo tale che $a_i=2025$; - per tutti i numeri interi $i,j,k$ con $i<j<k$, la disuguaglianza $\frac{a_i+a_k}{2}\le a_j$ è valida. Lasciate che $N$ sia la lunghezza più grande possibile di una sequenza bella. Tra le belle sequenze $a_1,a_2,\dots ,a_N$ di lunghezza $N$, trova il minimo valore possibile di $a_N$. Qui, la lunghezza di una sequenza $x_1,x_2,\dots ,x_l$ è $l$.

Risposta: 2057 src_jmo35yqa_yosen__Q08

Acute triangle, circumcenter O, foot D from A; angle AOD=90, OD=4sqrt7, AP=11; find EF

There is an acute triangle $ABC$ with circumcenter $O$. Let $D$ be the foot of the perpendicular from $A$ to side $BC$. It holds that $\angle AOD=90^{\circ }$ and $OD=4\sqrt{7}$. Let $E$ and $F$ be the feet of the perpendiculars from $D$ to sides $AB$ and $AC$ respectively. The segment $AO$ and the segment $EF$ meet at a point $P$, and $AP=11$. Find the length $EF$. Here, $XY$ denotes the length of segment $XY$.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: $2\sqrt{61}$ Fonte: apri PDF

Triangolo acuto, circoncentro O, piede D da A; angolo AOD=90, OD=4sqrt7, AP=11; trovare EF

C’è un triangolo acuto $ABC$ con il circoncentro $O$. Il $D$ deve essere il piede della perpendicolare da $A$ a lato $BC$. Si ritiene che $\angle AOD=90^{\circ }$ e $OD=4\sqrt{7}$. I piedi $E$ e $F$ devono essere i piedi delle perpendicolari da $D$ ai lati $AB$ e $AC$ rispettivamente. Il segmento $AO$ e il segmento $EF$ si incontrano in un punto $P$ e $AP=11$. Trova la lunghezza $EF$. Qui $XY$ indica la lunghezza del segmento $XY$.

Risposta: 2\sqrt{61} src_jmo35yqa_yosen__Q09

Count functions f:S->S on {0..8} with f(x)f(y)-f(f(z)) divisible by 9 whenever 9 | x+y-z

Let $S=\{0,1,2,\dots ,8\}$. Consider functions $f$ defined on $S$ and taking values in $S$ such that, for all elements $x,y,z$ of $S$, if $x+y-z$ is a multiple of $9$ then $f(x)f(y)-f(f(z))$ is also a multiple of $9$. How many such functions $f$ are there?

Topic: Equazioni funzionali, Teoria dei Numeri, Insiemi e funzioni Metodo: Congruenze, Casework Abilita: Astrazione, Conteggio sistematico Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 858 Fonte: apri PDF

Conteggiare funzioni f:S->S su {0..8} con f(x) f(y)-f(z)) divisibile per 9 ogni volta che 9 x+y-z

Let $S=\{0,1,2,\dots ,8\}$. Considera le funzioni $f$ definite su $S$ e prendendo valori in $S$ in modo tale che, per tutti gli elementi $x,y,z$ di $S$, se $x+y-z$ è un multiple di $9$, allora $f(x)f(y)-f(f(z))$ è anche un multiple di $9$. Quante funzioni $f$ esistono?

Risposta: 858 src_jmo35yqa_yosen__Q10

Directed-graph ‘star cluster’ importance-propagation operation; sum of importances of stars built in the 100th step

A star cluster called JMO initially consists of $5$ stars $O,A,B,C,D$, each star being assigned a value called its importance. The importance of $O$ is $0$, and the importances of $A,B,C,D$ are each $1$. Moreover, one-way direct flights are open as follows, and no others: from $O$ to $A$ and to $C$; from $A$ to $B$ and to $D$; from $B$ to $O$; from $C$ to $B$ and to $D$; from $D$ to $O$. To prevent the stars of the JMO cluster from ageing, the following sequence of actions (one operation) is performed periodically: (1) Abolish all current direct flights and destroy all stars. (2) For each direct flight $f$ abolished in (1), build one corresponding star $S_f$. Then, as the importance of $S_f$, assign the sum of the importances of the star from which $f$ departs and the star at which $f$ arrives. (3) For every pair $(f,f^{\prime })$ of direct flights abolished in (1) such that the star at which $f$ arrives coincides with the star from which $f^{\prime }$ departs, open a one-way direct flight from $S_f$ to $S_{f^{\prime }}$. Find the sum of the importances of all stars built in the $100$-th operation.

Topic: Combinatoria, Algebra Metodo: Grafi, Ricorsione, Induzione Abilita: Astrazione, Modellizzazione, Riconoscimento di pattern Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Algebra e Analisi Risposta: $\frac{2^{68}(2^{102}-1)}{3}$ Fonte: apri PDF

Operazione di diffusione dell’importanza del grafico diretto “cluster stellare”; somma delle importazioni di stelle costruite nel 100° passo

Un ammasso stellare chiamato JMO è inizialmente composto da stelle $5$ $O,A,B,C,D$, a ciascuna stella viene assegnato un valore chiamato sua importanza. L’importanza di $O$ è $0$ e le importazioni di $A,B,C,D$ sono ciascuna $1$. Inoltre, i voli diretti unidirezionali sono aperti come segue, e nessun altro: da $O$ a $A$ e a $C$; da $A$ a $B$ e a $D$; da $B$ a $O$; da $C$ a $B$ e a $D$; da $D$ a $O$. Per impedire che le stelle del gruppo JMO invecchiino, viene eseguita periodicamente la seguente sequenza di azioni (una operazione): (1) Abolire tutti i voli diretti correnti e distruggere tutte le stelle. (2) Per ogni volo diretto $f$ abolito in (1), costruire una stella corrispondente $S_f$. Poi, come importanza di $S_f$, assegnare la somma delle importanze della stella da cui $f$ parte e della stella a cui $f$ arriva. (3) Per ogni coppia di voli diretti $(f,f^{\prime })$ aboliti in (1) in modo tale che la stella a cui $f$ arriva coincida con la stella da cui $f^{\prime }$ parte, aprire un volo diretto unidirezionale da $S_f$ a $S_{f^{\prime }}$. Trova la somma delle importanze di tutte le stelle costruite nell’operazione $100$-th.

Risposta: \frac{2^{68}(2^{102}-1)}{3} src_jmo35yqa_yosen__Q11

Cyclic pentagon ABCDE, AC=AD, BC||DE; reflect P over the 5 side-lines; find P1P3/P1P5

A pentagon $ABCDE$ is inscribed in a circle $\Omega$ and satisfies $AC=AD$ and $BC\parallel DE$. Take a point $P$ on the arc $CD$ of $\Omega$ not containing $A$, and let $P_1,P_2,P_3,P_4,P_5$ be the reflections of $P$ across the lines $AB$, $BC$, $CD$, $DE$, $EA$ respectively. It holds that $PC:PD=P_1{P}_2:P_4{P}_5=2:3$ and $CD:P_2{P}_4=4\sqrt{2}:11$. Find the value of $\frac{P_1{P}_3}{P_1{P}_5}$. Here, $XY$ denotes the length of segment $XY$.

Topic: Geometria piana Metodo: Trigonometria, Coordinate, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica Area: Geometria Risposta: $\frac{\sqrt{37}}{10}$ Fonte: apri PDF

Pentagono ciclico ABCDE, AC=AD, BC < in P; riflettere sulle 5 linee laterali; trovare P1P3/P1P5

Un pentagono $ABCDE$ è inserito in un cerchio $\Omega$ e soddisfa $AC=AD$ e $BC\parallel DE$. Prendi un punto $P$ sull’arco $CD$ di $\Omega$ che non contiene $A$ e lascia $P_1,P_2,P_3,P_4,P_5$ essere il riflesso di $P$ attraverso le linee $AB$, $BC$, $CD$, $DE$ e $EA$ rispettivamente. Si ritiene che $PC:PD=P_1{P}_2:P_4{P}_5=2:3$ e $CD:P_2{P}_4=4\sqrt{2}:11$. Trova il valore di $\frac{P_1{P}_3}{P_1{P}_5}$. Qui $XY$ indica la lunghezza del segmento $XY$.

Risposta: \frac{\sqrt{37}}{10} src_jmo35yqa_yosen__Q12