Japan Mathematical Olympiad 2026 — Honsen (Final)

Acute triangle, circumcenter, points on ray DO; find angle BAC

Let $ABC$ be an acute triangle with $AB<AC$, let $O$ be its circumcenter, and let $D$ be the intersection point of the bisector of $\angle BAC$ with side $BC$. On the ray $DO$ take two distinct points $P,Q$, both lying on the opposite side of line $AC$ from $B$ and on the same side of line $AB$ as $C$, so that the three points $D,P,Q$ lie in this order. Moreover, $AB=BP$, $AC=CQ$, and $\angle ABP=\angle ACQ$ hold. Find the value of $\angle BAC$. Here, $XY$ denotes the length of segment $XY$.

Topic: Geometria piana, Trigonometria Metodo: Trigonometria, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria Fonte: apri PDF

Triangolo acuto, circoncentro, punti sul raggio DO; trovare angolo BAC

Che $ABC$ sia un triangolo acuto con $AB<AC$, che $O$ sia il suo centro circundante, e che $D$ sia il punto di intersezione del bisettore di $\angle BAC$ con il lato $BC$. Sul raggio $DO$ prendere due punti distinti $P,Q$, entrambi situati sul lato opposto della linea $AC$ da $B$ e sullo stesso lato della linea $AB$ come $C$, in modo che i tre punti $D,P,Q$ si trovino in questo ordine. Inoltre, $AB=BP$, $AC=CQ$ e $\angle ABP=\angle ACQ$ sono tenuti. Trova il valore di $\angle BAC$. Qui $XY$ indica la lunghezza del segmento $XY$.

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Sequence of odd numbers defined by coprimality; bound |a_n - 2n|

A sequence $a_1,a_2,\dots$ consisting of positive odd integers satisfies, for every positive integer $n$, the following condition:

The smallest odd integer that is greater than $a_{n+1}$ and coprime to $a_n$ is $a_{n+2}$.

Prove that there exists a positive integer $C$ such that $|a_n-2n|\le C$ holds for every positive integer $n$.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Induzione, Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Lettura attenta, Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Sequence of odd numbers defined by coprimality; bound |a_n - 2n|

A sequence $a_1,a_2,\dots$ consisting of positive odd integers satisfies, for every positive integer $n$, the following condition:

The smallest odd integer that is greater than $a_{n+1}$ and coprime to $a_n$ is $a_{n+2}$.

Prove that there exists a positive integer $C$ such that $|a_n-2n|\le C$ holds for every positive integer $n$.

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Regular m-gon, n red and n blue vertices, no matching red/blue distance; find min m

Let $n$ be an integer with $n\ge 2$ and let $m$ be an integer with $m\ge 2n$. Choose $2n$ distinct vertices of a regular $m$-gon, color $n$ of them red and the remaining $n$ blue, so that the following holds:

No matter how one chooses two distinct red points and two distinct blue points, the distance between the two red points and the distance between the two blue points do not coincide.

Determine, in terms of $n$, the smallest possible value of $m$ for which such a coloring exists.

Topic: Combinatoria, Geometria piana Metodo: Colorazione, Casework, Estremalità Abilita: Ragionamento geometrico, Conteggio sistematico, Riconoscimento di pattern, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Fonte: apri PDF

M-gon regolare, n vertici rossi e n vertici blu, nessuna distanza corrispondente tra rosso e blu; trovare min m

Che $n$ sia un intero con $n\ge 2$ e che $m$ sia un intero con $m\ge 2n$. Selezionare $2n$ vertici distinti di un normale $m$-gon, il colore $n$ di cui rosso e il rimanente $n$ blu, in modo che si verifichi quanto segue:

Non importa come si sceglie due punti rossi distinti e due punti blu distinti, la distanza tra i due punti rossi e la distanza tra i due punti blu non coincidono.

Determinare, in termini di $n$, il minimo valore possibile di $m$ per il quale esiste un tale colorante.

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Find all real functions with f(x^2+f(y)^2)+2f(x)y=f(x+f(y))^2

Find all functions $f$ defined on the real numbers and taking real values such that, for all real numbers $x,y$, $f\left(x^2+f(y{)}^2\right)+2f(x)y=f{\left(x+f(y)\right)}^2$ holds.

Topic: Equazioni funzionali, Algebra Metodo: Casework, Simmetria Abilita: Manipolazione algebrica, Riconoscimento di pattern, Lettura attenta Area: Algebra e Analisi Fonte: apri PDF

Ricerca tutte le funzioni reali con f(x^2+f(y) ^2) +2f(x) y=f(x+f(y)) ^2

Trovare tutte le funzioni $f$ definite sui numeri reali e prendere valori reali in modo tale che, per tutti i numeri reali $x,y$, $f\left(x^2+f(y{)}^2\right)+2f(x)y=f{\left(x+f(y)\right)}^2$ si trova.

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Point P off the plane with equal products; circumcircles meet plane in triangle similar to T

In three-dimensional space there is a plane $\pi$. On $\pi$ there is a non-isosceles triangle $ABC$, and let $I$ be its incenter. Prove that there exists a triangle $\mathcal{T}$ such that, for every point $P$ not lying on $\pi$ satisfying $AP\cdot BC=BP\cdot CA=CP\cdot AB,$ the following holds:

Let $I_A$, $I_B$, $I_C$ be the incenters of triangles $BCP$, $CAP$, $ABP$, respectively. If the circumcircle of triangle $I{I}_B{I}_C$, the circumcircle of triangle $I{I}_C{I}_A$, and the circumcircle of triangle $I{I}_A{I}_B$ meet $\pi$ at points $X$, $Y$, $Z$ respectively (each different from $I$), then triangle $XYZ$ is similar to $\mathcal{T}$.

Here, $UV$ denotes the length of segment $UV$.

Topic: Geometria solida, Geometria piana Metodo: Simmetria, Coordinate, Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Astrazione, Modellizzazione Area: Geometria Fonte: apri PDF

Punto P al di fuori del piano con prodotti uguali; i circoncircoli incontrano il piano in un triangolo simile a T

Lo spazio tridimensionale ha un piano $\pi$. Sul $\pi$ c’è un triangolo non isosceles $ABC$, e che il suo incentro sia $I$. Prova che esiste un triangolo $\mathcal{T}$ tale che per ogni punto $P$ non situato su $\pi$ soddisfacente $AP\cdot BC=BP\cdot CA=CP\cdot AB,$ si verifichi:

$I_A$, $I_B$ e $I_C$ siano rispettivamente gli incentri dei triangoli $BCP$, $CAP$ e $ABP$. Se il circoncircolo del triangolo $I{I}_B{I}_C$, il circoncircolo del triangolo $I{I}_C{I}_A$ e il circoncircolo del triangolo $I{I}_A{I}_B$ incontrano $\pi$ rispettivamente nei punti $X$, $Y$ e $Z$ (ciascuno diverso da $I$), il triangolo $XYZ$ è simile a $\mathcal{T}$.

Qui $UV$ indica la lunghezza del segmento $UV$.

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