Japan Mathematical Olympiad 2026 — Yosen (Preliminary)

Find non-negative integer triples with a^20+b^2+c^6=2026

Find all triples $(a,b,c)$ of non-negative integers satisfying $a^{20}+b^2+c^6=2026.$

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Fattorizzazione Abilita: Casework accurato, Conteggio sistematico, Lettura attenta Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: (1,36,3) Fonte: apri PDF

Ricerca tripli interi non negativi con a^20+b^2+c^6=2026

Trova tutti i triples $(a,b,c)$ di numeri interi non negativi che soddisfano $a^{20}+b^2+c^6=2026.$

Risposta: (1,36,3) src_jmo36yqa_yosen__Q01

Largest positive integer n where floor(sqrt(2026n)) is not divisible by n

Find the largest positive integer $n$ such that $\lfloor \sqrt{2026n}\rfloor$ is not divisible by $n$. Here, for a real number $r$, $\lfloor r\rfloor$ denotes the greatest integer not exceeding $r$ (for example, $\lfloor 3.14\rfloor =3$, $\lfloor 5\rfloor =5$).

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Casework accurato, Stima Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 91 Fonte: apri PDF

Il più piccolo intero positivo n in cui il piano(sqrt(2026n)) non è divisibile da n

Trova il più grande intero positivo $n$ in modo che $\lfloor \sqrt{2026n}\rfloor$ non sia divisibile da $n$. Qui, per un numero reale $r$, $\lfloor r\rfloor$ indica il numero intero più grande non superiore a $r$ (ad esempio, $\lfloor 3.14\rfloor =3$, $\lfloor 5\rfloor =5$).

Risposta: 91 src_jmo36yqa_yosen__Q02

Find AC/AD given equal chord segments and three triangle areas on a circle

On a circle there are five points $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ in this order. Let $P$ and $Q$ be the intersections of chord $BE$ with chord $AC$, and of chord $BE$ with chord $AD$, respectively. Suppose $BP=PQ=QE$ holds. The areas of triangles $BCP$, $APQ$, and $DEQ$ are $2$, $9$, and $3$, respectively. Find the value of $\frac{AC}{AD}$, where $XY$ denotes the length of segment $XY$.

Topic: Geometria piana Metodo: Simmetria, Coordinate Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria Risposta: $\frac{11\sqrt{6}}{24}$ Fonte: apri PDF

Trova AC/AD dato segmenti di accordi uguali e tre aree triangolari su un cerchio

Su un cerchio ci sono cinque punti $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ in questo ordine. $P$ e $Q$ siano rispettivamente le intersezioni di accordi $BE$ con accordi $AC$ e di accordi $BE$ con accordi $AD$. Supponiamo che $BP=PQ=QE$ sia valido. Le superfici dei triangoli $BCP$, $APQ$ e $DEQ$ sono rispettivamente $2$, $9$ e $3$. Trova il valore di $\frac{AC}{AD}$, dove $XY$ indica la lunghezza del segmento $XY$.

Risposta: \dfrac{11\sqrt{6}}{24} src_jmo36yqa_yosen__Q03

Maximum area of rectangle ABCD cut into sub-rectangles with distinct integer sides at most 9

There is a rectangle $ABCD$ whose side lengths are positive integers. A cut line is defined as any of the following straight lines:

• a line passing through a point on side $AB$ (excluding endpoints) and parallel to $BC$,
• a line passing through a point on side $BC$ (excluding endpoints) and parallel to $AB$.

We choose some cut lines and use them to completely cut the rectangle $ABCD$ into smaller rectangles. It turned out that each smaller rectangle has all side lengths positive integers at most $9$. Moreover, no two distinct smaller rectangles have the same pair of side lengths. Find the maximum possible area of rectangle $ABCD$.

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Casework, Estremalità Abilita: Conteggio sistematico, Modellizzazione, Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 729 Fonte: apri PDF

L’area massima del rettangolo ABCD tagliata in sotto rettangoli con diversi lati interi non più di 9

C’è un rettangolo $ABCD$ le cui lunghezze laterali sono numeri interi positivi. Una linea di taglio **** è definita come una delle linee rette seguenti: - una linea che attraversa un punto laterale $AB$ (escluse le estremità) e che è parallela a $BC$, - una linea che attraversa un punto laterale $BC$ (escluse le estremità) e che è parallela a $AB$.

Scegliamo alcune linee tagliate e le usiamo per tagliare completamente il rettangolo $ABCD$ in rettangoli più piccoli. Si è scoperto che ogni rettangolo più piccolo ha tutte le lunghezze laterali interi positivi al massimo $9$. Inoltre, non esistono due rettangoli più piccoli che abbiano la stessa lunghezza laterale. Trova la superficie massima possibile di rettangolo $ABCD$.

Risposta: 729 src_jmo36yqa_yosen__Q04

Find integer triples (x,y,z) in [1,17] where a single integer >1 divides all four expressions

Find all triples $(x,y,z)$ of integers with $1\le x,y,z\le 17$ such that there exists an integer greater than $1$ that divides all four of the following quantities: $xy+4,yz+5,zx+6,xyz+7.$

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Congruenze, Casework Abilita: Conteggio sistematico, Casework accurato, Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: (4,12,5), (17,12,5) Fonte: apri PDF

Trova i triples di numeri interi (x,y,z) in [1,17] dove un singolo numero intero >1 divide tutte e quattro le espressioni

Trovare tutti i triples $(x,y,z)$ di numeri interi con $1\le x,y,z\le 17$ in modo tale che esista un numero intero maggiore di $1$ che divide tutte e quattro delle seguenti quantità: $xy+4,yz+5,zx+6,xyz+7.$

Risposta: (4,12,5), (17,12,5) src_jmo36yqa_yosen__Q05

Find XY in a parallelogram given midpoint and intersection conditions with CE=DF=3

In parallelogram $ABCD$, let $E$ be a point on side $CD$ (excluding endpoints). Let $M$ be the midpoint of segment $AE$, and let $G$ be the intersection of line $BM$ and line $AD$. Given that $CE=DF=3$ (where $F$ is a specific point defined by the configuration), $MB=5$, $MC=4$, find the length $XY$, where $XY$ denotes the length of segment $AB$.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Simmetria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria Risposta: $\sqrt{41}-3$ Fonte: apri PDF

Ricerca XY in un parallelo con condizioni di punto medio e di intersezione con CE=DF=3

Nel parallelogramma $ABCD$, $E$ deve essere un punto laterale $CD$ (escluse le estremità). Il $M$ deve essere il punto medio del segmento $AE$, e il $G$ deve essere l’intersezione della linea $BM$ e della linea $AD$. Dato che $CE=DF=3$ (dove $F$ è un punto specifico definito dalla configurazione), $MB=5$, $MC=4$, si trova la lunghezza $XY$, dove $XY$ indica la lunghezza del segmento $AB$.

Risposta: \sqrt{41}-3 src_jmo36yqa_yosen__Q06

Count seating arrangements of students on 2026 benches after a two-rule migration process

There are $2026$ benches equally spaced around a circle (numbered $1$ through $2026$), each initially occupied by exactly one student. At each step of the process, the teacher:

• Selects one student currently sitting on bench $1$ and asks them to move to bench $2$ (the next bench in the positive direction).
• Every other student who was NOT selected moves to the bench that is $2$ positions forward.

When all students have finished moving, the total number of students on benches turns out to be exactly $2000$. Find the number of possible seating arrangements at that point.

Topic: Combinatoria Metodo: Casework, Conteggio, Biiezione Abilita: Conteggio sistematico, Modellizzazione, Riconoscimento di pattern Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: $2\cdot \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2026}{52}\right)$ Fonte: apri PDF

Conteggio dei sedili degli studenti sulle banche del 2026 dopo un processo di migrazione a due regole

Ci sono banchi $2026$ equamente spaziati intorno a un cerchio (numerati $1$ fino a $2026$), ognuno inizialmente occupato da esattamente uno studente. A ogni fase del processo, l’insegnante: - Seleziona uno studente che sta seduto sulla panchina $1$ e gli chiede di passare alla panchina $2$ (la panchina successiva nella direzione positiva). - Ogni altro studente che non è stato selezionato si sposta sulla panchina che è $2$ posizioni in avanti.

Quando tutti gli studenti hanno finito di muoversi, il numero totale degli studenti sulle panchine risulta essere esattamente $2000$. Trova il numero di posti a sedere possibili in quel momento.

Risposta: 2 \cdot \binom{2026}{52} src_jmo36yqa_yosen__Q07

Find a_{20} in a strictly increasing sequence with alternating-sum divisibility condition

Let $a_1,a_2,a_3,\dots$ be a strictly increasing sequence of positive integers satisfying the following two conditions:

• $a_1=36$, and there exist indices $i,j$ such that $a_3=3750$.
• For any positive integer $n$, $\sum _{k=1}^n(-1{)}^{k-1}{a}_k$ is divisible by $a_{n+1}$.

Here, an integer $x$ is said to divide an integer $y$ if there exists an integer $m$ such that $y=mx$. Find $a_{20}$.

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Ricorsione, Congruenze, Induzione Abilita: Riconoscimento di pattern, Manipolazione algebrica, Ragionamento geometrico Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 48000 Fonte: apri PDF

Ricerca a_{20} in una sequenza in aumento rigoroso con condizione di divisibilità di somma alternata

Che $a_1,a_2,a_3,\dots$ sia una sequenza di numeri interi positivi in stretta crescita che soddisfa le seguenti due condizioni: - $a_1=36$, e esistono indici $i,j$ tali da $a_3=3750$. - Per qualsiasi numero intero positivo $n$, $\sum _{k=1}^n(-1{)}^{k-1}{a}_k$ è divisibile per $a_{n+1}$.

Qui, un intero $x$ viene detto divide un intero $y$ se esiste un intero $m$ tale che $y=mx$. Trova $a_{20}$.

Risposta: 48000 src_jmo36yqa_yosen__Q08

Find area of triangle DPQ in isosceles triangle ABC with angle condition and given lengths

In triangle $ABC$, $AB=AC$ and $BC=21$. On sides $BC$, $CA$, $AB$ (excluding endpoints) there are points $D$, $E$, $F$ respectively such that $\angle EDF=180^{\circ }-\frac{1}{2}\angle BAC$. Let $P$ be the intersection of the perpendicular bisector of $BD$ and line $DE$, and let $Q$ be the intersection of the perpendicular bisector of $CD$ and line $DF$. Given that $FP=16$, $FQ=12$, and $AB=6\sqrt{7}$, find the area of triangle $DPQ$. Here, $XY$ denotes the length of segment $XY$.

Topic: Geometria piana Metodo: Coordinate, Trigonometria Abilita: Ragionamento geometrico, Manipolazione algebrica, Lettura attenta Area: Geometria Risposta: $\frac{48\sqrt{7}}{25}$ Fonte: apri PDF

Ricerca l’area del triangolo DPQ nel triangolo ABC con condizione angolare e lunghezze date

In triangolo $ABC$, $AB=AC$ e $BC=21$. Sul lato $BC$, $CA$, $AB$ (esclusi i punti finali) ci sono i punti $D$, $E$ e $F$ rispettivamente tali che $\angle EDF=180^{\circ }-\frac{1}{2}\angle BAC$. $P$ sia l’intersezione del bisettore perpendicolare di $BD$ e della linea $DE$, e $Q$ sia l’intersezione del bisettore perpendicolare di $CD$ e della linea $DF$. Dato che $FP=16$, $FQ=12$ e $AB=6\sqrt{7}$, si trova l’area del triangolo $DPQ$. Qui $XY$ indica la lunghezza del segmento $XY$.

Risposta: \dfrac{48\sqrt{7}}{25} src_jmo36yqa_yosen__Q09

Smallest n for existence of convex 101-gon with grid vertices sharing consecutive coordinates

Let $n$ be a positive integer. In the $xy$-plane, call a point good if both its $x$-coordinate and $y$-coordinate are integers in $\{0,1,\dots ,n\}$. We say that a convex $101$-gon $P_1{P}_2\cdots P_{101}$ satisfies the conditions if:

• Every vertex $P_i$ is a good point.
• For every $1\le i\le 101$, consecutive vertices $P_i$ and $P_{i+1}$ share the same $x$-coordinate or the same $y$-coordinate (indices modulo $101$, with $P_{102}=P_1$).

A convex $101$-gon is a non-self-intersecting $101$-gon all of whose interior angles are less than $180^{\circ }$. Find the smallest value of $n$ for which such a convex $101$-gon exists.

Topic: Combinatoria, Geometria analitica Metodo: Estremalità, Casework, Coordinate Abilita: Modellizzazione, Ragionamento geometrico, Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Risposta: 650 Fonte: apri PDF

La minima n per l’esistenza di un convex 101-gon con vertici della griglia che condividono coordinate consecutive

$n$ sia un numero intero positivo. Nel piano $xy$, chiamare un punto good se sia la sua coordinata $x$ che la sua coordinata $y$ sono integri in $\{0,1,\dots ,n\}$. Diciamo che una convexa $101$-gon $P_1{P}_2\cdots P_{101}$ soddisfa le condizioni se: - Ogni vertice $P_i$ è un buon punto. - Per ogni $1\le i\le 101$, le vertici successive $P_i$ e $P_{i+1}$ condividono la stessa $x$-coordinata o la stessa $y$-coordinata (indici modulo $101$, con $P_{102}=P_1$).

Un convex $101$-gon è un non-auto-intersezione $101$-gon il cui angolo interno è inferiore a $180^{\circ }$. Trovare il valore più piccolo di $n$ per il quale esiste un tale convex $101$-gon.

Risposta: 650 src_jmo36yqa_yosen__Q10

Count sequences (a_1,…,a_26) in [1,20] satisfying a partial-sum balance condition for all pairs

Find the number of sequences $(a_1,a_2,\dots ,a_{26})$ of integers with $1\le a_i\le 20$ satisfying the following condition: for any pair of indices $(i,j)$ with $1\le i<j\le 26$, there exists an index $t$ with $i\le t\le j$ such that $a_1+a_2+\cdots +a_t=a_{t+1}+a_{t+2}+\cdots +a_{26}.$

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio, Casework, Ricorsione Abilita: Conteggio sistematico, Modellizzazione, Riconoscimento di pattern Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: $9980\cdot 19^{23}$ Fonte: apri PDF

Sequenze di conteggio (a_1,…,a_26) in [1,20] che soddisfano una condizione di equilibrio parziale per tutte le coppie

Trova il numero di sequenze $(a_1,a_2,\dots ,a_{26})$ di numeri interi con $1\le a_i\le 20$ che soddisfano la seguente condizione: per qualsiasi coppia di indici $(i,j)$ con $1\le i<j\le 26$, esiste un indice $t$ con $i\le t\le j$ tale che $a_1+a_2+\cdots +a_t=a_{t+1}+a_{t+2}+\cdots +a_{26}.$

Risposta: 9980 \cdot 19^{23} src_jmo36yqa_yosen__Q11

Find minimum z for positive integers x,y,z with x^yy^z=2^{20x+20y} and y/20 integer, z/20 not*

Let $x$, $y$, $z$ be positive integers satisfying $x^y\cdot y^z=2^{20x+20y}$. Given that $\frac{y}{20}$ is an integer and $\frac{z}{20}$ is not an integer, find the minimum possible value of $z$.

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: Fattorizzazione, Congruenze, Estremalità Abilita: Manipolazione algebrica, Conteggio sistematico, Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Algebra e Analisi Risposta: $2^{127}\cdot 641^{641}$ Fonte: apri PDF

Ricerca il minimo z per gli integri positivi x,y,z con x^yy^z=2^{20x+20y} e y/20 integri, z/20 non*

Lasciate che $x$, $y$, $z$ siano integri positivi che soddisfino $x^y\cdot y^z=2^{20x+20y}$. Dato che $\frac{y}{20}$ è un numero intero e $\frac{z}{20}$ non è un numero intero, trovare il valore minimo possibile di $z$.

Risposta: 2^{127} \cdot 641^{641} src_jmo36yqa_yosen__Q12