Kangourou 2003 - Finale nazionale Benjamin (Mirabilandia)

Primo di quattro numeri con somma 54

Quattro numeri sono tali che il secondo è uguale al primo più $7$, il terzo è uguale al secondo più $7$ e il quarto è uguale al terzo più $7$. La loro somma vale $54$. Qual è il primo numero?

Topic: Algebra Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: 3 Fonte: apri PDF p.1

First of four numbers with the sum of 54

Four numbers are such that the second is equal to the first plus $7$, the third is equal to the second plus $7$ and the fourth is equal to the third plus $7$. Their sum is $54$. What’s the first number?

Answer: 3 src_kangourou_2003_benjamin_finale__QB1

Tempo per il giro dell’aiuola

\begin{document}
\begin{tikzpicture}
  \fill[gray!40] (0,0) rectangle (3,3);
  \draw[thick] (0,0) rectangle (3,3);
  \begin{scope}[shift={(2.1,1.9)}, rotate=30]
    \fill[white] (-0.5,-0.5) rectangle (0.5,0.5);
    \draw[very thick] (-0.5,-0.5) rectangle (0.5,0.5);
  \end{scope}
\end{tikzpicture}
\end{document}

In una piazza quadrata c’è un’aiuola quadrata come schematizzato dalla figura. L’area della parte di piazza non occupata dall’aiuola è $8$ volte l’area dell’aiuola. Per fare un giro della piazza lungo il suo contorno esterno impiego $15$ minuti. Quanti minuti impiegherò, alla stessa velocità, per fare un giro lungo il contorno dell’aiuola? (vedi figura)

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 5 minuti Fonte: apri PDF p.1

Time for the rotation of the loom

\begin{document}
\begin{tikzpicture}
  \fill[gray!40] (0,0) rectangle (3,3);
  \draw[thick] (0,0) rectangle (3,3);
  \begin{scope}[shift={(2.1,1.9)}, rotate=30]
    \fill[white] (-0.5,-0.5) rectangle (0.5,0.5);
    \draw[very thick] (-0.5,-0.5) rectangle (0.5,0.5);
  \end{scope}
\end{tikzpicture}
\end{document}

In a square square there is a square oval as outlined by the figure. The area of the square part not occupied by the awning is $8$ times the area of the awning. To take a walk around the square along its outer contour I use $15$ minutes. How many minutes will it take, at the same speed, to make a spin along the outline of the awning? (see figure)

Answer: 5 minuti src_kangourou_2003_benjamin_finale__QB2

Lunghezza del rettangolo magico

Un magico rettangolo di cuoio di Mirabilandia si riduce della metà in lunghezza e di un terzo in altezza ogni volta che esaudisce un desiderio del suo proprietario. Dopo aver esaudito $5$ desideri la sua area è $2{\text{cm}}^2$, mentre dopo aver esaudito $2$ desideri la sua altezza era di $4\text{cm}$. Qual era la sua lunghezza dopo aver esaudito il primo desiderio?

Topic: successioni Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: 27 Fonte: apri PDF p.1

Length of the magical rectangle

Mirabilandia’s magical leather rectangle shrinks by half in length and by a third in height every time it fulfills its owner’s wish. After $5$ desired its area is $2{\text{cm}}^2$, while after $2$ desired its height was $4\text{cm}$. How long did he have after he fulfilled his first wish?

Answer: 27 src_kangourou_2003_benjamin_finale__QB3

Pneumatici usati per lo stesso percorso

È possibile che un’automobile percorra $25000\text{km}$ e ciascuno dei cinque pneumatici di cui è dotata (quattro più la ruota di scorta) venga utilizzato per lo stesso numero di chilometri? Se rispondi «no» spiega perché; se rispondi «sì» indica una possibile strategia di sostituzione degli pneumatici.

Topic: Combinatoria, Logica, giochi, strategie Abilita: traduzione del testo Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: si Fonte: apri PDF p.1

Tire used for the same route

Is it possible for a car to travel $25000\text{km}$ and each of the five tyres it is fitted with (four plus the spare wheel) to be used for the same number of kilometres? If you answer no explain why; if you answer yes indicate a possible tyre replacement strategy.

Answer: si src_kangourou_2003_benjamin_finale__QB4

Prime e ultime tre cifre con somma 2003

Quali sono le prime tre cifre e le ultime tre cifre del più piccolo numero intero positivo la somma delle cui cifre è $2003$?

Topic: Teoria dei Numeri Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 599 / 999 Fonte: apri PDF p.1

First and last three digits with sum 2003

What are the first three digits and the last three digits of the smallest positive integer whose sum is $2003$?

Answer: 599 / 999 src_kangourou_2003_benjamin_finale__QB5

Insieme di 200 interi senza un numero e il doppio

Indicare come può essere individuato un insieme di $200$ numeri interi compresi fra $1$ e $300$ (estremi inclusi) in modo che sia rispettata la seguente clausola: se nell’insieme è presente un numero, allora non è presente il suo doppio.

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Principio di estremalita Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: costruzione Fonte: apri PDF p.1

*A combination of 200 integers without a number and the double *

Indicate how a set of $200$ integers between $1$ and $300$ (extremes included) can be identified so that the following clause is respected: if a number is present in the set, then its double is not present.

Answer: costruzione src_kangourou_2003_benjamin_finale__QB6