Kangourou 2004 Ecolier finale nazionale

Mossa vincente nel TRIS

\begin{document}
\begin{tikzpicture}
  \draw (0,0) grid (3,3);
  \node at (0.5,2.5) {\textbf{X}};
  \node at (1.5,2.5) {\textbf{O}};
  \node at (2.5,2.5) {\textbf{X}};
  \node at (2.5,0.5) {\textbf{O}};
\end{tikzpicture}
\end{document}

Nel gioco del TRIS due giocatori A e B collocano a turno il proprio simbolo («X» per il giocatore A, «O» per il giocatore B) in una casella della scacchiera. Vince il primo che riesce a posizionare tre suoi simboli in orizzontale o in verticale o in diagonale. Nella tabella vedi una partita iniziata:

X	O	X
	O

Sei il giocatore A e tocca a te collocare il tuo simbolo «X»: inseriscilo in modo da essere certo di vincere. (vedi figura)

Topic: Logica, giochi, strategie Abilita: Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: terza riga prima colonna Fonte: apri PDF p.1

Winning move in TRIS

\begin{document}
\begin{tikzpicture}
  \draw (0,0) grid (3,3);
  \node at (0.5,2.5) {\textbf{X}};
  \node at (1.5,2.5) {\textbf{O}};
  \node at (2.5,2.5) {\textbf{X}};
  \node at (2.5,0.5) {\textbf{O}};
\end{tikzpicture}
\end{document}

In the game of TRIS two players A and B place their own symbol (X for player A,O for player B) in a chess box. The winner is the one who manages to position three of his symbols horizontally or vertically or diagonally. In the table you see a game started:

| X | O | X | |---|---|---| | | | | | | O | |

You are player A and you have to place your symbol X: enter it so that you are sure to win. (see figure)

Answer: terza riga prima colonna src_kangourou_2004_ecolier_finale__QE1

Max cubetti visibili del cubo 11x11x11

Un cubo in legno di lato $11$ cm, ottenuto incollando insieme $11\times 11\times 11$ cubetti di lato $1$ cm, è appoggiato su un tavolo. Qual è il massimo numero di cubetti unitari di cui posso vedere almeno una faccia, se posso scegliere la posizione da cui osservare il cubo grande, ma una volta operata la scelta non mi posso più muovere?

Topic: Geometria solida, Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Risposta: 331 Fonte: apri PDF p.1

Max visible cubes of the cube 11x11x11

A wood cube of $11$ cm, obtained by gluing together $11\times 11\times 11$ side cubes of $1$ cm, shall be rested on a table. What is the maximum number of unit cubes I can see at least one face of, if I can choose the position from which to observe the large cube, but once the choice is made I can’t move anymore?

Answer: 331 src_kangourou_2004_ecolier_finale__QE2

Quante tessere del domino 0-0..8-8

Una variante del gioco del domino contiene tutte le tessere con le coppie di numeri tra doppio zero e doppio otto. Ogni coppia di numeri si trova esattamente una volta. Per esempio la tessera in figura è la $2\times 4$ ma anche la $4\times 2$. Quante tessere si hanno a disposizione per il gioco? (vedi figura)

Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 45 Fonte: apri PDF p.1

*How many cards in the 0-0..8-8 domain *

A variation of the game of dominoes contains all the cards with the number pairs between double zero and double eight. Each number pair is exactly once. For example, the card in the figure is $2\times 4$ but also $4\times 2$. How many cards do you have for the game? (see figure)

Answer: 45 src_kangourou_2004_ecolier_finale__QE3

Minima distanza tra bandierine rossa e verde

Un percorso lungo $1800$ metri è suddiviso in $15$ parti uguali fra loro, piantando nel terreno $16$ bandierine rosse; è anche suddiviso in $6$ parti uguali fra loro, piantando nel terreno $7$ bandierine verdi. Qual è, in metri, la minima distanza tra due punti distinti del percorso marcati entrambi da una bandierina rossa e da una bandierina verde?

Topic: Teoria dei Numeri Abilita: traduzione del testo Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 600 Fonte: apri PDF p.1

Minimum distance between red and green flags

A path length $1800$ meters is divided into $15$ equal parts of each other, planting red flags in the ground $16$; it is also divided into $6$ equal parts of each other, planting green flags in the ground $7$. What is, in metres, the minimum distance between two distinct points on the route marked by both a red flag and a green flag?

Answer: 600 src_kangourou_2004_ecolier_finale__QE4

Spazi bianchi sull’ultima riga (numeri 1..150)

Lo schermo del mio computer permette di scrivere $80$ caratteri (lettere, cifre o spazi bianchi) su ogni riga. Se non vi è abbastanza spazio per una parola o per un numero alla fine della riga, la parola o il numero viene interamente spostata alla riga successiva. Scrivo i numeri da $1$ a $150$ (in cifre) e lascio uno spazio bianco tra ogni numero ed il suo successivo. Quanti spazi bianchi restano sull’ultima riga dopo l’ultimo zero?

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 73 Fonte: apri PDF p.1

*White spaces on the last line (numbers 1.150) *

My computer screen allows me to write $80$ characters (letters, numbers or white spaces) on each line. If there is not enough space for a word or a number at the end of the line, the word or number is entirely moved to the next line. I write the numbers from $1$ to $150$ (in digits) and I leave a blank space between each number and its next. How many white spaces are left on the last line after the last zero?

Answer: 73 src_kangourou_2004_ecolier_finale__QE5

Quanti nipoti e ovetti (divisioni esatte)

Per Pasqua la nonna ha fatto trovare a noi nipoti una cesta con tanti ovetti di Pasqua. Venuto il momento di dividerli, la nonna ha inventato questo criterio, che tiene conto del diritto di priorità nella scelta dei nipoti più grandi e della gola dei più piccoli: il primo nipote avrebbe preso $1$ ovetto e la sesta parte degli ovetti rimanenti, il secondo $2$ ovetti e la sesta parte dei rimanenti, il terzo $3$ ovetti e la sesta parte dei rimanenti e così via fino ad esaurire le uova. Con nostra sorpresa le divisioni sono sempre risultate esatte e alla fine avevamo tutti lo stesso numero di ovetti! La nonna ha commentato che con più ovetti non avrebbe potuto fare lo stesso miracolo. Quanti siamo e quanti ovetti c’erano nel cesto?

Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Abilita: Casework accurato Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 5 nipoti 25 ovetti Fonte: apri PDF p.1

*How many grandchildren and great-grandchildren (exact divisions) *

For Easter, Grandma made us grandchildren find a basket with many Easter sheep. When the time came to divide them, the grandmother invented this criterion, which takes into account the right of priority in choosing the older grandchildren and the throat of the younger ones: the first grandchild would take $1$ oatmeal and the sixth part of the remaining oats, the second $2$ oatmeal and the sixth part of the remaining oats, the third $3$ oats and the sixth part of the remaining oats and so on until the eggs are exhausted. To our surprise, the divisions were always accurate, and we all ended up with the same number of ovets! The grandmother commented that with more oats she could not have done the same miracle. How many of us and how many oats were in the basket?

Answer: 5 nipoti 25 ovetti src_kangourou_2004_ecolier_finale__QE6