Kangourou 2004 Junior finale nazionale

Esistono basi in cui 15x15=321

Esistono basi in cui l’espressione $15 \times 15 = 321$ risulta corretta?

Topic: Teoria dei Numeri Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: base 6 Fonte: apri PDF p.1

There are bases where 15x15=321*

Are there grounds on which the expression $15 \times 15 = 321$ is correct?

Answer: base 6 src_kangourou_2004_junior_finale__QJ1

Coppie intere con x^2+y^2+xy=1

Per quali coppie $(x, y)$ di numeri interi relativi è vero che $x^{2} + y^{2} + x y = 1$ ?

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Analisi per casi Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 6 coppie Fonte: apri PDF p.1

Integres with x^2+y^2+xy=1

For which pairs of $(x, y)$ relative integers is $x^{2} + y^{2} + x y = 1$ true?

Answer: 6 coppie src_kangourou_2004_junior_finale__QJ2

Cinque numeri dalle somme a due a due

Ho scritto su 5 foglietti altrettanti numeri interi positivi. Sommandoli a due a due in tutti i modi possibili, ottengo i seguenti dieci risultati: $17, 20, 28, 14, 36, 28, 25, 31, 39$ e $42$ . Quali numeri ho scritto?

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 3,11,14,17,25 Fonte: apri PDF p.1

Five numbers from sums of two to two

I wrote as many positive integers on five sheets. Adding them to two by two in every possible way, I get the following ten results: $17, 20, 28, 14, 36, 28, 25, 31, 39$ and $42$ . What numbers did I write?

Answer: 3,11,14,17,25 src_kangourou_2004_junior_finale__QJ3

Rapporto aree A’B’C’ / ABC (simmetrie)

\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=1.2]
  \coordinate (C) at (0,0);
  \coordinate (A) at (2,0);
  \coordinate (B) at (0,1.5);
  \coordinate (Ap) at (-2, 1.5);
  \coordinate (Bp) at (2, -1.5);
  \coordinate (Cp) at (2, 1.5);
  \draw[thick] (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
  \draw (0.15,0) -- (0.15,0.15) -- (0,0.15);
  \draw[blue, thick] (Ap) -- (Bp) -- (Cp) -- cycle;
  \draw[dotted] (Ap) -- (A);
  \draw[dotted] (Bp) -- (B);
  \draw[dotted] (Cp) -- (C);
  \node[left] at (Ap) {$A'$};
  \node[below] at (Bp) {$B'$};
  \node[above right] at (Cp) {$C'$};
  \node[right] at (A) {$A$};
  \node[above left] at (B) {$B$};
  \node[below left] at (C) {$C$};
\end{tikzpicture}
\end{document}

Dato un triangolo $A B C$ rettangolo in $C$ , si considerino i punti $A^{'}$ simmetrico di $A$ rispetto a $B C$ , $B^{'}$ simmetrico di $B$ rispetto ad $A C$ e $C^{'}$ simmetrico di $C$ rispetto ad $A B$ . Quanto vale il rapporto tra l’area di $A^{'} B^{'} C^{'}$ e quella di $A B C$ ?

Topic: Geometria piana Metodo: Sfruttamento della simmetria Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 3 Fonte: apri PDF p.1

*A/B/ABC area report (symmetry) *

\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=1.2]
  \coordinate (C) at (0,0);
  \coordinate (A) at (2,0);
  \coordinate (B) at (0,1.5);
  \coordinate (Ap) at (-2, 1.5);
  \coordinate (Bp) at (2, -1.5);
  \coordinate (Cp) at (2, 1.5);
  \draw[thick] (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
  \draw (0.15,0) -- (0.15,0.15) -- (0,0.15);
  \draw[blue, thick] (Ap) -- (Bp) -- (Cp) -- cycle;
  \draw[dotted] (Ap) -- (A);
  \draw[dotted] (Bp) -- (B);
  \draw[dotted] (Cp) -- (C);
  \node[left] at (Ap) {$A'$};
  \node[below] at (Bp) {$B'$};
  \node[above right] at (Cp) {$C'$};
  \node[right] at (A) {$A$};
  \node[above left] at (B) {$B$};
  \node[below left] at (C) {$C$};
\end{tikzpicture}
\end{document}

Given a $A B C$ rectangle in $C$ , consider the points $A^{'}$ symmetric $A$ with respect to $B C$ , $B^{'}$ symmetric $B$ with respect to $A C$ and $C^{'}$ symmetric $C$ with respect to $A B$ . What is the ratio of $A^{'} B^{'} C^{'}$ to $A B C$ ?

Answer: 3 src_kangourou_2004_junior_finale__QJ4

Configurazione con somme righe/colonne non negative

Ogni casella di una tabella rettangolare formata da $m$ righe ed $n$ colonne contiene un numero intero. Le mosse consentite sono:

cambiare i segni degli elementi di un’intera riga

cambiare i segni degli elementi di un’intera colonna.

È vero che dopo un numero opportuno di queste mosse, ogni riga è formata da elementi la cui somma non è negativa ed così pure ogni colonna? Motiva.

Topic: Combinatoria, Algebra Abilita: generalizzazione Area: Algebra e Analisi, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: si Fonte: apri PDF p.1

Configuration with sums of non-negative rows/columns

Each box in a rectangular table consisting of $m$ rows and $n$ columns contains an integer. The permissible moves are: - change the signs of the elements of an entire row - change the signs of the elements of an entire column.

Is it true that after a number of these moves, each row is made up of elements whose sum is not negative and so is each column? I got a motive.

Answer: si src_kangourou_2004_junior_finale__QJ5

Permutazione di 1..9 con divisibilita progressive

È possibile permutare le cifre $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$ in modo che per ogni $n \in {1, 2, \dots, 8, 9}$ il numero formato dalle prime $n$ cifre (partendo da sinistra) sia divisibile per $n$ ? In caso affermativo, la permutazione è unica?

Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Analisi per casi Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 381654729 unica Fonte: apri PDF p.1

Switching of 1.9 with progressive divisibility

Can the $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$ digits be exchanged so that for each $n \in {1, 2, \dots, 8, 9}$ the number formed by the first $n$ digits (from left) is divisible by $n$ ? If so, is the permutation unique?

Answer: 381654729 unica src_kangourou_2004_junior_finale__QJ6

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