Kangourou 2004 Student finale nazionale

Coppie intere con |x^2-3y^2+2xy|=1

Per quali coppie $(x, y)$ di numeri interi relativi è vero che $∣ x^{2} - 3 y^{2} + 2 x y ∣ = 1$ ?

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: (1,0),(-1,0) Fonte: apri PDF p.1

Full pairs with ∙ x^2-3y^2 + k2xy is equal to 1 ∙

For which pairs of $(x, y)$ relative integers is $∣ x^{2} - 3 y^{2} + 2 x y ∣ = 1$ true?

Answer: (1,0),(-1,0) src_kangourou_2004_student_finale__QS1

Area regione interna a beta esterna a gamma

\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=1.0]
  % gamma: center C=(0,0), radius 2
  % beta: center B=(2,0), radius sqrt(2)~1.4142
  % Intersection: x=3/2, y=+/-sqrt(7)/2~1.3229
  % P=(1.5,1.3229), Q=(1.5,-1.3229)
  \draw (0,0) circle (2.0);
  \draw (2,0) circle (1.4142);
  \draw[dashed] (0,-2.2) -- (0,2.2);
  \draw[dashed] (-2.2,0) -- (3.6,0);
  \draw (2,0.15) -- (1.85,0.15) -- (1.85,0);
  \fill (0,0) circle (1.5pt) node[below left] {$C$};
  \fill (2,0) circle (1.5pt) node[below right] {$B$};
  \fill (1.5, 1.3229) circle (1.5pt) node[above right] {$P$};
  \fill (1.5, -1.3229) circle (1.5pt) node[below right] {$Q$};
  \draw (0,0) -- (1.5,1.3229);
  \draw (2,0) -- (1.5,1.3229);
  \node at (3.7, 0) {$\beta$};
\end{tikzpicture}
\end{document}

Sono date nel piano una circonferenza $β$ il cui raggio misura $2$ centimetri ed una circonferenza $γ$ il cui raggio misura $2$ centimetri e il cui centro $C$ appartiene a $β$ . Calcolare l’area della regione interna a $β$ ed esterna a $γ$ .

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 2 Fonte: apri PDF p.1

Area internal region with external beta range

\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=1.0]
  % gamma: center C=(0,0), radius 2
  % beta: center B=(2,0), radius sqrt(2)~1.4142
  % Intersection: x=3/2, y=+/-sqrt(7)/2~1.3229
  % P=(1.5,1.3229), Q=(1.5,-1.3229)
  \draw (0,0) circle (2.0);
  \draw (2,0) circle (1.4142);
  \draw[dashed] (0,-2.2) -- (0,2.2);
  \draw[dashed] (-2.2,0) -- (3.6,0);
  \draw (2,0.15) -- (1.85,0.15) -- (1.85,0);
  \fill (0,0) circle (1.5pt) node[below left] {$C$};
  \fill (2,0) circle (1.5pt) node[below right] {$B$};
  \fill (1.5, 1.3229) circle (1.5pt) node[above right] {$P$};
  \fill (1.5, -1.3229) circle (1.5pt) node[below right] {$Q$};
  \draw (0,0) -- (1.5,1.3229);
  \draw (2,0) -- (1.5,1.3229);
  \node at (3.7, 0) {$\beta$};
\end{tikzpicture}
\end{document}

A circumference $β$ with a radius of $2$ centimetres and a circumference $γ$ with a radius of $2$ centimetres and a centre $C$ belonging to $β$ are given in the plane. Calculate the area of the internal region at $β$ and the external region at $γ$ .

Answer: 2 src_kangourou_2004_student_finale__QS2

Max tessere a croce sulla scacchiera 8x8

Sistemiamo in una scacchiera quadrata $8 \times 8$ delle tessere a forma di croce simmetrica come quella in figura, formate dall’accostamento di 5 quadrati di dimensione identica alle celle della scacchiera, in modo che:

ciascuna di esse vada a coprire esattamente (sovrapponendovisi) 5 delle 64 caselle della scacchiera;

le tessere non si sovrappongano, ma possano toccarsi e toccare il bordo della scacchiera.

Quante tessere può ospitare al massimo la scacchiera? (vedi figura)

Topic: Combinatoria, Geometria piana Metodo: Principio di estremalita Abilita: Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Risposta: 8 Fonte: apri PDF p.1

*Max cross-sectional tiles on the 8x8 chessboard *

We place in a square chessboard $8 \times 8$ symmetrical cross-shaped tiles such as the one in the figure, formed by the approximation of 5 squares of the same size to the chessboard cells, so that: - each of them covers exactly (overlapping) 5 of the 64 chessboard boxes; - the tiles do not overlap, but can touch and touch the edge of the chessboard.

How many cards can a chessboard hold? (see figure)

Answer: 8 src_kangourou_2004_student_finale__QS3

Valore di X stampato dall’algoritmo

Un calcolatore esegue le seguenti istruzioni: (1) inizializza $X$ a $3$ e $S$ a $0$ , (2) aumenta il valore di $X$ di $2$ , (3) aumenta il valore di $S$ del valore di $X$ , (4) se $S$ ha almeno $5$ cifre vai all’istruzione (5) altrimenti vai all’istruzione (2) e ricomincia a partire da quella posizione, (5) stampa il valore di $X$ e finisci. Quale sarà il valore di $X$ che verrà stampato al passo (5)?

Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Ricorsione Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 10200 Fonte: apri PDF p.1

Value of X printed by the algorithm

A calculator executes the following instructions: (1) initiate $X$ to $3$ and $S$ to $0$ , (2) increase the value of $X$ to $2$ , (3) increase the value of $S$ to $X$ , (4) if $S$ has at least $5$ digits go to the instruction (5) otherwise go to the instruction (2) and start from that position, (5) print the value of $X$ and finish. What will be the value of $X$ to be printed in step (5)?

Answer: 10200 src_kangourou_2004_student_finale__QS4

Sequenza piu lunga di quadrati con differenze prime

Supponi di sapere che (per $n = 1, 2, \dots$ ) $a_{n}$ è il quadrato di un intero non nullo e la differenza $a_{n + 1} - a_{n}$ è un numero primo (positivo) oppure il quadrato di un numero primo. Dimostra che tutte le possibili sequenze ${a_{n}}$ che soddisfano questi requisiti sono finite e determina la più lunga.

Topic: Teoria dei Numeri, successioni Metodo: Principio di estremalita Abilita: generalizzazione Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: lunghezza 7 Fonte: apri PDF p.1

Longest sequence of squares with prime differences

Suppose you know that (for $n = 1, 2, \dots$ ) $a_{n}$ is the square of a nonzero integer and the difference $a_{n + 1} - a_{n}$ is a prime (positive) or the square of a prime. It shows that all possible sequences ${a_{n}}$ that meet these requirements are finite and determines the longest.

Answer: lunghezza 7 src_kangourou_2004_student_finale__QS5

Somma distanze di P dai sei spigoli del tetraedro

Considera un punto $P$ interno ad un tetraedro regolare di lato $1$ . Mostra che la somma delle distanze di $P$ dai sei spigoli del tetraedro non è inferiore a $\frac{2 2}{3}$ e individua gli eventuali punti $P$ in corrispondenza ai quali tale somma vale esattamente $\frac{2 2}{3}$ .

Topic: Geometria solida, Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze classiche, Sfruttamento della simmetria Abilita: Ragionamento geometrico Area: Algebra e Analisi, Geometria Risposta: 3sqrt2/2 baricentro Fonte: apri PDF p.1

sum of distances of P from the six spokes of the tetrahedron

Consider a point $P$ within a regular side tetrahedron $1$ . It shows that the sum of the distances of $P$ from the six vertebrae of the tetrahedron is not less than $\frac{2 2}{3}$ and identifies any $P$ points for which that sum is exactly $\frac{2 2}{3}$ .

Answer: 3sqrt2/2 baricentro src_kangourou_2004_student_finale__QS6

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