Kangourou 2005 - Junior (finale nazionale)

Minimo lacci comprati da Silvia

Cinque ragazze, tra cui Silvia, hanno comperato alcuni lacci per capelli. Si sa che:

non vi sono due di loro che abbiano comperato lo stesso numero di lacci;

il numero di lacci comperati da tre qualunque di loro è maggiore di quello comprato dalle restanti due.

Qual è il minimo numero di lacci che può avere comprato Silvia? Motiva la risposta.

Topic: Teoria dei Numeri, Disuguaglianze Abilita: generalizzazione Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 5 Fonte: apri PDF p.1

Minimum locks purchased from Silvia

Five girls, including Silvia, bought some hair locks. It is known that: - there are no two of them who have bought the same number of laces; - the number of laces bought by three of them is greater than that bought by the other two.

What’s the minimum number of ties that Silvia could have bought? Reason for the answer.

Answer: 5 src_kangourou_2005_junior_finale__QJ1

B+I+N+O nella moltiplicazione UN x 6 = BIO

Nella moltiplicazione indicata, oltre al $6$ sono stati usati due numeri interi, $U N$ e $B I O$ , composti utilizzando complessivamente le cifre $2, 3, 4, 5, 7$ . Se lettere diverse rappresentano cifre diverse, quanto vale $B + I + N + O$ ?

$U N \times 6 = B I O$

Topic: Teoria dei Numeri, Logica, giochi, strategie Metodo: Analisi per casi Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 16 Fonte: apri PDF p.1

B+I+N+O in multiplication of UN x 6 = BIO

In the indicated multiplication, in addition to $6$ , two integers, $U N$ and $B I O$ , composed using the digits $2, 3, 4, 5, 7$ as a whole, were used. If different letters represent different digits, how much is $B + I + N + O$ ?

$U N \times 6 = B I O$

Answer: 16 src_kangourou_2005_junior_finale__QJ2

Suddividere esagono regolare in 8 parti uguali

\begin{document}
\begin{tikzpicture}
  \draw (90:1.2) -- (30:1.2) -- (-30:1.2) -- (-90:1.2) -- (-150:1.2) -- (150:1.2) -- cycle;
\end{tikzpicture}
\end{document}

In figura vedi un esagono regolare. Puoi suddividerlo in $8$ parti di ugual forma e dimensioni? In caso di risposta negativa devi motivarla; in caso di risposta affermativa, illustra direttamente sulla figura la suddivisione che proponi corredandola dei chiarimenti che ritieni opportuni. (vedi figura)

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: Si Fonte: apri PDF p.1

To divide the regular exaggeration into 8 equal parts

\begin{document}
\begin{tikzpicture}
  \draw (90:1.2) -- (30:1.2) -- (-30:1.2) -- (-90:1.2) -- (-150:1.2) -- (150:1.2) -- cycle;
\end{tikzpicture}
\end{document}

In the figure you see a regular hexagon. Can you divide it into parts of equal shape and size? In the case of a negative answer, you must give reasons; in the case of an affirmative answer, explain directly on the figure the subdivision you propose, together with any clarifications you deem appropriate. (see figure)

Answer: Si src_kangourou_2005_junior_finale__QJ3

Somma coefficienti dello sviluppo di (2x-y+z)^8

Quanto vale la somma algebrica di tutti i coefficienti (ciascuno con il proprio segno) dello sviluppo di $(2 x - y + z)^{8}$ ?

Topic: Algebra Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: 256 Fonte: apri PDF p.1

Sum of development coefficients of (2x-y+z) ^8

What is the algebraic sum of all the coefficients (each with its own sign) of $(2 x - y + z)^{8}$ development?

Answer: 256 src_kangourou_2005_junior_finale__QJ4

Prodotto dei fattoriali non quadrato ma lo e diviso 50!

Per ogni intero positivo $n$ , si dice “fattoriale di $n$ ” — e si indica con il simbolo $n!$ — il prodotto di tutti gli interi da $1$ a $n$ incluso, ciascuno considerato una e una sola volta (dunque si ha $1! = 1$ , $2! = 2$ , $3! = 6$ , $4! = 24$ e così via). Mostra che il prodotto $1! \times 2! \times \dots \times 99! \times 100!$ dei fattoriali dei primi $100$ interi positivi non è un quadrato perfetto, ma lo è il suo quoziente con $50!$ .

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: dimostrazione Fonte: apri PDF p.1

Product of factories not squared but divided by 50! *

For each positive integer $n$ , “factor of $n$ ” is said and the symbol $n!$ indicates the product of all integers from $1$ to $n$ included, each considered once and only once (so you have $1! = 1$ , $2! = 2$ , $3! = 6$ , $4! = 24$ and so on). It shows that the $1! \times 2! \times \dots \times 99! \times 100!$ product of the factors of the first positive $100$ integers is not a perfect square, but its quotient with $50!$ is.

Answer: dimostrazione src_kangourou_2005_junior_finale__QJ5

Croce greca su scacchiera 7x7 senza angoli

\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
  \draw (0,0) grid (7,7);
  \fill[black] (0,6) rectangle (1,7);
  \fill[black] (6,6) rectangle (7,7);
  \fill[black] (0,0) rectangle (1,1);
  \fill[black] (6,0) rectangle (7,1);
  \node at (2.5,5.5) {5};
  \node at (4.5,5.5) {5};
  \node at (1.5,3.5) {5};
  \node at (3.5,3.5) {5};
  \node at (5.5,3.5) {5};
  \node at (2.5,1.5) {5};
  \node at (4.5,1.5) {5};
\end{tikzpicture}
\end{document}

Considera una scacchiera $7 \times 7$ a cui sono state tolte le $4$ caselle d’angolo; chiama croce greca ogni configurazione di $5$ sue caselle disposte a croce in modo che ogni casella abbia in comune almeno un lato con un’altra casella della croce (quindi ogni croce ha $4$ bracci uguali ciascuno costituito da una casella). Dimostra che è possibile disporre $45$ numeri interi (non necessariamente tutti diversi fra loro) sulle $45$ caselle rimaste, uno per casella, in modo che la somma totale di questi interi sia negativa, ma la somma dei numeri corrispondenti alle caselle ricoperte da una qualsiasi croce greca sia positiva.

(Suggerimento: individua un insieme convenientemente ridotto $S$ di caselle con la proprietà che ogni croce greca copra almeno una casella appartenente ad $S$ .)

Topic: Combinatoria Metodo: parita Abilita: generalizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: dimostrazione Fonte: apri PDF p.2

Greek cross on a 7x7 chessboard without corners

\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
  \draw (0,0) grid (7,7);
  \fill[black] (0,6) rectangle (1,7);
  \fill[black] (6,6) rectangle (7,7);
  \fill[black] (0,0) rectangle (1,1);
  \fill[black] (6,0) rectangle (7,1);
  \node at (2.5,5.5) {5};
  \node at (4.5,5.5) {5};
  \node at (1.5,3.5) {5};
  \node at (3.5,3.5) {5};
  \node at (5.5,3.5) {5};
  \node at (2.5,1.5) {5};
  \node at (4.5,1.5) {5};
\end{tikzpicture}
\end{document}

Consider a chessboard $7 \times 7$ from which the $4$ corner boxes have been removed; call ** Greek cross ** any configuration of $5$ its cross-ordered boxes so that each box has at least one side in common with another box of the cross (so each box has $4$ equal arms each made up of a box). It shows that it is possible to arrange $45$ integers (not necessarily all of them different from each other) on the remaining $45$ boxes, one per box, so that the total sum of these integers is negative, but the sum of the numbers corresponding to the boxes covered by any Greek cross is positive.

(Suggest: identify a conveniently small $S$ set of boxes with the property that each Greek cross covers at least one box belonging to $S$ .)

Answer: dimostrazione src_kangourou_2005_junior_finale__QJ6

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