Kangourou 2006 Student finale (maggio)

Somma minima dei valori assoluti su circonferenza numerata

Denotiamo con $n$ un numero intero maggiore di 1 e supponiamo che $n$ punti di una circonferenza siano numerati da 1 a $n$ in un ordine del tutto casuale. Per ogni coppia (non ordinata) di punti adiacenti si consideri il valore assoluto della differenza dei due numeri corrispondenti; si sommino quindi tutti i valori assoluti così ottenuti. Quanto vale al minimo questa somma?

Topic: Combinatoria, Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze classiche Abilita: generalizzazione Area: Algebra e Analisi, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 2n-2 Fonte: apri PDF p.1

Minimum sum of absolute values on numbered circumference

Let’s denote with $n$ an integer greater than 1 and assume that $n$ points of a circumference are numbered from 1 to $n$ in a completely random order. For each pair (not ordered) of adjacent points the absolute value of the difference of the two corresponding numbers is taken into account; all the absolute values thus obtained are therefore added. What is the minimum amount of this sum?

Answer: 2n-2 src_kangourou_2006_student_maggio__QS1

p+q prodotto di almeno tre interi >1 (primi consecutivi)

Siano $p$ e $q$ due numeri primi, diversi fra loro ed entrambi diversi da 2, tali che non ci sia alcun numero primo strettamente compreso tra $p$ e $q$. È vero che $p+q$ è il prodotto di almeno tre numeri interi positivi maggiori di 1 (non necessariamente diversi tra loro)? In caso di risposta affermativa danne una motivazione, in caso di risposta negativa trova un contro-esempio.

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: generalizzazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: e vero Fonte: apri PDF p.1

*p+q product of at least three integers >1 (first consecutive) *

They are $p$ and $q$ two prime numbers, different from each other and both different from 2, such that there is no prime number strictly between $p$ and $q$. Is it true that $p+q$ is the product of at least three positive integers greater than 1 (not necessarily different from each other)? If the answer is yes, it gives a reason, if the answer is no, it gives a counterexample.

Answer: e vero src_kangourou_2006_student_maggio__QS2

Differenza diagonali piu lunghe e piu corte nel 9-gono

Considera, in un poligono regolare di 9 lati, la lunghezza delle diagonali più lunghe e quella delle diagonali più corte. Se il lato del poligono misura 1 centimetro, quanto vale la differenza di queste due lunghezze?

Topic: Geometria piana Metodo: Tecniche trigonometriche Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 1 cm Fonte: apri PDF p.1

Longer and shorter diagonal difference in the 9-zone

Consider, in a regular polygon of 9 sides, the lengths of the longest and the shortest diagonals. If the side of the polygon is 1 centimeter, how much is the difference between these two lengths?

Answer: 1 cm src_kangourou_2006_student_maggio__QS3

punti blu su circonferenze

Tutti i punti di un piano sono colorati o in rosso o in blu e c’è almeno un punto rosso ed almeno un punto blu. Considera le due configurazioni proposte qui di seguito.

a. Ogni circonferenza di raggio 1 centimetro giacente sul piano contiene esattamente un punto blu.

b. Ogni circonferenza di raggio 1 centimetro giacente sul piano contiene esattamente due punti blu.

È possibile che si verifichi a)? È possibile che si verifichi b)? Motiva le tue risposte.

Topic: Geometria piana, Combinatoria Abilita: generalizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Risposta: a no, b si Fonte: apri PDF p.1

blue points on the circumferences

All points on a plane are colored either red or blue and there’s at least one red dot and at least one blue dot. Consider the two configurations proposed below.

a. Each radius of one centimeter lying on the plane contains exactly one blue dot.

b. Each radius of one centimeter lying on the plane contains exactly two blue dots.

Is it possible that a)? Is it possible that b)? Reason for your answers.

Answer: a no, b si src_kangourou_2006_student_maggio__QS4

E=N?

Quattro numeri interi $a,b,c,d$, con $a$ non nullo, sono scelti in modo che l’insieme $E$ dei numeri interi positivi $n$ tali che $an+b$ divide $cn+d$ non sia finito. L’insieme $E$ può essere diverso dall’insieme $\mathbb{N}$ dei numeri interi positivi? Motiva la risposta.

Topic: Teoria dei Numeri Abilita: generalizzazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: no Fonte: apri PDF p.1

E=N?

Four $a,b,c,d$ integers, with $a$ non-zero, are chosen so that the $E$ set of positive integers $n$ such that $an+b$ divides $cn+d$ is not finite. Can the set $E$ be different from the set $\mathbb{N}$ of positive integers? Reason for the answer.

Answer: no src_kangourou_2006_student_maggio__QS5

Azzeramento numeri su rete triangolare con mosse rombo

Un triangolo equilatero di lato $n$ ($n$ intero maggiore di 1) è suddiviso in $n^2$ «piccoli» triangoli equilateri utilizzando segmenti paralleli ai lati, come suggerito dalla figura. A tutti i punti della rete (vertici dei triangoli) che viene così realizzata è inizialmente associato il numero 0, tranne ai quattro punti marcati con $\bullet$, cui è associato il numero 1. Vogliamo fare in modo che a tutti i suddetti punti, compresi questi ultimi quattro, finisca per essere associato il numero 0 dopo aver eseguito un numero finito di mosse, ciascuna esclusivamente del tipo seguente: sommare 1 o $-1$ simultaneamente a ciascuno dei numeri nei quattro vertici di un qualunque rombo che sia formato dall’unione di due degli $n^2$ triangoli equilateri «piccoli». Per quali valori di $n$ è possibile realizzare il progetto (e con quale strategia)? (vedi figura)

Topic: Combinatoria Metodo: monovarianti Abilita: generalizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: solo n dispari Fonte: apri PDF p.1

Numerization of triangular network numbers with rhomboid movements

An equilateral triangle of the side $n$ ($n$ integer greater than 1) is divided into $n^2$ small equilateral triangles using segments parallel to the sides, as suggested by the figure. All points on the network (vertices of triangles) thus made are initially associated with the number 0, except for the four points marked with $\bullet$, to which the number 1 is associated. We want to make sure that all of the above points, including the last four, end up being associated with the number 0 after performing a finite number of moves, each of which is exclusively of the following type: add 1 or $-1$ simultaneously to each of the numbers at the four vertices of any rope that is formed by the union of two of the $n^2$ equilateral triangles small. For what values of $n$ can the project be implemented (and with what strategy)? (see figure)

Answer: solo n dispari src_kangourou_2006_student_maggio__QS6