Max numeri scelti senza somma multipla di 3
Considera i numeri interi da a compresi. Vuoi sceglierne alcuni in modo che la somma di due qualunque tra quelli che scegli non sia un multiplo di . Quanti numeri puoi scegliere al massimo?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Principio dei cassetti, congruenze Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 10 Fonte: apri PDF p.1
Max number of numbers chosen without a multiple sum of 3
Consider the integers from to included. You want to pick a few so that the sum of any two of those you choose is not a multiple of . How many numbers can you pick?
Answer: 10 src_kangourou_2007_junior_maggio__QJ1
Percorso piu breve sulla superficie del cono
In un cono circolare retto il raggio del cerchio di base misura cm e la generatrice cm. Una formica vuole arrampicarsi sulla superficie laterale del cono dal punto sul cerchio di base al punto medio della generatrice opposta (vedi figura). Quanto misura il percorso più breve che può fare la formica?
Topic: Geometria solida Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 3*sqrt5 cm Fonte: apri PDF p.1
Shorter route on the cone surface
In a straight circular cone the radius of the base circle is cm and the generator cm. An ant wants to climb the lateral surface of the cone from the point on the base circle to the middle point of the opposite generator (see figure). What is the shortest route an ant can take?
Answer: 3*sqrt5 cm src_kangourou_2007_junior_maggio__QJ2
Numeri ab il cui quadrato finisce in ab (automorfi)
Il quadrato di un numero di 2 cifre finisce con le stesse cifre . Quanti e quali numeri hanno questa proprietà?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: due: 25 e 76 Fonte: apri PDF p.1
*Numbers whose ab square ends in ab (automorphic) *
The square of a 2-digit number ends with the same digits . How many and what numbers have this property?
Answer: due: 25 e 76 src_kangourou_2007_junior_maggio__QJ3
Strategia vincente nel gioco delle 52 carte
Ho carte su ciascuna delle quali è indicato un numero intero positivo e la somma di tutti i numeri indicati è un numero dispari. Gioco con un amico in questo modo: dopo aver messo tutte le carte in fila sul tavolo, uno rimuove una carta a un’estremità della fila e poi passa la mano all’altro che fa la stessa cosa; si itera finché non restano più carte sul tavolo. Alla fine per ogni giocatore si sommano i numeri scritti sulle carte che ha scelto; vince chi ha le carte la somma dei cui numeri è maggiore. C’è una strategia vincente per chi inizia il gioco? In caso affermativo indicane una, in caso negativo fornisci una motivazione.
Topic: Logica, giochi, strategie Metodo: monovarianti Abilita: generalizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: si Fonte: apri PDF p.1
Winning strategy in the 52 card game
I have cards on each of which a positive integer is indicated and the sum of all the numbers is an odd number. I play with a friend like this: after you put all the cards in a row on the table, you remove a card at one end of the row and then you move the hand to the other one who does the same thing; you iterate until there are no more cards on the table. In the end, each player adds the numbers written on the cards he has chosen; the winner is the one with the most cards. Is there a winning strategy for whoever starts the game? If yes, indicate one, if not, provide a reason.
Answer: si src_kangourou_2007_junior_maggio__QJ4
Raggio della terza di 7 circonferenze (prog. geometrica)
Sette circonferenze poste in sequenza sono tangenti a due rette non parallele e sono tangenti esternamente la prima alla seconda, la seconda alla terza e così via. Se il raggio della più piccola è e quello della più grande è , quanto vale il raggio della terza?
Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: (R/r)^(1/3) r Fonte: apri PDF p.1
The radius of the third of 7 radii (pro. The following table shows the results of the calculations:
Seven circles arranged in sequence are tangent to two non-parallel lines and are externally tangent the first to the second, the second to the third, and so on. If the radius of the smallest is and that of the largest is , what is the radius of the third?
Answer: (R/r)^(1/3) r src_kangourou_2007_junior_maggio__QJ5
Numero di sottoinsiemi porosi di {1..10}
Un insieme di numeri naturali positivi è detto “poroso” se è vuoto oppure non contiene tre interi consecutivi. Quanti sono i sottoinsiemi porosi dell’insieme ?
Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio, Ricorsione Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 504 Fonte: apri PDF p.1
Number of porous sub-sets of {1,10}
A set of positive natural numbers is called “porous” if it is empty or does not contain three consecutive integers. How many porous subsets of the set are there?
Answer: 504 src_kangourou_2007_junior_maggio__QJ6