Kangourou 2008 Benjamin finale (maggio)

Area triangolo equilatero inscritto vs meta cerchio

\begin{document}
\begin{tikzpicture}
  \draw (0,0) circle (1.5cm);
  \coordinate (A) at (90:1.5);
  \coordinate (B) at (210:1.5);
  \coordinate (C) at (330:1.5);
  \draw (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
\end{tikzpicture}
\end{document}

In figura vedi un cerchio in cui è iscritto un triangolo equilatero. L’area del triangolo è maggiore, minore o uguale alla metà di quella del cerchio? Motiva le tue affermazioni. (vedi figura)

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: minore Fonte: apri PDF p.1

Equilateral triangle area inscribed vs meta circle

\begin{document}
\begin{tikzpicture}
  \draw (0,0) circle (1.5cm);
  \coordinate (A) at (90:1.5);
  \coordinate (B) at (210:1.5);
  \coordinate (C) at (330:1.5);
  \draw (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
\end{tikzpicture}
\end{document}

In the figure, you see a circle with an equilateral triangle inscribed. Is the area of the triangle larger, smaller or equal to half that of the circle? Reason your claims. (see figure)

Answer: minore src_kangourou_2008_benjamin_maggio__QB1

Eliminare due caselle per rendere vera l’uguaglianza

Nella griglia sottostante non si può eliminare il simbolo « $\times$ », ma si possono eliminare due caselle, in modo che l’uguaglianza che ne risulta sia verificata. Scrivi tale uguaglianza.

$1 ∣ 2 ∣ 9 ∣ \times ∣ 5 ∣ - ∣ 4 ∣ \times ∣ 3 ∣ - ∣ 6 ∣ 8 ∣ 0 ∣ 8$

Topic: Teoria dei Numeri Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 129x5+3=648 Fonte: apri PDF p.1

Remove two boxes to make the equality true

In the underlying grid the symbol $\times$ cannot be deleted, but two boxes can be deleted, so that the resulting equality is verified. Write that equation.

$1 ∣ 2 ∣ 9 ∣ \times ∣ 5 ∣ - ∣ 4 ∣ \times ∣ 3 ∣ - ∣ 6 ∣ 8 ∣ 0 ∣ 8$

Answer: 129x5+3=648 src_kangourou_2008_benjamin_maggio__QB2

Due tra 10 interi con somma o differenza divisibile per 10

Supponi di aver estratto a caso dieci numeri interi maggiori di $0$ . Puoi sempre scegliere due in modo che la loro somma o la loro differenza sia un numero divisibile per $10$ ? Se sì, come? Se no, perché?

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Principio dei cassetti, congruenze Abilita: generalizzazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: si Fonte: apri PDF p.1

Two out of 10 integers with sum or difference divisible by 10

Suppose you have randomly extracted ten integers greater than $0$ . Can you always choose two so that their sum or their difference is a number divisible by $10$ ? If so, how? If not, why?

Answer: si src_kangourou_2008_benjamin_maggio__QB3

Piu piccolo palindromo divisibile per 27

Un numero di Isabella è un numero (intero maggiore di zero) palindromo che è divisibile per $27$ . Qual è il più piccolo numero di Isabella? (Ricordiamo che un numero palindromo è un numero che può essere letto indifferentemente da destra a sinistra o da sinistra a destra, come per esempio i numeri $6226$ o $97579$ .)

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 999 Fonte: apri PDF p.1

Little palindrome peak divided by 27

An Isabella number is a palindrome number (whole greater than zero) that is divisible by $27$ . What’s Isabella’s smallest number? (Remember that a palindrome number is a number that can be read indifferently from right to left or from left to right, such as the numbers $6226$ or $97579$ .)

Answer: 999 src_kangourou_2008_benjamin_maggio__QB4

Max gusti per 12 pacchetti diversi (10 gusti)

Il negozio di dolci ha caramelle di $10$ gusti diversi; voglio confezionare $12$ pacchetti di caramelle in modo che:

il numero di gusti presenti sia lo stesso in ogni pacchetto;

pacchetti diversi differiscano per almeno un gusto.

Qual è il massimo numero di gusti che possono essere presenti nei pacchetti?

Topic: Combinatoria Metodo: Principio dei cassetti Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 8 gusti Fonte: apri PDF p.1

*Max tastes for 12 different packs (10 tastes) *

The confectionery shop has candies of different tastes; I want to pack candy packages so that: - the number of tastes present in each package is the same; - different packages differ by at least one taste.

What is the maximum number of flavors that can be present in packages?

Answer: 8 gusti src_kangourou_2008_benjamin_maggio__QB5

Numeri LIETI <1000 (quadrato divisibile per 7,8,9,10)

Diciamo che un numero intero maggiore di zero è LIETO se il suo quadrato (cioè il prodotto del numero per se stesso) è divisibile per ciascuno dei seguenti numeri: $7$ , $8$ , $9$ , $10$ . Trova tutti i numeri LIETI minori di $1000$ .

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 420 e 840 Fonte: apri PDF p.1

*LIETI numbers <1000 (square divided by 7,8,9,10) *

Let’s say an integer greater than zero is LIETO if its square (i.e. the product of the number itself) is divisible by each of the following numbers: $7$ , $8$ , $9$ , $10$ . Find all LIETI numbers less than $1000$ .

Answer: 420 e 840 src_kangourou_2008_benjamin_maggio__QB6

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