Kangourou 2008 - Junior finale nazionale (Mirabilandia)

Quante cifre nella somma 9+99+…+999..9 (2008)

Considera la seguente somma di 2008 addendi $9+99+999+\cdots +\underset{2008}{\underbrace{99\cdots 9}}$ di cui il primo è costituito dalla sola cifra 9, il secondo dalla cifra 9 scritta due volte, il terzo dalla cifra nove scritta tre volte e così via fino al 2008-esimo e ultimo addendo, che è costituito dalla cifra 9 scritta 2008 volte. Quante cifre ha il numero che ne costituisce il risultato?

Topic: Teoria dei Numeri Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 2009 Fonte: apri PDF p.1

*How many digits in the sum of 9+99+…+999..9 (2008) *

Consider the following sum of 2008 additions $9+99+999+\cdots +\underset{2008}{\underbrace{99\cdots 9}}$ of which the first is the single digit 9, the second is the digit 9 written twice, the third is the digit 9 written three times and so on until the 2008th and last addendum, which is the digit 9 written 2008 times. How many digits does the resulting number have?

Answer: 2009 src_kangourou_2008_junior_maggio__QJ1

Numero di sottoinsiemi con numero dispari di elementi

È dato un insieme di $n$ oggetti ($n\ge 1$). Quanti sono i suoi sottoinsiemi formati da un numero dispari di elementi?

Topic: Combinatoria, Insiemi e funzioni Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: generalizzazione Area: Algebra e Analisi, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 2^(n-1) Fonte: apri PDF p.1

Number of sub-sets with odd number of elements

A set of $n$ objects ($n\ge 1$) is given. How many of its sub-sets are made up of an odd number of elements?

Answer: 2^(n-1) src_kangourou_2008_junior_maggio__QJ2

Trovare un insieme IMPERFETTO infinito

Chiama IMPERFETTO un insieme $A$ di numeri interi positivi tale che:

• sia composto da infiniti numeri;
• comunque tu scelga un sottoinsieme finito $B$ di tale insieme, la somma dei numeri di $B$ non sia mai il quadrato di un numero intero.

Trova almeno un insieme IMPERFETTO.

Topic: Teoria dei Numeri, Insiemi e funzioni Abilita: generalizzazione Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: {2^(2k+1)} Fonte: apri PDF p.1

Finding an infinite set of imperfections

Call IMPERFECT a set $A$ of positive integers such that: - it is composed of infinite numbers; - however you choose a finite subset $B$ of that set, the sum of the numbers of $B$ is never the square of an integer.

Find at least one perfect set.

Answer: {2^(2k+1)} src_kangourou_2008_junior_maggio__QJ3

Minimo rette per tutti gli angoli 10..90 gradi

Si vogliono tracciare in un piano delle rette in modo tale che tra di loro si vengano sicuramente a formare angoli di ciascuna delle seguenti misure: $10^{\circ }$, $20^{\circ }$, $30^{\circ }$, $40^{\circ }$, $50^{\circ }$, $60^{\circ }$, $70^{\circ }$, $80^{\circ }$, $90^{\circ }$. Qual è il più piccolo numero di rette che realizza questa richiesta?

Topic: Geometria piana, Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Risposta: 5 Fonte: apri PDF p.1

Minimum straight for all angles of 10.90 degrees

They want to be drawn in a plane of lines so that between them they are sure to form angles of each of the following measures: $10^{\circ }$, $20^{\circ }$, $30^{\circ }$, $40^{\circ }$, $50^{\circ }$, $60^{\circ }$, $70^{\circ }$, $80^{\circ }$, $90^{\circ }$. What is the smallest number of lines that fulfill this requirement?

Answer: 5 src_kangourou_2008_junior_maggio__QJ4

Esistono tre punti col cerchio vuoto all’interno

In un piano sono assegnati alcuni punti non collineari (cioè non giacenti tutti su una stessa retta), in numero finito maggiore o uguale a tre. È vero che fra di essi ne esistono necessariamente tre tali che il cerchio delimitato dalla circonferenza passante per questi tre non contenga al suo interno alcuno dei punti rimanenti?

Topic: Geometria piana, Combinatoria Abilita: generalizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Risposta: si Fonte: apri PDF p.1

There are three points with an empty circle inside

In a plane, some non-hilly points (i.e. not all lying on the same line) are assigned in finite numbers greater than or equal to three. Is it true that there are necessarily three such points among them that the circle bounded by the circumference passing through these three does not contain any of the remaining points?

Answer: si src_kangourou_2008_junior_maggio__QJ5

Esiste retta che interseca tutti i poligoni

Nel piano sono assegnati alcuni poligoni, non necessariamente convessi, in numero finito. Essi sono disposti in modo tale che due qualsiasi fra loro abbiano almeno un punto in comune. Dimostrare che esiste una retta che li interseca tutti.

L’affermazione rimane vera se, invece di poligoni, si considerano insiemi generici di punti?

Topic: Geometria piana, Combinatoria Metodo: Principio di estremalita Abilita: generalizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Risposta: dimostrazione Fonte: apri PDF p.1

There is a line that intersects all polygons

In the plan, some polygons are assigned, not necessarily convex, in finite numbers. They are arranged in such a way that any two of them have at least one thing in common. Demonstrate that there is a line that crosses them all.

Does the statement remain true if instead of polygons, they are considered generic sets of points?

Answer: dimostrazione src_kangourou_2008_junior_maggio__QJ6