Numero di sottoinsiemi con numero dispari di elementi
(5 punti) È dato un insieme di oggetti (). Quanti sono i suoi sottoinsiemi formati da un numero dispari di elementi?
Topic: Combinatoria, Insiemi e funzioni Metodo: corrispondenza Abilita: generalizzazione Area: Algebra e Analisi, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 2^(n-1) Fonte: apri PDF p.1
Number of sub-sets with odd number of elements
*(5 points) * A set of objects () is given. How many of its sub-sets are made up of an odd number of elements?
Answer: 2^(n-1) src_kangourou_2008_student_maggio__QS1
Esistono insiemi IMPERFETTI
(7 punti) Chiama IMPERFETTO un insieme di numeri interi positivi tale che:
- sia composto da infiniti numeri;
- comunque tu scelga un sottoinsieme finito di tale insieme, la somma dei numeri di non sia mai il quadrato di un numero intero.
Esistono insiemi IMPERFETTI? Giustifica la risposta.
Topic: Teoria dei Numeri, Insiemi e funzioni Abilita: generalizzazione Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: si Fonte: apri PDF p.1
IMPERFECT sets are available
*(7 points) * Call a perfect set of positive integers such that: - it is composed of infinite numbers; - however you choose a finite subset of that set, the sum of the numbers of is never the square of an integer.
Are there perfect sets? Justify the answer.
Answer: si src_kangourou_2008_student_maggio__QS2
n interi con somma = prodotto per ogni n>1
(11 punti) Possiamo trovare, per ogni , interi naturali non nulli per i quali la somma risulti uguale al prodotto?
Topic: Teoria dei Numeri Abilita: generalizzazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: si Fonte: apri PDF p.1
n whole with sum = product for each n>1
*(11 points) * Can we find, for each , non-zero natural integers for which the sum is equal to the product?
Answer: si src_kangourou_2008_student_maggio__QS3
Tre punti col cerchio vuoto all’interno
(14 punti) In un piano sono assegnati alcuni punti non collineari (cioè non giacenti tutti su una stessa retta), in numero finito maggiore o uguale a tre. È vero che fra di essi ne esistono necessariamente tre tali che il cerchio delimitato dalla circonferenza passante per questi tre non contenga al suo interno alcuno dei punti rimanenti?
Topic: Geometria piana, Combinatoria Abilita: generalizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Risposta: si Fonte: apri PDF p.1
Three points with an empty circle inside
*(14 points) * In a plane some non-hill points (i.e. not all lying on the same line) are assigned in finite numbers greater than or equal to three. Is it true that there are necessarily three such points among them that the circle bounded by the circumference passing through these three does not contain any of the remaining points?
Answer: si src_kangourou_2008_student_maggio__QS4
Esiste retta che interseca tutti i poligoni
(18 punti) Nel piano sono assegnati alcuni poligoni, non necessariamente convessi, in numero finito. Essi sono disposti in modo tale che due qualsiasi fra loro abbiano almeno un punto in comune. Dimostrare che esiste una retta che li interseca tutti.
L’affermazione rimane vera se, invece di poligoni, si considerano insiemi generici di punti?
Topic: Geometria piana, Combinatoria Abilita: generalizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Risposta: dimostrazione Fonte: apri PDF p.1
There is a line that intersects all polygons
*(18 points) * In the plane are assigned some polygons, not necessarily convex, in finite number. They are arranged in such a way that any two of them have at least one thing in common. Demonstrate that there is a line that crosses them all.
Does the statement remain true if instead of polygons, they are considered generic sets of points?
Answer: dimostrazione src_kangourou_2008_student_maggio__QS5
Esiste persona con almeno 85% della ricchezza
(22 punti) In un certo paese la ricchezza è distribuita in modo molto poco omogeneo: infatti preso un qualsiasi gruppo formato da almeno 10 persone, come minimo il 90% della loro ricchezza totale è concentrato in non più del 10% delle persone.
Si dimostri che in tale paese deve esistere una persona che detiene almeno l’85% della ricchezza totale del paese.
Topic: Disuguaglianze, Teoria dei Numeri Metodo: Principio di estremalita Abilita: generalizzazione Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: dimostrazione Fonte: apri PDF p.1
There is a person with at least 85% of the wealth
In a certain country wealth is distributed very unevenly: in fact, taken from any group of at least 10 people, at least 90% of their total wealth is concentrated in no more than 10% of the people.
It is shown that there must be a person in that country who holds at least 85% of the total wealth of the country.
Answer: dimostrazione src_kangourou_2008_student_maggio__QS6