Massimo litri di sciroppo preparabili
(5 punti) Per preparare 4 litri di sciroppo occorrono esattamente 3 litri d’acqua, 1 litro di succo concentrato e 500 grammi di zucchero. Hai a disposizione 18 litri d’acqua, 5 litri di succo concentrato e 2 chili di zucchero. Quanti litri di sciroppo puoi preparare al massimo?
Topic: Teoria dei Numeri Abilita: traduzione del testo Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 16 Fonte: apri PDF p.1
Maximum of liters of syrup to be prepared
(5 points) To prepare 4 liters of syrup, exactly 3 liters of water, 1 litre of concentrated juice and 500 grams of sugar are needed. You have 18 liters of water, 5 liters of concentrated juice and 2 kilos of sugar. How many liters of syrup can you make?
Answer: 16 src_kangourou_2009_ecolier_maggio__QE1
Minimo numero di carte rimaste levandone due
\begin{document}
\begin{tikzpicture}
% 15 cards in triangular arrangement, rows 1..5
% card width=0.5, height=0.7, hgap=0.15, vgap=0.1
% row 1 (top): 1 card
\draw (0,0) rectangle (0.5,0.7);
% row 2: 2 cards
\draw (-0.325,-0.8) rectangle (0.175,-0.1);
\draw (0.325,-0.8) rectangle (0.825,-0.1);
% row 3: 3 cards
\draw (-0.65,-1.6) rectangle (-0.15,-0.9);
\draw (0,-1.6) rectangle (0.5,-0.9);
\draw (0.65,-1.6) rectangle (1.15,-0.9);
% row 4: 4 cards
\draw (-0.975,-2.4) rectangle (-0.475,-1.7);
\draw (-0.325,-2.4) rectangle (0.175,-1.7);
\draw (0.325,-2.4) rectangle (0.825,-1.7);
\draw (0.975,-2.4) rectangle (1.475,-1.7);
% row 5: 5 cards
\draw (-1.3,-3.2) rectangle (-0.8,-2.5);
\draw (-0.65,-3.2) rectangle (-0.15,-2.5);
\draw (0,-3.2) rectangle (0.5,-2.5);
\draw (0.65,-3.2) rectangle (1.15,-2.5);
\draw (1.3,-3.2) rectangle (1.8,-2.5);
\end{tikzpicture}
\end{document}(7 punti) In figura sono rappresentate 15 carte.
Se una carta (che non sia la prima in alto) sparisce dal tavolo, devono sparire anche le carte che sono a contatto con essa nella riga superiore. Ha levato due carte in modo che rimanesse il minor numero di carte possibile: qual è questo numero? (vedi figura)
Topic: Combinatoria, Logica, giochi, strategie Abilita: Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 3 Fonte: apri PDF p.1
*Minimum number of cards remaining by two *
\begin{document}
\begin{tikzpicture}
% 15 cards in triangular arrangement, rows 1..5
% card width=0.5, height=0.7, hgap=0.15, vgap=0.1
% row 1 (top): 1 card
\draw (0,0) rectangle (0.5,0.7);
% row 2: 2 cards
\draw (-0.325,-0.8) rectangle (0.175,-0.1);
\draw (0.325,-0.8) rectangle (0.825,-0.1);
% row 3: 3 cards
\draw (-0.65,-1.6) rectangle (-0.15,-0.9);
\draw (0,-1.6) rectangle (0.5,-0.9);
\draw (0.65,-1.6) rectangle (1.15,-0.9);
% row 4: 4 cards
\draw (-0.975,-2.4) rectangle (-0.475,-1.7);
\draw (-0.325,-2.4) rectangle (0.175,-1.7);
\draw (0.325,-2.4) rectangle (0.825,-1.7);
\draw (0.975,-2.4) rectangle (1.475,-1.7);
% row 5: 5 cards
\draw (-1.3,-3.2) rectangle (-0.8,-2.5);
\draw (-0.65,-3.2) rectangle (-0.15,-2.5);
\draw (0,-3.2) rectangle (0.5,-2.5);
\draw (0.65,-3.2) rectangle (1.15,-2.5);
\draw (1.3,-3.2) rectangle (1.8,-2.5);
\end{tikzpicture}
\end{document}(7 points) 15 cards are shown in the figure.
If a card (other than the first card at the top) disappears from the table, the cards that are in contact with it in the top row must also disappear. He pulled two cards so that the fewest possible cards remained: what is this number? (see figure)
Answer: 3 src_kangourou_2009_ecolier_maggio__QE2
Quanti modi di sistemare 4 monete su scacchiera 4x4
\begin{document}
\begin{tikzpicture}
% 4x4 chessboard-like grid, shaded where (row+col) is odd
\foreach \r in {0,1,2,3}{
\foreach \c in {0,1,2,3}{
\pgfmathparse{int(mod(\r+\c,2))}
\ifnum\pgfmathresult=1
\fill[gray!40] (\c,\r) rectangle (\c+1,\r+1);
\fi
\draw (\c,\r) rectangle (\c+1,\r+1);
}
}
\end{tikzpicture}
\end{document}(11 punti) Devi sistemare 4 monete identiche in altrettante caselle di una scacchiera rispettando le regole seguenti:
- in nessuna riga e in nessuna colonna può esserci più di una moneta;
- se in una casella c’è una moneta, ogni casella che abbia in comune con essa qualche vertice non può contenere monete.
In quanti modi diversi puoi realizzare il progetto?
Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 2 Fonte: apri PDF p.1
How many ways to place 4 coins on a 4x4 chessboard
\begin{document}
\begin{tikzpicture}
% 4x4 chessboard-like grid, shaded where (row+col) is odd
\foreach \r in {0,1,2,3}{
\foreach \c in {0,1,2,3}{
\pgfmathparse{int(mod(\r+\c,2))}
\ifnum\pgfmathresult=1
\fill[gray!40] (\c,\r) rectangle (\c+1,\r+1);
\fi
\draw (\c,\r) rectangle (\c+1,\r+1);
}
}
\end{tikzpicture}
\end{document}(11 points) You must place 4 identical coins in as many boxes as one chessboard by following the following rules:
- if there is a coin in a box, each box with some vertex in common with it cannot contain coins.
How many different ways can you do the project?
Answer: 2 src_kangourou_2009_ecolier_maggio__QE3
Pesi delle etichette ancora da preparare
(14 punti) Una ditta produce cioccolatini tutti dello stesso peso e li vuole vendere in confezioni da 36, 28, 24 o 16 pezzi. Su ogni confezione va apposta un’etichetta che riporta il peso netto del contenuto; sono state già preparate etichette indicanti 630 grammi e altre indicanti 360 grammi. Quali pesi dovranno indicare le etichette ancora da preparare?
Topic: Teoria dei Numeri Abilita: traduzione del testo Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 810,540 Fonte: apri PDF p.1
Weight of labels yet to be prepared
(14 points) One company produces chocolates all of the same weight and wants to sell them in packs of 36, 28, 24 or 16. Each pack must bear a label indicating the net weight of the contents; labels indicating 630 grams and other indicating 360 grams have already been prepared. What weights will the labels still have to indicate?
Answer: 810,540 src_kangourou_2009_ecolier_maggio__QE4
Prodotto dei tre numeri dell’esagono (griglia)
(18 punti) Poni in ognuno dei triangoli ombreggiati della griglia in figura uno dei sei numeri 1, 2, 3, 4, 5, 6 utilizzandoli tutti e facendo in modo che il numero che compare in ciascun triangolo bianco sia il prodotto dei tre numeri che compaiono nei tre triangoli ombreggiati che lo circondano.
Qual è il prodotto dei tre numeri che stanno nei triangoli ombreggiati che, uniti a quelli bianchi, formano un esagono? (vedi figura)
Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 40 Fonte: apri PDF p.1
*Product of the three digits of the hexagon (grid) *
(18 points) Place in each of the shaded triangles of the grid in figure one of the six numbers 1, 2, 3, 4, 5, 6, using all of them and making the number appearing in each white triangle the product of the three numbers appearing in the three shaded triangles surrounding it.
What is the product of the three numbers in the shaded triangles that, combined with the white ones, form an hexagon? (see figure)
Answer: 40 src_kangourou_2009_ecolier_maggio__QE5
Tempo minimo per traghettare quattro barche
(22 punti) Quattro barche , , , possono attraversare un fiume da una sponda all’altra nei due sensi; il tempo impiegato da ogni barca non dipende dal senso. La barca impiega 2 minuti per la traversata, la barca ne impiega 4, la barca ne impiega 8 e la barca ne impiega 16. Le quattro barche si trovano ormeggiate insieme sulla sponda sinistra, devono essere tutte traghettate sulla sponda destra ed è disponibile un solo timoniere. Una barca può trascinarsi al più un’altra, ma in questo caso il convoglio delle due barche impiega il tempo di traversata della barca più lenta fra le due. Una volta effettuata una traversata, il timoniere può ritornare al punto di partenza solo utilizzando una delle quattro barche. Trovate il tempo minore (in minuti) che consente di effettuare l’operazione, trascurando il tempo necessario ad agganciare e sganciare le barche e a trasbordare da una all’altra.
Topic: Combinatoria, Logica, giochi, strategie Abilita: traduzione del testo Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 30 Fonte: apri PDF p.1
Minimum time to ferry four boats
(22 points) Four boats , , , can cross a river from one bank to the other in two directions; the time taken by each boat does not depend on the direction. The boat takes 2 minutes to cross, the boat takes 4, the boat takes 8 and the boat takes 16. The four boats are moored together on the left bank, all must be ferried on the right bank and only one rudder is available. A boat may drag at most another boat, but in this case the movement of the two boats takes the slower boat’s crossing time between the two. Once a cruise has been made, the rudder can return to the starting point only using one of the four boats. Find the shorter time (in minutes) to perform the operation, neglecting the time needed to attach and unload the boats and transfer them from one to the other.
Answer: 30 src_kangourou_2009_ecolier_maggio__QE6