Minimo pezzi dell’asta da riporre nel quadrato 1x1
(5 punti) Una lancia di 10 metri va spezzata in modo che sia possibile riporre (eventualmente sovrapponendo) tutti i pezzi ottenuti in un quadrato di cartone di 1 metro di lato. Qual è il minimo numero di pezzi che consente di raggiungere lo scopo?
Topic: Geometria piana, Teoria dei Numeri Abilita: Ragionamento geometrico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Geometria Risposta: 8 Fonte: apri PDF p.1
Minimum pieces of the axle to be stored in the 1x1 square
*(5 points) * A 10 metre spear shall be broken so that it is possible to store (possibly overlapping) all the pieces obtained in a square cardboard of 1 metre side. What’s the minimum number of pieces to reach the target?
Answer: 8 src_kangourou_2009_junior_maggio__QJ1
Il numero 29^28+4 e primo
(7 punti) Il numero è primo? Giustifica la risposta.
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: no Fonte: apri PDF p.1
Number 29^28+4 and first
*(7 points) * The number is prime? Justify the answer.
Answer: no src_kangourou_2009_junior_maggio__QJ2
Quali fogli restano nella stessa posizione
(11 punti) Considera una pila ordinata di 5998 fogli numerati a partire da 1 (cioè il primo foglio in alto riporta il numero 1). Ora costruisci una nuova pila nel modo seguente: prendi il primo foglio, poni il secondo sopra il primo e il terzo sotto il primo; procedi quindi iterando il procedimento: il quarto foglio andrà sopra il secondo e il quinto sotto il terzo, e così via. Una volta completata l’operazione, vi saranno dei fogli che, nella nuova pila, si troveranno nella stessa posizione in cui si trovavano nella vecchia? In caso affermativo, quali?
Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: monovarianti Abilita: generalizzazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 2000 Fonte: apri PDF p.1
Which sheets remain in the same position
*(11 points) * It considers an ordered stack of 5998 sheets numbered from 1 (i.e. the first sheet at the top returns the number 1). Now build a new stack like this: take the first sheet, put the second over the first and the third under the first; then repeat the process: the fourth sheet will go over the second and the fifth under the third, and so on. Once the operation is complete, will there be sheets that, in the new stack, will be in the same position as they were in the old one? If yes, which ones?
Answer: 2000 src_kangourou_2009_junior_maggio__QJ3
Cammino minimo della formica e punto piu lontano
(14 punti) Una formica è libera di muoversi sulla superficie di un parallelepipedo rettangolo di dimensioni metri, ma non di entrarne all’interno. Partendo da un vertice, vuole raggiungere il vertice antipodo (cioè quello di esso più lontano) muovendosi lungo il cammino più breve possibile: quanta strada deve percorrere? Il vertice opposto è il punto del parallelepipedo più lontano dal vertice di partenza (sempre se si è vincolati a muoversi sulla superficie)?
Topic: Geometria solida, Geometria piana Metodo: Metodo delle coordinate Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: sqrt8 Fonte: apri PDF p.1
*Minimum path of the ant and farthest point *
*(14 points) * An ant is free to move on the surface of a rectangular parallel-piped measuring meters, but not to enter it. Starting from a summit, it wants to reach the top of the antipod (i.e. the one farthest from it) by moving along the shortest path possible: how much path should it take? Is the opposite vertex the point of the parallelepiped farthest from the starting vertex (as long as it is bound to move on the surface)?
Answer: sqrt8 src_kangourou_2009_junior_maggio__QJ4
Massimi vertici rossi con distanze diverse (21-agono)
(18 punti) Considera un poligono regolare di 21 lati. Vuoi colorare di rosso alcuni vertici in modo che, comunque scelte due coppie di vertici entrambi colorati di rosso, la distanza fra i vertici di una coppia sia diversa da quella fra i vertici dell’altra. Quanti vertici puoi colorare al massimo?
Topic: Combinatoria, Geometria piana Metodo: Principio dei cassetti, Principio di estremalita Abilita: Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Risposta: 5 Fonte: apri PDF p.1
*Maximum red vertices with different distances (21-agon) *
*(18 points) * Consider a regular polygon of 21 sides. You want to color some vertices red so that, however you choose two pairs of vertices both colored red, the distance between the vertices of one pair is different from that between the vertices of the other. How many vertices can you color?
Answer: 5 src_kangourou_2009_junior_maggio__QJ5
Spostamento monete su 1000-agono (8x125 e 125x8)
(22 punti) In alcuni vertici di un poligono regolare di 1000 lati vi sono alcune monete (ogni vertice può ospitarne nessuna, una o più di una). Una mossa consiste nelle operazioni seguenti: scegliere due monete e spostarle una nel vertice adiacente in senso orario e l’altra nel vertice adiacente in senso anti-orario. Partendo dalla situazione per la quale in ogni vertice vi è esattamente una moneta, è possibile arrivare con un numero finito di mosse ad avere: a) 8 mucchietti di 125 monete ciascuno? b) 125 mucchietti di 8 monete ciascuno?
Giustifica entrambe le risposte.
Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: monovarianti Abilita: generalizzazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: si,no Fonte: apri PDF p.1
*Moving coins on 1000-acre (8x125 and 125x8) *
*(22 points) * On some vertices of a regular 1000-sided polygon there are some coins (each vertices may host none, one or more). One move consists of the following operations: choose two coins and move one to the adjacent clockwise and the other to the opposite clockwise. From the situation where there is exactly one coin at each summit, can a finite number of moves lead to: a) 8 piles of 125 coins each? (b) 125 heaps of eight coins each?
It justifies both answers.
Answer: si,no src_kangourou_2009_junior_maggio__QJ6