Distanza casa-scuola da differenze di velocita
Da casa a scuola
Da casa mia a scuola vado sempre a piedi, partendo sempre alla stessa ora. Se cammino alla velocità di 4 Km/h, arrivo con un ritardo di 5 minuti sull’inizio delle lezioni, se invece cammino alla velocità di 5 Km/h, arrivo 10 minuti prima dell’inizio delle lezioni. Quanti metri dista la scuola dalla mia casa?
Topic: Algebra Abilita: traduzione del testo Area: Algebra e Analisi Risposta: 5000 Fonte: apri PDF p.1
Home-school distance from differences in speed
From home to school From home to school I always walk, always leaving at the same time. If I walk at 4 km/h, I arrive 5 minutes late at the start of classes, but if I walk at 5 km/h, I arrive 10 minutes before the start of classes. How many yards from my house is the school?
Answer: 5000 src_kangourou_2010_squadre_finale__Q01
Septine intere con 2a^2+b^2+…+g^2=9
Un’equazione con molte incognite
Chiamiamo “septina” un insieme ordinato di 7 numeri: due septine sono uguali se e solo se hanno numeri uguali nelle posizioni corrispondenti, cioè se sono uguali i loro due primi numeri, i loro secondi due e così via fino ai loro settimi due. Quante diverse septine di numeri interi relativi (a, b, c, d, e, f, g) sono tali che 2a2 + b2 + c2 + d2 + e2 + f2 + g2 = 9 ?
Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Analisi per casi, Conteggio combinatorio Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 2820 Fonte: apri PDF p.1
Integressive septins with 2a^2+b^2+…+g^2=9
An equation with many unknowns We call a set of 7 numbers: two septins are equal if and only if they have equal numbers in the corresponding positions, that is, if their first two numbers are equal, their second two and so on until their seventh two. How many different septs of relative integers (a, b, c, d, e, f, g) are such that 2a2 + b2 + c2 + d2 + e2 + f2 + g2 = 9 ?
Answer: 2820 src_kangourou_2010_squadre_finale__Q02
Anni 2011-2410 con prime due cifre multiple delle ultime
Questo è un anno particolare
L’anno 2010 ha la curiosa peculiarità che il numero formato dalle sue prime due cifre è un multiplo di quello formato dalle ultime due. La stessa cosa succede ad esempio per l’anno 2404. Quanti dei prossimi 400 anni, cioè degli anni dal 2011 al 2410 inclusi, avranno questa proprietà?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Analisi per casi Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 17 Fonte: apri PDF p.1
*Years 2011-2410 with first two multiple digits of the last *
This is a special year. The year 2010 has the curious peculiarity that the number formed by its first two digits is a multiple of the number formed by the last two. The same thing happens for example in the year 2404. How many of the next 400 years, that is, the years from 2011 to 2410 inclusive, will have this property?
Answer: 17 src_kangourou_2010_squadre_finale__Q03
Cammini a zig-zag di 8 caselle bianche scacchiera
La scacchiera
In una ordinaria scacchiera 8 × 8 (32 caselle bianche e 32 caselle nere alternate in orizzontale e in verticale), chiamiamo “cammino a zig-zag” un insieme di 8 caselle bianche, una per ogni riga, tali che, per ogni riga dalla seconda all’ottava, la casella che sta in tale riga abbia in comune un vertice con quella che sta nella riga precedente. Quanti diversi cammini a zig-zag si possono trovare?
Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio, Ricorsione Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 296 Fonte: apri PDF p.1
8 white chessboard zigzag roads
The chessboard In an ordinary chessboard 8 × 8 (32 white boxes and 32 alternating vertical and horizontal black boxes), we call walk to zig-zag a set of 8 white boxes, one for each row, such that, for each row from the second row to the 8th, the box in that row has in common a vertex with the one in the previous row. How many different zigzag paths can you find?
Answer: 296 src_kangourou_2010_squadre_finale__Q04
Somma numeri sulle facce dato somma vertici 70
Facce e vertici
Su ogni faccia di un cubo abbiamo scritto un numero intero strettamente positivo. Su ogni vertice abbiamo scritto il prodotto dei 3 numeri scritti sulle facce che concorrono in quel vertice. La somma dei numeri scritti nei vertici è 70. Qual è la somma dei numeri scritti sulle facce?
Topic: Teoria dei Numeri, Geometria solida Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Geometria Risposta: 14 Fonte: apri PDF p.1
sum of numbers on faces given sum of vertices 70
Faces and vertices On each side of a cube we wrote a strictly positive integer. On each summit we wrote the product of the three numbers written on the faces that compete at that summit. The sum of the numbers written on the vertices is 70. What’s the sum of the numbers on the faces?
Answer: 14 src_kangourou_2010_squadre_finale__Q05
Volume del cubottaedro da cubo di lato 6
Il cubottaedro
Abbiamo un cubo di 6 centimetri di lato. Fissato un vertice, consideriamo il piano che passa per i punti di mezzo di ciascuno dei tre spigoli che vi concorrono: questo piano seziona il cubo in due solidi, di cui uno è una piramide con vertice nello spigolo in questione. Per ogni vertice del cubo, eliminiamo la piramide ottenuta in questo modo: rimane un solido convesso con facce che sono quadrati o triangoli (detto cubottaedro). Quanti centimetri cubi misura il suo volume?
Topic: Geometria solida Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 180 Fonte: apri PDF p.1
*Volume of the side cube 6 *
We have a six-centimeter cube on the side. Fixed a vertex, let’s consider the plane that passes through the midpoints of each of the three opposing vertices: this plane divides the cube into two solids, one of which is a pyramid with a vertex in that vertex. For each vertex of the cube, we eliminate the pyramid obtained this way: it remains a solid convex with faces that are squares or triangles (called a cubehedron). How many cubic centimeters does its volume measure?
Answer: 180 src_kangourou_2010_squadre_finale__Q06
Ora di riaccensione simultanea tre lampadine
Tre lampadine
Tre lampadine intermittenti si accendono una ogni due minuti, un’altra ogni due minuti e mezzo e la terza ogni tre minuti. Ognuna delle tre, quando si accende, rimane accesa per un minuto e mezzo. Nell’istante in cui il mio orologio digitale, che segna i minuti ma non i secondi, passa ad indicare le 10:38, le tre lampadine si spengono contemporaneamente. Che ora segnerà il mio orologio quando si riaccenderanno tutte e tre insieme per la prima volta ?
N.B. L’espressione “si accendono ogni x minuti” significa “tra un’accensione e la successiva riaccensione passano x minuti”. (Per indicare, per esempio, le 10:38, scrivete 1038.)
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: traduzione del testo Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 1106 Fonte: apri PDF p.1
Time of simultaneous re-ignition of three lamps
Three intermittent lamps are lit every two minutes, one every two and a half minutes and the third every three minutes. Each of the three, when turned on, stays on for a minute and a half. The moment my digital clock, which marks the minutes but not the seconds, turns to 10:38, all three lights go out simultaneously. What time will my watch mark when the three of them turn on together for the first time ? N.B. expression they turn on every x minutes means between one turning on and the next re-turning on, x minutes pass. (To indicate, for example, 10:38, write 1038.)
Answer: 1106 src_kangourou_2010_squadre_finale__Q07
Risultato somma con frazioni in due parentesi
Tanti addendi
Qual è il risultato della seguente somma? 670 1 669 1 … 3 1 2 1 1 2010 2009 2008 2007 2006 2005 … 9 8 7 6 5 4 3 2 1
Topic: Algebra Metodo: Somme telescopiche Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: 1340 Fonte: apri PDF p.2
Result sum with fractions in two brackets
What is the result of the following sum?
+ + + + + + + + + + + + + + + + 670 1 669 1 … 3 1 2 1 1 2010 2009 2008 2007 2006 2005 … 9 8 7 6 5 4 3 2 1
Answer: 1340 src_kangourou_2010_squadre_finale__Q08
Anno in cui cifra unita eta = cifra unita di m^m
La principessa Cunegonda
La principessa Cunegonda è nata il primo gennaio del 1992. Una fata, che passava per caso vicino alla culla in cui giaceva Cunegonda appena nata, fece la seguente predizione: “Nel primo anno m in cui la cifra delle unità dell’età di Cunegonda sarà uguale alla cifra delle unità di mm, a Cunegonda accadrà qualcosa di meraviglioso”. La predizione si è poi avverata. In che anno?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 2008 Fonte: apri PDF p.2
Year in which unit number eta = unit number m^m
Princess Cunegonda Princess Cunegonda was born on 1 January 1992. A fairy, who happened to be passing by near the cradle where Cunegonda had just been born, made the following prediction: In the first year m in which the number of Cunegonda’s age units will be equal to the number of mm units, something wonderful will happen in Cunegonda. Then the prediction came true. What year?
Answer: 2008 src_kangourou_2010_squadre_finale__Q09
Minimo lettere alfabeto per un milione di terne
Un alfabeto con molte lettere
Uno strano paese ha esattamente un milione di abitanti che parlano una lingua con un alfabeto molto ricco. Ogni abitante di quel paese possiede un cognome, un nome e un soprannome le cui tre lettere iniziali sono diverse fra loro. Sapete che è possibile identificare ognuno degli abitanti usando solo le lettere iniziali, nell’ordine, del cognome, del nome e del soprannome. Quante devono essere al minimo le lettere dell’alfabeto usato in quel paese?
Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 102 Fonte: apri PDF p.2
Minimum letters of the alphabet for one million calves
A strange country has exactly one million people who speak a language with a very rich alphabet. Each inhabitant of that country has a surname, a name, and a nickname whose first three letters are different from each other. You know that you can identify each of the inhabitants using only the initials, in order, surname, first name and last name. How many letters of the alphabet used in that country must be at least?
Answer: 102 src_kangourou_2010_squadre_finale__Q10
Primo esagono con spessore corona > 130
Lo spessore dell’esagono
Chiamiamo “spessore di un esagono regolare” lo spessore della corona circolare delimitata dalla circonferenza ad esso circoscritta e da quella ad esso inscritta (cioè la differenza fra il maggiore e il minore dei due raggi). Immaginiamo ora una sequenza di esagoni regolari, il primo di lato 1, il secondo di lato 2, il terzo di lato 3 e così via. Che posto occupa nella sequenza il primo di questi esagoni il cui spessore supera 130?
Topic: Geometria piana, Algebra Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi, Geometria Risposta: 971 Fonte: apri PDF p.2
First hexagon with crown thickness > 130
The thickness of the hexagon We call the thickness of a regular hexagon the thickness of the circular crown bounded by the circumference to it circumscribed and by that to it inscribed (i.e. the difference between the greater and lesser of the two rays). Now let’s imagine a sequence of regular hexagons, the first on side one, the second on side two, the third on side three, and so on. What place in the sequence does the first of these hexagons, whose thickness exceeds 130, occupy?
Answer: 971 src_kangourou_2010_squadre_finale__Q11
Somma elementi coppie con somma interi interni 1999
Coppie di numeri
Trovate tutte le coppie {a,b} di numeri interi positivi, con a < b, tali che la somma di tutti i numeri interi strettamente compresi tra a e b (cioè contemporaneamente maggiori di a e minori di b) sia 1999. Scrivete la somma degli elementi di tutte queste coppie (ad esempio, se le coppie fossero {a,b}, {c,d}, {e,f} dovreste scrivere il numero a + b + c + d + e + f ).
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 5997 Fonte: apri PDF p.2
sum of pairs with internal integer sum 1999
Number pairs Find all pairs {a,b} of positive integers, with a < b, such that the sum of all integers strictly comprised between a and b (i.e. simultaneously greater than a and less than b) is 1999. Write the sum of the elements of all these pairs (for example, if the pairs were {a,b}, {c,d}, {e,f} you would write the number a + b + c + d + e + f).
Answer: 5997 src_kangourou_2010_squadre_finale__Q12
Minimo massimo elemento con prodotto quadrato perfetto
Un insieme di numeri speciale
Un insieme S di numeri interi è tale che il suo elemento più piccolo è 1001 e il prodotto di tutti i suoi elementi è un quadrato perfetto. Qual è il più piccolo valore che può avere il più grande elemento di S?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 1040 Fonte: apri PDF p.2
Minimum maximum element with perfect square product
A set of special numbers A set S of integers is such that its smallest element is 1001 and the product of all its elements is a perfect square. What is the smallest value that the largest element of S can have?
Answer: 1040 src_kangourou_2010_squadre_finale__Q13
Perimetro rettangoli in regione 2010 m2 con 7 quadrati
Rettangoli e quadrati
L’area della regione rettangolare in figura è 2010 m2. La regione è suddivisa in sette quadrati e due rettangoli, come indicato. Le dimensioni di tutti i quadrati e i rettangoli di cui si parla sono espresse, in metri, da numeri interi. I due rettangoli, che in figura appaiono ombreggiati, hanno le stesse dimensioni e quadrati hanno la dimensione massima possibile compatibilmente con i vincoli del problema. Qual è, in metri, il perimetro di ciascuno dei due rettangoli?
Topic: Geometria piana, Teoria dei Numeri Metodo: Analisi per casi Abilita: Ragionamento geometrico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Geometria Risposta: 134 Fonte: apri PDF p.2
Rectangular perimeter in region 2010 m2 with 7 squares
Rectangles and squares The area of the rectangular region in the figure is 2010 m2. The region is divided into seven squares and two rectangles, as indicated. The dimensions of all the squares and rectangles we’re talking about are expressed in meters by integer numbers. The two rectangles, which appear shaded in the figure, have the same dimensions and the squares have the maximum possible size compatible with the constraints of the problem. What is the perimeter in meters of each of the two rectangles?
Answer: 134 src_kangourou_2010_squadre_finale__Q14
Massimo studenti con 3 problemi e <=1 in comune
L’esame di matematica
Alcuni studenti si sono presentati all’esame di matematica. Il professore aveva preparato 8 diversi problemi, tutti della stessa difficoltà, ed è riuscito ad assegnarne 3 ad ogni studente in modo che non vi fossero studenti con più di un problema in comune. Quanto possono essere al massimo gli studenti che si sono presentati all’esame?Kangourou della Matematica 2010 Coppa a squadre Kangourou - finale Mirabilandia, 9 maggio 2010
Quesiti
Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 8 Fonte: apri PDF p.2
Most students with 3 problems and <=1 in common
Mathematics Examination Some students have taken the math exam. The professor had prepared eight different problems, all of the same difficulty, and he managed to assign three to each student so that there were no students with more than one problem in common. What is the maximum number of students who have taken the exam?
Kangourou of Mathematics 2010 Kangourou team cup - final Mirabilandia, 9 May 2010
Questions and answers
Answer: 8 src_kangourou_2010_squadre_finale__Q15