Maggiore dei due numeri di 3 cifre con somma e prodotto max
Sei cifre per due numeri
Avete a disposizione le cifre 1, 3, 4, 7, 8, 9 per formare due numeri di tre cifre ciascuno, e le dovete impiegare tutte. Volete che sia la somma, sia il prodotto dei due numeri che formate siano i più grandi possibile. Qual è il più grande dei due numeri?
Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Principio di estremalita Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 941 Fonte: apri PDF p.1
Most of two 3-digit numbers with sum and product max
Six digits for two numbers You have the digits 1, 3, 4, 7, 8, 9 to form two three-digit numbers each, and you have to use them all. You want the sum and the product of the two numbers that you form to be the largest possible. Which is the larger of the two numbers?
Answer: 941 src_kangourou_2010_squadre_semifinale__Q01
Massimo passeggeri con file di occupazione distinta
Sull’aereo
I sedili di un aereo sono disposti in 60 file “orizzontali” di 6 posti ciascuna, contraddistinti dalle lettere A,B, …, F. Quando tutti i passeggeri hanno preso posto, si verifica la seguente circostanza: non ci sono due file in cui i posti occupati siano esattamente gli stessi, cioè tutti e soli quelli contraddistinti dalle stesse lettere. Quanti possono essere al massimo i passeggeri su quell’aereo?
Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 189 Fonte: apri PDF p.1
Maximum number of passengers with distinct occupation roles
On an aircraft, the seats of an aircraft are arranged in 60 horizontal rows of 6 seats each, marked by the letters A, B, …, F. When all the passengers have taken their seats, the following situation occurs: there are no two rows in which the seats are exactly the same, that is, all and only those marked by the same letters. How many passengers can there be on that plane at most?
Answer: 189 src_kangourou_2010_squadre_semifinale__Q02
Coppie di caselle non adiacenti su scacchiera 8x8
La scacchiera
Quante sono le coppie (non ordinate) di caselle non adiacenti che si trovano su una scacchiera
8 × 8? (Due caselle si dicono “adiacenti” se sono diverse e hanno un lato in comune.)
Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 1904 Fonte: apri PDF p.1
Pairs of non-adjacent boxes on a chessboard 8x8
How many pairs of non-adjacent boxes are found on a chessboard 8 × 8? (Two boxes are called adjacent if they are different and have a side in common.)
Answer: 1904 src_kangourou_2010_squadre_semifinale__Q03
Area ricoperta da esattamente due adesivi quadrati
La tavola di Maria
Maria vuole ricoprire una tavola di legno rettangolare di lati 60 e 40 cm utilizzando 6 adesivi quadrati, ciascuno di 22 cm di lato, senza tagliarli o ripiegarli. Allora li deve sovrapporre parzialmente e il risultato finale è quello illustrato in figura (dove le zone in bianco sono ricoperte da un solo adesivo, quelle in grigio da due adesivi, quelle in nero da più di due). Qual è, in cm2, l’area della superficie ricoperta da esattamente due adesivi?
Topic: Geometria piana Metodo: Inclusione-esclusione Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 408 Fonte: apri PDF p.1
Area covered by exactly two square adhesives
Maria Maria’s table wants to cover a rectangular wooden table with sides of 60 and 40 cm using 6 square adhesives, each 22 cm wide, without cutting or folding them. Then it must partially overlay them and the final result is as shown in the figure (where the white areas are covered by a single adhesive, the gray areas by two adhesives, the black areas by more than two). What is, in cm2, the surface area covered by exactly two adhesives?
Answer: 408 src_kangourou_2010_squadre_semifinale__Q04
Ultime due cifre dell’ultimo termine sequenza q=p+p^2
Una sequenza lunga
Immaginate una sequenza di 2010 numeri interi positivi costruita con la regola seguente. Il primo (il più piccolo) è 3 e ciascuno dei successivi è la somma del precedente con il quadrato del precedente (cioè, se q è un numero della sequenza e p è il numero che lo precede nella sequenza, si ha q = p + p2). Quali sono le ultime due cifre dell’ultimo (il più grande)?
Topic: Teoria dei Numeri, successioni Metodo: congruenze Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 92 Fonte: apri PDF p.1
Last two digits of the last term sequence q=p+p^2
A long sequence Imagine a sequence of 2010 positive integers constructed with the following rule. The first (the smallest) is 3 and each of the subsequent is the sum of the preceding with the square of the preceding (i.e., if q is a sequence number and p is the number preceding it in the sequence, you have q = p + p2). What are the last two digits of the last (greatest)?
Answer: 92 src_kangourou_2010_squadre_semifinale__Q05
Minuti per correggere 84 elaborati insieme
Professori al lavoro
Per correggere 32 elaborati di matematica all’esame di terza media, un professore impiega 80 minuti; un altro professore, per correggere lo stesso numero di elaborati, impiega solo 60 minuti. Ogni professore impiega lo stesso tempo a correggere ogni elaborato. Se si mettessero insieme e si ripartissero 84 elaborati, in modo da iniziare e terminare insieme la correzione, quanti minuti impiegherebbero?
Topic: Algebra Abilita: traduzione del testo Area: Algebra e Analisi Risposta: 90 Fonte: apri PDF p.1
Minutes to correct 84 worked together
Teachers at work To correct 32 mathematical papers on the third-grade examination, one professor takes 80 minutes; another professor, to correct the same number of papers, takes only 60 minutes. Each professor spends the same amount of time correcting each paper. If you put them together and then re-start 84 processes, so that you start and finish the correction together, how many minutes would it take?
Answer: 90 src_kangourou_2010_squadre_semifinale__Q06
Somma interi pari n con -53<2010/(53-n)<53-n
Una catena di disuguaglianze
Trovate la somma di tutti gli interi positivi pari n tali che – 53 < 2010/(53 – n) < 53 – n.
Topic: Algebra, Disuguaglianze Metodo: Disuguaglianze classiche Abilita: Casework accurato Area: Algebra e Analisi Risposta: 302 Fonte: apri PDF p.1
Interest sum equal to n with -53<2010/(53-n) <53-n
A chain of inequalities Find the sum of all positive integers equal to n such that 53 < 2010/(53 n) < 53 n.
Answer: 302 src_kangourou_2010_squadre_semifinale__Q07
Numero membri associazione con A 64% dei voti
L’elezione del presidente
Il presidente di un’associazione è stato scelto da tutti i membri fra due candidati, A e B. A ha ottenuto il doppio dei voti di B. 3 membri dell’associazione hanno votato scheda bianca, mentre ciascuno degli altri ha votato solo per A o solo per B. In questo modo, A ha ottenuto il 64% del totale dei voti possibili. Da quanti membri è composta l’associazione?
Topic: Algebra Abilita: traduzione del testo Area: Algebra e Analisi Risposta: 75 Fonte: apri PDF p.2
Number of association members with A 64% of the votes
Election of the President The President of an association was chosen by all members from two candidates, A and B. A got twice as many grades as B. Three members of the association voted on a white paper, while each of the others only voted for A or only for B. In this way, A got 64% of the total possible votes. How many members is the association?
Answer: 75 src_kangourou_2010_squadre_semifinale__Q08
Minimo quadrati da colorare per griglia 25x25
Una griglia da colorare
Avete una griglia quadrata formata dall’accostamento di 25 × 25 quadrati di lato 1 e vi divertite a colorare di rosso il bordo dei possibili quadrati i cui lati siano contenuti nel reticolo evidenziato dalla griglia, ovunque siano e di qualunque taglia essi siano. Qual è il minimo numero di quadrati di cui vi basta colorare il bordo se volete che tutte le linee della griglia di partenza risultino interamente colorate di rosso?
Topic: Combinatoria, Geometria piana Metodo: Principio di estremalita Abilita: Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Risposta: 48 Fonte: apri PDF p.2
Minimum squares to be coloured per grid 25x25
You have a square grid formed by the approximation of 25 × 25 squares of side 1 and you have fun coloring the edge of the possible squares whose sides are contained in the grid highlighted, wherever they are and of whatever size they are. What is the minimum number of squares that you need to color the edge of if you want all the lines of the grid to be completely red?
Answer: 48 src_kangourou_2010_squadre_semifinale__Q09
Numero pagine libro con 3005 cifre
Un libro con molte pagine
Le pagine di un libro sono numerate partendo da 1. Per numerare tutte le pagine, sono state scritte in totale 3005 cifre. Quante pagine ha il libro?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio per casi Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 1028 Fonte: apri PDF p.2
Number of 3005-digit book pages
A book with many pages The pages of a book are numbered from 1. To count all the pages, a total of 3005 digits were written. How many pages does the book have?
Answer: 1028 src_kangourou_2010_squadre_semifinale__Q10
Somma interi non ottenibili come somma di 5 e 7
Somme vincolate
Molti numeri interi positivi, ma non tutti, possono essere ottenuti come somma di addendi ciascuno dei quali sia 5 oppure 7. Scrivete la somma di tutti i numeri interi positivi che non possono essere ottenuti in questo modo; scrivete [0000] nel caso di questi numeri ve ne siano infiniti.
Topic: Teoria dei Numeri Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 114 Fonte: apri PDF p.2
Integer sum not available as sum of 5 and 7
Binded sums Many positive integers, but not all, can be obtained as sums of additions each of which is 5 or 7. Write the sum of all the positive integers that cannot be obtained in this way; write [0000] in case these numbers are infinite.
Answer: 114 src_kangourou_2010_squadre_semifinale__Q11
Unico numero 4 cifre quadrato e cubo perfetto
Un quadrato che è un cubo
Qual è l’unico numero di 4 cifre che è contemporaneamente un quadrato e un cubo perfetto?
Topic: Teoria dei Numeri Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 4096 Fonte: apri PDF p.2
Single number 4 square digits and perfect cube
What is the only four-digit number that is both a square and a perfect cube?
Answer: 4096 src_kangourou_2010_squadre_semifinale__Q12
Numeri ABBA di 4 cifre multipli di 11
.umeri simmetrici
Quanti numeri di 4 cifre (significative) della forma ABBA sono multipli di 11?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 90 Fonte: apri PDF p.2
ABBA numbers of 4 digits multiplied by 11
.symmetrical numbers How many 4-digit numbers (significant) of the ABBA form are multiples of 11?
Answer: 90 src_kangourou_2010_squadre_semifinale__Q13
Prezzo formaggio stagionato con guadagno 15%
Il prezzo del formaggio
Produrre un quintale di un formaggio fresco pregiato costa ad un caseificio 1200 euro. Prima di essere venduto, il formaggio va lasciato stagionare e la stagionatura gli fa perdere 1/5 del peso iniziale. A quanti euro dovrà essere venduto un quintale di formaggio stagionato, se il caseificio vuole guadagnare il 15% di quello che spende per produrlo?
Topic: Algebra Abilita: traduzione del testo Area: Algebra e Analisi Risposta: 1725 Fonte: apri PDF p.2
Precious seasoned cheese with a gain of 15%
The price of cheese To produce a quintal of a precious fresh cheese costs a factory 1200 euros. Before it is sold, the cheese must be allowed to ripen and ripening causes it to lose 1/5 of its original weight. How many euros will a quintale of seasoned cheese have to be sold if the factory wants to earn 15% of what it spends to produce it?
Answer: 1725 src_kangourou_2010_squadre_semifinale__Q14
Codice quadrato perfetto con resto 1 da 2 a 9
Il codice segreto
Paolo ha scoperto un trucco per ricordare il suo numero di codice di quattro cifre: ha osservato che è un quadrato perfetto e che, diviso per un qualunque intero fra 2 e 9 inclusi, dà come resto 1. Qual è il numero di codice di Paolo?
Kangourou della Matematica 2010 Coppa a squadre Kangourou
Semifinale turno A Mirabilandia, 8 maggio 2010Quesiti
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 5041 Fonte: apri PDF p.2
Perfect square code with residue 1 from 2 to 9
The secret code Paul discovered a trick to remember his four-digit code number: he observed that it is a perfect square and that, divided by any integer between 2 and 9 included, it gives as a remainder 1. What’s Paul’s code number?
Kangourou of Mathematics 2010 Kangourou Team Cup Semifinal round at Mirabilandia, 8 May 2010
Questions and answers
Answer: 5041 src_kangourou_2010_squadre_semifinale__Q15