Kangourou 2011 Finale Junior (Mirabilandia)

Minima differenza tra numeri con somma cifre divisibile per 5

Immagina una lista in cui compaiano in ordine crescente tutti i numeri interi positivi la somma delle cui cifre è divisibile per $5$ (la lista inizierà dunque così: $5,14,19,23,\dots$). Qual è la minima differenza possibile fra un numero e quello che lo precede in questa lista?

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 1 Fonte: apri PDF p.1

Minimum difference between numbers with sum of digits divisible by 5

Imagine a list in which all positive integers appear in increasing order whose sum is divisible by $5$ (the list will begin thus: $5,14,19,23,\dots$). What is the smallest possible difference between a number and the one before it in this list?

Answer: 1 src_kangourou_2011_junior_finale__QJ1

Max numero di cifre distinte divisibile per ognuna delle sue cifre

Un numero intero positivo, scritto in notazione decimale, ha le cifre a due a due diverse fra loro ed è divisibile per ognuna delle sue cifre. Quante cifre può avere al massimo?

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Analisi per casi Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 7 Fonte: apri PDF p.1

Max number of distinct digits divisible by each of its digits

A positive integer, written in decimal notation, has the digits two to two different from each other and is divisible by each of its digits. How many digits can he have at most?

Answer: 7 src_kangourou_2011_junior_finale__QJ2

Chi salta circuito con fossato senza cadere e perche

Ada, Bruna, Carla, Dora ed Enrica saltano ciascuna sul proprio jumper la cui base è praticamente un punto. Ognuna di loro compie salti sempre della stessa lunghezza; le lunghezze sono rispettivamente $70,80,85,90$ e $95$ cm. Seguono tutte, partendo da uno stesso punto e muovendosi nello stesso verso, uno stesso circuito circolare lungo $400$ metri, che è attraversato da un fossato largo $73$ cm. Accade che solo una di loro riesce a fare $6$ giri completi del circuito senza cadere nel fossato: chi e perché? (Le lunghezze dei salti e la larghezza del fossato si intendono misurate su archi del circuito, non su corde.)

Topic: Teoria dei Numeri, Logica, giochi, strategie Abilita: traduzione del testo Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: Bruna Fonte: apri PDF p.1

Who skips a circuit with a ditch without falling and why

Ada, Bruna, Carla, Dora, and Enrica jump on their own jumper whose base is practically a point. Each of them performs jumps of the same length; the lengths are $70,80,85,90$ and $95$ cm respectively. They all follow, starting from the same point and moving in the same direction, the same circular circuit length $400$ meters, which is traversed by a wide trench $73$ cm. It happens that only one of them can make full laps of the circuit without falling into the ditch: who and why? (The lengths of the jumps and the width of the trench are to be measured on circuit arcs, not on ropes.)

Answer: Bruna src_kangourou_2011_junior_finale__QJ3

numero di C sempre uguale

Hai una griglia $7\times 7$. Vuoi inserire in ogni casella una e una sola delle lettere $A$, $B$, $C$ in modo che:

• in ogni riga il numero delle caselle con la lettera $A$ sia non minore del numero delle caselle con la lettera $B$ e del numero delle caselle con la lettera $C$;
• in ogni colonna il numero delle caselle con la lettera $B$ sia non minore del numero delle caselle con la lettera $A$ e del numero delle caselle con la lettera $C$.

Mostra che puoi raggiungere lo scopo in diversi modi, ma che il numero delle caselle con la lettera $C$ è sempre lo stesso. Qual è? Perché?

Topic: Combinatoria Metodo: monovarianti Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 7 Fonte: apri PDF p.2

number of C always equal

You have a grid. You want to enter in each box one and only one of the letters $A$, $B$, $C$ so that: - in each row the number of boxes with the letter $A$ is not less than the number of boxes with the letter $B$ and the number of boxes with the letter $C$; - in each column the number of boxes with the letter $B$ is not less than the number of boxes with the letter $A$ and the number of boxes with the letter $C$.

It shows that you can achieve your goal in different ways, but that the number of boxes with the letter $C$ is always the same. What is it? Why? Why?

Answer: 7 src_kangourou_2011_junior_finale__QJ4

Quanti valori distinti somma perimetri di 4 triangoli area 1/4

Vi sono diversi modi di ripartire un quadrato di lato $1$ in $4$ triangoli ciascuno di area $\frac{1}{4}$ (per «ripartire» si intende scomporre senza sovrapposizioni se non, eventualmente, di lati). Al variare dei modi, può variare la somma dei perimetri dei triangoli. Quanti sono i possibili diversi valori che questa somma può assumere? Giustifica la risposta nel modo più esauriente possibile.

Topic: Geometria piana, Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Casework accurato, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Risposta: 5 Fonte: apri PDF p.3

How many distinct values sum the perimeter of 4 triangles area 1/4

There are several ways of dividing a square of a side $1$ into $4$ triangles each of an area $\frac{1}{4}$ (to divide is to decompose without overlapping if not, possibly, of sides). The sum of the perimeter of the triangles may vary as the modes vary. How many different possible values can this sum assume? Justify the answer in the most comprehensive way possible.

Answer: 5 src_kangourou_2011_junior_finale__QJ5

Per quali m la formica esce dalla scatola piastrellata

Una formica si trova imprigionata in una scatola il cui pavimento è un quadrato piastrellato con $m^2$ piastrelle quadrate tutte dello stesso lato e in cui le vie d’uscita sono solo nei quattro vertici. La formica si trova nel vertice in basso a sinistra e si può muovere solo lungo le intercapedini delle piastrelle andando a destra di una e in alto di una, poi a destra di due e in alto di due, poi ancora a destra di tre e in alto di tre e così via. Quando incontra una parete, indipendentemente dal fatto che abbia completato un tratto rettilineo oppure no, si ferma, si gira di $180°$ verso l’interno della scatola e riprende a muoversi come descritto (cioè muovendosi di una piastrella verso destra, poi di una in alto, poi di due verso destra e così via).

Esistono valori di $m$ per i quali la formica riuscirà ad uscire dalla scatola? In caso affermativo, quali sono?

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Ricorsione Abilita: generalizzazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: m=1+k(k+1)/2 Fonte: apri PDF p.5

For which m the ant comes out of the tiled box

An ant is trapped in a box whose floor is a square tiled with $m^2$ square tiles all on the same side and where the exit routes are only at the four vertices. The ant is located at the bottom left of the vertex and you can only move along the intercept of the tiles going right of one and up of one, then right of two and up of two, then right again of three and up of three and so on. When it encounters a wall, whether it has completed a straight line or not, it stops, turns $180°$ towards the inside of the box and starts moving again as described (i.e. moving from one tile to the right, then one up, then two to the right, and so on).

Are there values of $m$ for which the ant will be able to get out of the box? If so, what are they?

Answer: m=1+k(k+1)/2 src_kangourou_2011_junior_finale__QJ6