Max numero di cifre distinte divisibile per ognuna delle sue cifre
Un numero intero positivo, scritto in notazione decimale, ha le cifre a due a due diverse fra loro ed è divisibile per ognuna delle sue cifre. Quante cifre può avere al massimo?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Analisi per casi Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 7 Fonte: apri PDF p.1
Max number of distinct digits divisible by each of its digits
A positive integer, written in decimal notation, has the digits two to two different from each other and is divisible by each of its digits. How many digits can he have at most?
Answer: 7 src_kangourou_2011_student_finale__QS1
Chi salta circuito con fossato senza cadere e perche
Ada, Bruna, Carla, Dora ed Enrica saltano ciascuna sul proprio jumper la cui base è praticamente un punto. Ognuna di loro compie salti sempre della stessa lunghezza; le lunghezze sono rispettivamente 70, 80, 85, 90 e 95 cm. Seguono tutte, partendo da uno stesso punto e muovendosi nello stesso verso, uno stesso circuito circolare lungo 400 metri, che è attraversato da un fossato largo 73 cm. Accade che solo una di loro riesce a fare 6 giri completi del circuito senza cadere nel fossato: chi e perché? (Le lunghezze dei salti e la larghezza del fossato si intendono misurate su archi del circuito, non su corde.)
Topic: Teoria dei Numeri, Logica, giochi, strategie Abilita: traduzione del testo Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: Bruna Fonte: apri PDF p.1
Who skips a circuit with a ditch without falling and why
Ada, Bruna, Carla, Dora, and Enrica jump on their own jumper whose base is practically a point. Each of them always jumps the same length; the lengths are 70, 80, 85, 90 and 95 cm respectively. They all follow, starting at the same point and moving in the same direction, a 400-meter-long circular circuit, which is traversed by a 73-cm-wide moat. It happens that only one of them can make six complete laps of the circuit without falling into the ditch: who and why? (The lengths of the jumps and the width of the trench are to be measured on circuit arcs, not on ropes.)
Answer: Bruna src_kangourou_2011_student_finale__QS2
numero di C sempre uguale
Hai una griglia . Vuoi inserire in ogni casella una e una sola delle lettere A, B, C in modo che:
- in ogni riga il numero delle caselle con la lettera A sia non minore del numero delle caselle con la lettera B e del numero delle caselle con la lettera C;
- in ogni colonna il numero delle caselle con la lettera B sia non minore del numero delle caselle con la lettera A e del numero delle caselle con la lettera C.
Mostra che puoi raggiungere lo scopo in diversi modi, ma che il numero delle caselle con la lettera C è sempre lo stesso. Qual è? Perché?
Topic: Combinatoria Metodo: monovarianti Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 7 Fonte: apri PDF p.1
number of C always equal
You have a grid. You want to insert in each box one and only one of the letters A, B, C so that: - in each row the number of boxes with the letter A is not less than the number of boxes with the letter B and the number of boxes with the letter C; - in each column the number of boxes with the letter B is not less than the number of boxes with the letter A and the number of boxes with the letter C.
It shows that you can achieve your goal in different ways, but that the number of boxes with the letter C is always the same. What is it? Why? Why?
Answer: 7 src_kangourou_2011_student_finale__QS3
Quanti valori distinti somma perimetri di 4 triangoli area 1/4
Vi sono diversi modi di ripartire un quadrato di lato 1 in 4 triangoli ciascuno di area (per «ripartire» si intende scomporre senza sovrapposizioni se non, eventualmente, di lati). Al variare dei modi, può variare la somma dei perimetri dei triangoli. Quanti sono i possibili diversi valori che questa somma può assumere? Giustifica la risposta nel modo più esauriente possibile.
Topic: Geometria piana, Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Casework accurato, Ragionamento geometrico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Risposta: 5 Fonte: apri PDF p.1
How many distinct values sum the perimeter of 4 triangles area 1/4
There are several ways to divide a square of side 1 into 4 triangles each of area (to divide is to decompose without overlapping if not, possibly, sides). The sum of the perimeter of the triangles may vary as the modes vary. How many different possible values can this sum assume? Justify the answer in the most comprehensive way possible.
Answer: 5 src_kangourou_2011_student_finale__QS4
Per quali m la formica esce dalla scatola piastrellata
Una formica si trova imprigionata in una scatola il cui pavimento è un quadrato piastrellato con piastrelle quadrate tutte dello stesso lato e in cui le vie d’uscita sono solo nei quattro vertici. La formica si trova nel vertice in basso a sinistra e si può muovere solo lungo le intercapedini delle piastrelle andando a destra di una e in alto di una, poi a destra di due e in alto di due, poi ancora a destra di tre e in alto di tre e così via. Quando incontra una parete, indipendentemente dal fatto che abbia completato un tratto rettilineo oppure no, si ferma, si gira di 180 gradi verso l’interno della scatola e riprende a muoversi come descritto (cioè muovendosi di una piastrella verso destra, poi di una in alto, poi di due verso destra e così via). Esistono valori di per i quali la formica riuscirà ad uscire dalla scatola? In caso affermativo, quali sono?
Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Ricorsione Abilita: generalizzazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: m=1+k(k+1)/2 Fonte: apri PDF p.5
For which m the ant comes out of the tiled box
An ant is trapped in a box whose floor is a square tiled with square tiles all on the same side and where the exit routes are only at the four vertices. The ant is located at the top of the bottom left and it can only move along the interceptacles of the tiles going right of one and up of one, then right of two and up of two, then right again of three and up of three and so on. When it encounters a wall, regardless of whether it has completed a straight line or not, it stops, turns 180 degrees into the inside of the box and starts moving again as described (i.e. moving from one tile to the right, then one to the top, then two to the right, and so on). Are there values of for which the ant will be able to get out of the box? If so, what are they?
Answer: m=1+k(k+1)/2 src_kangourou_2011_student_finale__QS5
Minimo elementi del sottoinsieme A con rapporti non oltre 2
Andrea costruisce un insieme di 24 elementi scelti fra i numeri interi naturali tale che, ogni volta che in ci sono due numeri e , ci siano anche tutti i numeri naturali compresi tra e . Nella costruzione di alcuni numeri possono essere ripetuti. Bruno sceglie un sottoinsieme di con la proprietà che, comunque si scelgano due elementi di , il loro rapporto non superi 2. Andrea vuole costruire in modo da minimizzare il numero di elementi dell’insieme che Bruno può scegliere. Qual è questo numero? Giustifica adeguatamente la risposta.
Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Principio dei cassetti Abilita: generalizzazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 8 Fonte: apri PDF p.6
Minimum elements of subset A with ratios not exceeding 2
Andrea constructs a set of 24 elements selected from the natural integers such that, whenever there are two numbers in, there are also all natural numbers betweenand. In the construction of some numbers can be repeated. Bruno chooses a subset of with the property that, however two elements of are chosen, their ratio does not exceed 2. Andrea wants to build so as to minimize the number of elements of the set that Bruno can choose. What’s this number? Appropriately justify the answer.
Answer: 8 src_kangourou_2011_student_finale__QS6