Cifra finale del prodotto dei dispari tra 1 e 2012
Se si moltiplicano fra di loro tutti i numeri interi dispari compresi fra e , con quale cifra termina il prodotto?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 5 Fonte: apri PDF p.2
Final product figure of the odd between 1 and 2012
If all odd integers between and are multiplied by each other, what number does the product end with?
Answer: 5 src_kangourou_2012_junior_finale__QJ1
Quante sfere per tre punti non allineati e raggio minimo
Assegnati tre punti non allineati nello spazio, quante sfere passano per questi tre punti? Nel caso ne possa passare più di una, come si può determinare il raggio di quella che ha raggio minore?
Topic: Geometria solida Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: infinite Fonte: apri PDF p.2
How many spheres for three non-aligned points and minimum radius
Assigned three non-aligned points in space, how many spheres pass through these three points? If more than one can pass, how can the radius of the smaller be determined?
Answer: infinite src_kangourou_2012_junior_finale__QJ2
Si puo ottenere somma 2012 sulle facce esposte dei dadi
Pietro vuole mettere in fila un certo numero di dadi tradizionali (la somma dei punti su facce opposte è sempre ), come ti mostra la figura. Incolla due facce insieme solo se il numero di punti sulle due facce è uguale, e vuole ottenere una fila in modo che la somma dei punti su tutte le facce esposte sia . Può riuscirci e, in caso affermativo, quanti dadi deve usare? (vedi figura)
Topic: Teoria dei Numeri, Geometria solida Metodo: monovarianti Abilita: traduzione del testo Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Geometria Risposta: no Fonte: apri PDF p.3
You can get sum 2012 on the exposed faces of the dice
Peter wants to line up a number of traditional dice (the sum of the dots on opposite faces is always ), as shown in the figure. It joins two faces together only if the number of points on both faces is equal, and it wants to get a row so that the sum of points on all the faces exposed is . Can he do it, and if so, how many dice does he have to use? (see figure)
Answer: no src_kangourou_2012_junior_finale__QJ3
In quanti modi colorare 20 tessere con la regola di somma
Venti tessere sono numerate con gli interi da a . Vogliamo colorare ogni tessera di un solo colore, bianco o nero, in modo che sia rispettata la seguente regola: se due (diverse) tessere di numeri e hanno lo stesso colore e , allora anche la tessera di numero deve avere quel colore. In quanti modi diversi possiamo attribuire i colori?
Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Analisi per casi Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 6 Fonte: apri PDF p.3
How many ways to color 20 sheets with the sum rule
Twenty cards are numbered with integers from to . We want to colour each card of a single color, white or black, so that the following rule is observed: if two (different) cards of numbers and have the same color and , then the number card must also have that color. How many different ways can we assign colors?
Answer: 6 src_kangourou_2012_junior_finale__QJ4
Ogni poliedro ha due facce con stesso numero di spigoli
Dimostra che ogni poliedro (solido la cui superficie è costituita da un numero finito di poligoni) ha almeno due facce che hanno lo stesso numero di spigoli. Esistono poliedri che non hanno tre facce con lo stesso numero di spigoli?
Topic: Geometria solida, Combinatoria Metodo: Principio dei cassetti Abilita: generalizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Risposta: si Fonte: apri PDF p.4
Each polyhedron has two faces with the same number of beads
It shows that each polyhedron (a solid whose surface consists of a finite number of polygons) has at least two faces having the same number of vertices. Are there any polyhedra that don’t have three faces with the same number of beads?
Answer: si src_kangourou_2012_junior_finale__QJ5
Sottoinsieme con somma multiplo di n tra n interi
Dimostrare che, comunque siano assegnati () numeri interi positivi, è sempre possibile sceglierne alcuni in modo che la loro somma sia un multiplo di .
Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Principio dei cassetti Abilita: generalizzazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: dimostrazione Fonte: apri PDF p.4
*Sub-totals with multiple sums of n between n integers *
Demonstrate that, however positive integers () are assigned, some of them can always be chosen so that their sum is a multiple of .
Answer: dimostrazione src_kangourou_2012_junior_finale__QJ6