Quanti addendi nella somma 1-3+5-7+… = 2013
La somma di quest’anno
La somma 1 – 3 + 5 – 7 + 9 – … vale 2013. Quanti sono gli addendi?
Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 2013 Fonte: apri PDF p.1
How many additions to the sum of 1 to 3 plus 5 to 7 plus… = 2013*
The sum of this year The sum of 1 3 + 5 7 + 9 … is 2013. How many addons are there?
Answer: 2013 src_kangourou_2013_squadre_f__Q01
Numero in cima al triangolo di somme (riga base 1-10)
Il triangolo numerato
Una tabella di numeri ha l’aspetto di un triangolo: in figura ne vedete una parte. L’ultima riga è formata dagli interi da 1 a 10 inclusi; ogni numero che compare in ogni riga, fino alla penultima, è la somma dei due numeri che, nella riga successiva, stanno uno immediatamente alla sua sinistra e l’altro immediatamente alla sua destra. Qual è l’unico numero che compone la prima riga?
Topic: successioni, Teoria dei Numeri Metodo: Ricorsione Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 2816 Fonte: apri PDF p.1
*Number at the top of the sum triangle (base row 1-10) *
The numbered triangle A table of numbers looks like a triangle: in the figure you see a part of it. The last row is made up of integers from 1 to 10 inclusive; each number that appears in each row, up to the last row, is the sum of the two numbers that, in the next row, are one immediately to its left and the other immediately to its right. What is the only number that makes up the first line?
Answer: 2816 src_kangourou_2013_squadre_f__Q02
Angolo ABC con quadrilatero ABCO rombo inscritto
Il rombo
Un triangolo ABC è inscritto in una circonferenza di centro O in modo tale che il quadrilatero ABCO (i suoi vertici sono qui elencati in senso antiorario) sia un rombo. Quanti gradi misura l’angolo ABC?
Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 120 Fonte: apri PDF p.1
*Angle ABC with square ABCO row inscribed *
A triangle ABC is inscribed in a centre circumference O such that the quadrilateral ABCO (its vertices are listed here in the anti-clockwise direction) is a triangle. How many degrees does the angle ABC measure?
Answer: 120 src_kangourou_2013_squadre_f__Q03
senza quadrati ne cubi
Senza quadrati e senza cubi
La sequenza 2, 3, 5, 6, 7, 10, … contiene tutti i numeri interi positivi che non sono né quadrati né cubi perfetti. Quale numero occupa il 2013-mo posto di questa sequenza?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Inclusione-esclusione Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 2067 Fonte: apri PDF p.1
without squares in cubes
Sequence 2, 3, 5, 6, 7, 10, … contains all positive integers that are neither perfect squares nor perfect cubes. What number is 2013th in this sequence?
Answer: 2067 src_kangourou_2013_squadre_f__Q04
Area triangolo PQT in rettangolo con punti medi
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=1.2]
\coordinate (K) at (0,0);
\coordinate (L) at (4,0);
\coordinate (M) at (4,2.5);
\coordinate (N) at (0,2.5);
\coordinate (P) at (0,1.25);
\coordinate (Q) at (2,2.5);
\coordinate (R) at (4,1.25);
\coordinate (S) at (2,0);
\coordinate (T) at (3,0.625);
\draw (K) -- (L) -- (M) -- (N) -- cycle;
\fill[gray!50] (P) -- (Q) -- (T) -- cycle;
\draw[blue] (P) -- (Q) -- (T) -- cycle;
\draw[blue] (R) -- (S);
\node[below left] at (K) {K};
\node[below right] at (L) {L};
\node[above right] at (M) {M};
\node[above left] at (N) {N};
\node[left] at (P) {P};
\node[above] at (Q) {Q};
\node[right] at (R) {R};
\node[below] at (S) {S};
\node[right] at (T) {T};
\foreach \pt in {P,Q,R,S,T} {
\fill[white] (\pt) circle(2pt);
\draw (\pt) circle(2pt);
}
\end{tikzpicture}
\end{document}Un rettangolo e un triangolo
Osservate la figura. KLM è un rettangolo, ciascuno dei punti P, Q, R e S è il punto medio del lato del rettangolo su cui giace e T è il punto medio di RS. Se l’area del rettangolo KLM è 70 decimetri quadrati, quanti centimetri quadrati è l’area del triangolo PQT?
Topic: Geometria piana Metodo: Metodo delle coordinate Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 1750 Fonte: apri PDF p.1
PQT triangle area in a rectangle with midpoints
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=1.2]
\coordinate (K) at (0,0);
\coordinate (L) at (4,0);
\coordinate (M) at (4,2.5);
\coordinate (N) at (0,2.5);
\coordinate (P) at (0,1.25);
\coordinate (Q) at (2,2.5);
\coordinate (R) at (4,1.25);
\coordinate (S) at (2,0);
\coordinate (T) at (3,0.625);
\draw (K) -- (L) -- (M) -- (N) -- cycle;
\fill[gray!50] (P) -- (Q) -- (T) -- cycle;
\draw[blue] (P) -- (Q) -- (T) -- cycle;
\draw[blue] (R) -- (S);
\node[below left] at (K) {K};
\node[below right] at (L) {L};
\node[above right] at (M) {M};
\node[above left] at (N) {N};
\node[left] at (P) {P};
\node[above] at (Q) {Q};
\node[right] at (R) {R};
\node[below] at (S) {S};
\node[right] at (T) {T};
\foreach \pt in {P,Q,R,S,T} {
\fill[white] (\pt) circle(2pt);
\draw (\pt) circle(2pt);
}
\end{tikzpicture}
\end{document}A rectangle and a triangle. Watch the figure. KLM is a rectangle, each of the points P, Q, R and S is the middle point of the side of the rectangle on which it lies and T is the middle point of RS. If the area of the KLM rectangle is 70 square centimetres, how many square centimetres is the area of the PQT triangle?
Answer: 1750 src_kangourou_2013_squadre_f__Q05
Numero ABCD con 4ABCD = DCBA*
Letto al contrario Qual è il numero di quattro cifre significative ABCD (dunque con la cifra A delle migliaia diversa da 0) tale che 4 × ABCD = DCBA?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 2178 Fonte: apri PDF p.1
ABCD number with 4ABCD = DCBA*
Read on the contrary What is the number of four significant digits ABCD (therefore with the number A of thousands other than 0) such that 4 × ABCD = DCBA?
Answer: 2178 src_kangourou_2013_squadre_f__Q06
Numeri abc con a divisibile per b e b per c
Cifra divide cifra
Quanti sono i numeri (positivi) di tre cifre (significative) abc tali che a sia divisibile per b e b sia divisibile per c?
Topic: Teoria dei Numeri, Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 44 Fonte: apri PDF p.1
Numbers abc with a divisible by b and b by c
Figure divides figure How many are the (positive) numbers of three digits (significant) abc such that a is divisible by b and b is divisible by c?
Answer: 44 src_kangourou_2013_squadre_f__Q07
Quanti minuti ha camminato Emma (ora solare)
Ora solare
C’è una sola strada che porta dalla casa di Luigi a quella di Emma. Ogni mattina Luigi parte in auto dalla propria casa e arriva alle 9.00 a casa di Emma: lei si fa trovare pronta e lui la porta in auto a casa propria. La mattina del 28 ottobre scorso Emma si è dimenticata che nella notte era avvenuto il passaggio dall’ora legale a quella solare: si è così presentata alle 8.00 alla porta di casa e, non vedendo arrivare Luigi, si è incamminata lungo la strada andando incontro all’auto di Luigi. Dopo un certo tempo ha incontrato l’auto che la stava andando a prendere: immediatamente Luigi si è fermato e ha invertito la marcia, Emma è salita e i due sono arrivati a casa di Luigi con 12 minuti di anticipo rispetto al solito. Luigi guida a velocità costante e non è stato perso tempo nell’operazione di invertire la marcia e di prendere a bordo Emma. Quanti minuti ha camminato Emma?
Topic: Logica, giochi, strategie, Algebra Metodo: Ragionamento all’indietro Abilita: traduzione del testo Area: Algebra e Analisi, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 54 Fonte: apri PDF p.2
How many minutes has Emma walked (solar time)
There’s only one road from Louis’ house to Emma’s. Every morning Luigi leaves his home by car and arrives at Emma’s house at 9:00 a.m. On the morning of 28 October, Emma forgot that during the night the transition from legal time to solar time had taken place: she presented herself at 8.00 at the door of the house and, not seeing Luigi coming, she walked along the road going to meet Luigi’s car. After a while she met the car that was going to pick her up: immediately Luigi stopped and reversed the march, Emma got on and the two arrived at Luigi’s house 12 minutes early than usual. Louis drives at constant speed and no time was lost in the operation of reversing the march and taking Emma aboard. How many minutes did Emma walk?
Answer: 54 src_kangourou_2013_squadre_f__Q08
Angolo ACB da due triangoli isosceli sul lato AB
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=1.5]
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (4,0);
\coordinate (C) at (2.2,3.2);
\coordinate (M) at (0.33,0);
\coordinate (N) at (3.88,0);
\draw (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
\draw (C) -- (M);
\draw (C) -- (N);
\draw (2.2,3.2) ++(220:0.3) arc[start angle=220, end angle=290, radius=0.3];
\node[below left] at (A) {A};
\node[below right] at (B) {B};
\node[above] at (C) {C};
\node[below] at (M) {M};
\node[below] at (N) {N};
\node at (2.6,2.6) {$41^\circ$};
\end{tikzpicture}
\end{document}L’angolo
Nel triangolo ABC in figura i punti M e sul lato AB sono determinati in modo che il segmento A sia lungo quanto il segmento AC e il segmento BM sia lungo quanto il segmento BC. L’angolo MC misura 41 gradi. Quanti gradi misura l’angolo ACB?
Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 98 Fonte: apri PDF p.2
ACB angle from two isosceles triangles on the AB side
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=1.5]
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (4,0);
\coordinate (C) at (2.2,3.2);
\coordinate (M) at (0.33,0);
\coordinate (N) at (3.88,0);
\draw (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
\draw (C) -- (M);
\draw (C) -- (N);
\draw (2.2,3.2) ++(220:0.3) arc[start angle=220, end angle=290, radius=0.3];
\node[below left] at (A) {A};
\node[below right] at (B) {B};
\node[above] at (C) {C};
\node[below] at (M) {M};
\node[below] at (N) {N};
\node at (2.6,2.6) {$41^\circ$};
\end{tikzpicture}
\end{document}The angle In the triangle ABC shown in the figure, the points M and on the side AB are determined so that the segment A is as long as the segment AC and the segment BM is as long as the segment BC. The MC angle is 41 degrees. How many degrees does the ACB angle measure?
Answer: 98 src_kangourou_2013_squadre_f__Q09
Coefficiente C di x^2 nel prodotto (1-x)…(1-10x)
Il coefficiente
Svolgendo il prodotto (1 – x)(1 – 2x)(1 – 3x) … (1 – 10x) e raccogliendo i termini simili si ottiene un’espressione del tipo A + Bx + Cx2 + Dx3 +… + Mx10. Quanto vale C?
Topic: Algebra, Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 1320 Fonte: apri PDF p.2
*Coefficient C of x2 in the product (1-x)…(1-10x) *
The coefficient by rotating the product (1 x) 1 2x) 1 3x) … (1 10x) and collecting similar terms you get an expression of the type A + Bx + Cx2 + Dx3 +… + Mx10. How much is C?
Answer: 1320 src_kangourou_2013_squadre_f__Q10
Cubetti neri visibili sul parallelepipedo 2013
Cubetti bianchi e cubetti neri
Abbiamo tanti cubetti bianchi e neri, tutti della stessa dimensione, e vogliamo comporre un parallelepipedo formato da 2013 cubetti in modo che, in ognuna delle tre direzioni ciascuna parallela ad uno spigolo, vi sia più di un cubetto e si alternino cubetti bianchi e cubetti neri. Se partiamo sistemando un cubetto nero in uno degli otto vertici del parallelepipedo, quanti dei cubetti neri saranno visibili sulla superficie esterna del parallelepipedo?
Topic: Geometria solida, Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Risposta: 742 Fonte: apri PDF p.2
Black cubes visible on the parallel piped 2013
White cubes and black cubes We have a lot of white and black cubes, all of the same size, and we want to make a parallel piped formed from 2013 cubes so that, in each of the three directions, each parallel to a spike, there’s more than one cubes and alternate white cubes and black cubes. If we start by placing a black cube on one of the eight vertices of the parallelepiped, how many of the black cubes will be visible on the outer surface of the parallelepiped?
Answer: 742 src_kangourou_2013_squadre_f__Q11
Intero piu vicino a 1000(x-y) tra due somme
Approssimazione
Sapete che x = 12/1 + 22/3 + 32/5 + … + 102/19 e y = 12/3 + 22/5 + 32/7 + … + 102/21. Qual è il numero intero più vicino a 1000(x – y) ?
Topic: Algebra Metodo: Somme telescopiche Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi Risposta: 5238 Fonte: apri PDF p.2
*Inter closer to 1000(x-y) between two sums *
You know that x is equal to 12/1 + 22/3 + 32/5 + … + 102/19 and y is equal to 12/3 + 22/5 + 32/7 + … + 102/21. What’s the nearest integer to 1000(x y) ?
Answer: 5238 src_kangourou_2013_squadre_f__Q12
Numero di divisori di 2013 al quadrato
Quest’anno al quadrato
Quanti divisori distinti, inclusi 1 e se stesso, ha il numero 20132 ?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 27 Fonte: apri PDF p.2
Number of dividers by square in 2013
This year on the square How many distinct divisors, including 1 and itself, has the number 20132 ?
Answer: 27 src_kangourou_2013_squadre_f__Q13
Numeri con due zeri finali prodotto di 7 consecutivi <26
Due zeri alla fine Quanti sono i numeri tali che:
la loro scrittura termina esattamente con due zeri (cioè sono zero le ultime due cifre, ma non la terz’ultima);
sono esprimibili come prodotto di sette interi positivi consecutivi tutti minori di 26?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 6 Fonte: apri PDF p.2
Numbers with two final zeros produced by 7 consecutive <26
Two zeros at the end How many are such numbers that: - their writing ends exactly with two zeros (i.e. the last two digits are zero, but not the thirdlast); - are they expressible as the product of seven consecutive positive integers all less than 26?
Answer: 6 src_kangourou_2013_squadre_f__Q14
Misura angolo AVC della piramide pentagonale
La piramide pentagonale La base di una piramide di vertice V è un pentagono regolare ABCDE e le sue cinque facce sono triangoli equilateri. Qual è la misura in gradi dell’angolo AVC? Quesiti e soluzioni
Topic: Geometria solida Metodo: Tecniche trigonometriche Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 108 Fonte: apri PDF p.2
Measuring the AVC angle of the pentagonal pyramid
The pentagonal pyramid The base of a V-vertical pyramid is a regular ABCDE pentagon and its five faces are equilateral triangles. What is the measure in degrees of the angle of AVC?
Questions and solutions
Answer: 108 src_kangourou_2013_squadre_f__Q15