Kangourou 2014 finale nazionale Student

misura angolo NMB

\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=2]
  \draw (0,0) circle (1);
  \coordinate (A) at (0.342, 0.940);
  \coordinate (B) at (0.985, -0.174);
  \coordinate (C) at (-0.906, -0.423);
  \coordinate (D) at (-0.848, 0.530);
  \coordinate (M) at (0.664, 0.383);
  \coordinate (N) at (0.040, -0.299);
  \coordinate (K) at (-0.877, 0.054);
  \draw (A)--(B);
  \draw (B)--(C);
  \draw (C)--(D);
  \draw (C)--(M);
  \draw (K)--(B);
  \draw[thin] (K)++(30:0.09) arc (30:100:0.09);
  \draw[thin] (M)++(-155:0.09) arc (-155:-80:0.09);
  \node[above] at (0.342, 0.940) {A};
  \node[right] at (0.985, -0.174) {B};
  \node[left] at (-0.906, -0.423) {C};
  \node[above left] at (-0.848, 0.530) {D};
  \node[above left] at (-0.877, 0.054) {K};
  \node[right] at (0.664, 0.383) {M};
  \node[below] at (0.040, -0.299) {N};
\end{tikzpicture}
\end{document}

In figura si vede una circonferenza della quale i segmenti $A B$ , $B C$ e $C D$ sono tre corde. I punti $M$ , $N$ e $K$ sono i loro rispettivi punti medi. L’angolo $C K N$ misura $75°$ . Quanti gradi misura l’angolo $N M B$ ? (vedi figura)

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 75 Fonte: apri PDF p.1

angle measurement NMB

\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=2]
  \draw (0,0) circle (1);
  \coordinate (A) at (0.342, 0.940);
  \coordinate (B) at (0.985, -0.174);
  \coordinate (C) at (-0.906, -0.423);
  \coordinate (D) at (-0.848, 0.530);
  \coordinate (M) at (0.664, 0.383);
  \coordinate (N) at (0.040, -0.299);
  \coordinate (K) at (-0.877, 0.054);
  \draw (A)--(B);
  \draw (B)--(C);
  \draw (C)--(D);
  \draw (C)--(M);
  \draw (K)--(B);
  \draw[thin] (K)++(30:0.09) arc (30:100:0.09);
  \draw[thin] (M)++(-155:0.09) arc (-155:-80:0.09);
  \node[above] at (0.342, 0.940) {A};
  \node[right] at (0.985, -0.174) {B};
  \node[left] at (-0.906, -0.423) {C};
  \node[above left] at (-0.848, 0.530) {D};
  \node[above left] at (-0.877, 0.054) {K};
  \node[right] at (0.664, 0.383) {M};
  \node[below] at (0.040, -0.299) {N};
\end{tikzpicture}
\end{document}

The figure shows a circumference of which the segments $A B$ , $B C$ and $C D$ are three strings. The $M$ , $N$ and $K$ points are their respective mean points. The angle $C K N$ is $75°$ . How many degrees does the angle $N M B$ measure? (see figure)

Answer: 75 src_kangourou_2014_finale_student__QS1

Luogo dei punti entro distanza 3 con metrica modificata

Nel piano dotato di un sistema $O x y$ di assi cartesiani ortogonali la distanza di due punti viene usualmente definita utilizzando le coordinate dei punti nel rispetto del teorema di Pitagora. Cambiamo la distanza, supponendo di poterci muovere solo in verticale o in orizzontale, ma in orizzontale solo se siamo sull’asse delle ascisse. In formule, la distanza del punto $(x_{1}, y_{1})$ dal punto $(x_{2}, y_{2})$ vale $∣ y_{1} - y_{2} ∣$ se $x_{1} = x_{2}$ , vale invece $∣ y_{1} ∣ + ∣ x_{1} - x_{2} ∣ + ∣ y_{2} ∣$ se $x_{1} \neq = x_{2}$ . Rispetto a questa nuova distanza, qual è il luogo dei punti che distano non più di $3$ dal punto $(2, 1)$ ?

Topic: Geometria analitica Metodo: Metodo delle coordinate Abilita: Casework accurato Area: Geometria Risposta: quadrato+segmento Fonte: apri PDF p.1

Location of points within distance 3 with modified metric

In a plane with a $O x y$ system of orthogonal Cartesian axes the distance of two points is usually defined using the coordinates of the points in accordance with Pythagorean theorem. We change the distance, assuming we can only move vertically or horizontally, but only horizontally if we’re on the axis of the axis. In the formula, the distance from the point $(x_{1}, y_{1})$ to the point $(x_{2}, y_{2})$ shall be $∣ y_{1} - y_{2} ∣$ if $x_{1} = x_{2}$ and $∣ y_{1} ∣ + ∣ x_{1} - x_{2} ∣ + ∣ y_{2} ∣$ if $x_{1} \neq = x_{2}$ . Compared to this new distance, what is the location of the points not more than $3$ from the point $(2, 1)$ ?

Answer: quadrato+segmento src_kangourou_2014_finale_student__QS2

strategia vincente

Considera il seguente gioco per due giocatori che giocano a turno, sorteggiando chi deve giocare per primo. Si parte con due pile di monete. Chi è chiamato a giocare ne scarta una e spezza la rimanente in due nuove pile (di almeno una moneta ciascuna). Perde chi non può più giocare. Discuti l’esistenza di strategie vincenti.

Topic: Logica, giochi, strategie Metodo: monovarianti Abilita: generalizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: strategia parita Fonte: apri PDF p.1

This is the main reason why the Commission has decided to adopt a new strategy.

Consider the following game for two players playing in turns, drawing the first player. He leaves with two piles of coins. The player who is called to play discards one and breaks the remainder into two new piles (of at least one coin each). He loses who can’t play anymore. Discuss the existence of winning strategies.

Answer: strategia parita src_kangourou_2014_finale_student__QS3

per quanti n|m

Un numero naturale $n$ è scomposto in $2014$ fattori primi (non necessariamente tutti distinti fra loro). Ad ogni fattore primo viene sommato $1$ e i nuovi $2014$ numeri ottenuti vengono moltiplicati fra loro, dando come risultato un numero $m$ . È possibile che, per qualche numero naturale $n$ , $n$ divida il numero $m$ così ottenuto? In caso di risposta negativa, fornisci adeguata giustificazione. In caso di risposta affermativa, precisa per quanti numeri naturali $n$ accade che $n$ divide $m$ .

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 336 Fonte: apri PDF p.1

for n quantities of m*

A natural number $n$ is broken down into $2014$ prime factors (not necessarily all distinct from each other). Each prime factor is added to $1$ and the new $2014$ numbers obtained are multiplied by each other, resulting in a $m$ number. Is it possible that for some natural number $n$ , $n$ divides the number $m$ thus obtained? If the answer is no, provide an appropriate justification. If yes, specify for how many natural numbers $n$ $n$ divides $m$ .

Answer: 336 src_kangourou_2014_finale_student__QS4

Minimo n caselle nere su griglia 8x8 con adiacenza

$n$ quadrati di una griglia $8 \times 8$ sono dipinti di nero, gli altri sono bianchi. Ogni quadrato della griglia, bianco o nero che sia, è adiacente a (cioè ha un lato in comune con) un quadrato nero (diverso da esso nel caso sia nero). Qual è il minimo valore possibile per $n$ ?

Topic: Combinatoria Metodo: Principio di estremalita Abilita: Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 20 Fonte: apri PDF p.1

Minimum n black boxes on 8x8 grid with adjacency

$n$ squares of one grid $8 \times 8$ are painted black, the others are white. Each square of the grid, whether white or black, is adjacent to (i.e. has a side in common with) a black square (different from it in the case of black). What is the minimum possible value for $n$ ?

Answer: 20 src_kangourou_2014_finale_student__QS5

Disporre successione con infiniti 1 e non-1 in matrice infinita

Si consideri una successione ${a_{n}}$ , $n = 1, 2, \dots$ di numeri interi tale che si abbia $a_{n} = 1$ per infiniti indici $n$ e $a_{n} \neq = 1$ per infiniti indici $n$ . Stabilire se è sempre possibile disporre (tutti e soli) i termini della successione ${a_{n}}$ in una “matrice infinita” $[a_{i, j}]$ , $i = 1, 2, 3, \dots$ , $j = 1, 2, 3, \dots$ in modo che:

per ogni $i$ si abbia $a_{i, j} = 1$ se e solo se $j \geq i$ ;

per ogni $i$ , $j$ e $k$ con $j < k$ , anche nella successione originaria la posizione occupata dal termine $a_{i, j}$ preceda quella occupata dal termine $a_{i, k}$ (come accade ora nella riga $i$ -esima della matrice).

Topic: successioni, Combinatoria Metodo: corrispondenza Abilita: generalizzazione Area: Algebra e Analisi, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: si possibile Fonte: apri PDF p.1

To have succession with infinites 1 and non-1 in an infinite matrix

Consider a sequence of ${a_{n}}$ , $n = 1, 2, \dots$ integers such that $a_{n} = 1$ for infinite indexes $n$ and $a_{n} \neq = 1$ for infinite indexes $n$ are obtained. Establish whether it is always possible to arrange (all and only) the terms of the ${a_{n}}$ succession into an “infinite matrix” $[a_{i, j}]$ , $i = 1, 2, 3, \dots$ , $j = 1, 2, 3, \dots$ so that: - for each $i$ $a_{i, j} = 1$ is obtained if and only if $j \geq i$ ; - for each $i$ , $j$ and $k$ with $j < k$ , even in the original succession the position occupied by the term $a_{i, j}$ precedes that occupied by the term $a_{i, k}$ (as is now the case in the $i$ row of the matrix).

Answer: si possibile src_kangourou_2014_finale_student__QS6

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