Kangourou 2014 finale Junior

Minimo visite per svuotare i 15 piattini

In una casetta nel bosco ci sono 15 piattini in fila: sul primo c’è 1 noce, sul secondo ci sono 2 noci, sul terzo 3 e così via fino al quindicesimo piattino su cui ci sono 15 noci. Ogni tanto uno scoiattolo entra nella casetta, sceglie alcuni piattini e mangia delle noci prendendone lo stesso numero da ognuno dei piattini scelti. Qual è il più piccolo numero di visite alla casetta che gli consente di mangiare tutte le noci?

Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Principio di estremalita Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 4 Fonte: apri PDF p.1

Minimum visits to empty 15 plates

In a cabin in the woods, there are 15 plates in a row: the first one has 1 nut, the second one has 2 nuts, the third one has 3 nuts, and so on until the 15th plate has 15 nuts. Every now and then a squirrel comes into the cage, picks up a few plates and eats nuts, taking the same number from each of the plates chosen. What’s the smallest number of visits to the cottage that allows him to eat all the nuts?

Answer: 4 src_kangourou_2014_junior_finale__Q01

Angolo NMB con punti medi di tre corde

\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=2]
  \draw (0,0) circle (1);
  \coordinate (A) at ({cos(50)},{sin(50)});
  \coordinate (B) at ({cos(-40)},{sin(-40)});
  \coordinate (C) at ({cos(200)},{sin(200)});
  \coordinate (D) at ({cos(140)},{sin(140)});
  \coordinate (M) at ({(cos(50)+cos(-40))/2},{(sin(50)+sin(-40))/2});
  \coordinate (N) at ({(cos(-40)+cos(200))/2},{(sin(-40)+sin(200))/2});
  \coordinate (K) at ({(cos(200)+cos(140))/2},{(sin(200)+sin(140))/2});
  \draw (A) -- (B);
  \draw (B) -- (C);
  \draw (C) -- (D);
  \draw (C) -- (N) -- (B);
  \draw (K) -- (N);
  \draw (M) -- (N);
  \node[above right] at (A) {$A$};
  \node[below right] at (B) {$B$};
  \node[left] at (C) {$C$};
  \node[above left] at (D) {$D$};
  \node[right] at (M) {$M$};
  \node[below] at (N) {$N$};
  \node[left] at (K) {$K$};
  \filldraw (A) circle (0.02);
  \filldraw (B) circle (0.02);
  \filldraw (C) circle (0.02);
  \filldraw (D) circle (0.02);
  \filldraw (M) circle (0.02);
  \filldraw (N) circle (0.02);
  \filldraw (K) circle (0.02);
\end{tikzpicture}
\end{document}

In figura si vede una circonferenza della quale i segmenti $A B$ , $B C$ e $C D$ sono tre corde. I punti $M$ , $N$ e $K$ sono i loro rispettivi punti medi. L’angolo $C K N$ misura 75 gradi. Quanti gradi misura l’angolo $N M B$ ? (vedi figura)

Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 75 Fonte: apri PDF p.1

NMB angle with three-string mean points

\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=2]
  \draw (0,0) circle (1);
  \coordinate (A) at ({cos(50)},{sin(50)});
  \coordinate (B) at ({cos(-40)},{sin(-40)});
  \coordinate (C) at ({cos(200)},{sin(200)});
  \coordinate (D) at ({cos(140)},{sin(140)});
  \coordinate (M) at ({(cos(50)+cos(-40))/2},{(sin(50)+sin(-40))/2});
  \coordinate (N) at ({(cos(-40)+cos(200))/2},{(sin(-40)+sin(200))/2});
  \coordinate (K) at ({(cos(200)+cos(140))/2},{(sin(200)+sin(140))/2});
  \draw (A) -- (B);
  \draw (B) -- (C);
  \draw (C) -- (D);
  \draw (C) -- (N) -- (B);
  \draw (K) -- (N);
  \draw (M) -- (N);
  \node[above right] at (A) {$A$};
  \node[below right] at (B) {$B$};
  \node[left] at (C) {$C$};
  \node[above left] at (D) {$D$};
  \node[right] at (M) {$M$};
  \node[below] at (N) {$N$};
  \node[left] at (K) {$K$};
  \filldraw (A) circle (0.02);
  \filldraw (B) circle (0.02);
  \filldraw (C) circle (0.02);
  \filldraw (D) circle (0.02);
  \filldraw (M) circle (0.02);
  \filldraw (N) circle (0.02);
  \filldraw (K) circle (0.02);
\end{tikzpicture}
\end{document}

The figure shows a circumference of which the segments $A B$ , $B C$ and $C D$ are three strings. The $M$ , $N$ and $K$ points are their respective mean points. The angle $C K N$ is 75 degrees. How many degrees does the angle $N M B$ measure? (see figure)

Answer: 75 src_kangourou_2014_junior_finale__Q02

Luogo dei punti entro distanza 3 (metrica modificata)

Nel piano dotato di un sistema $O x y$ di assi cartesiani ortogonali la distanza di due punti viene usualmente definita utilizzando le coordinate dei punti nel rispetto del teorema di Pitagora. Cambiamo la distanza, supponendo di poterci muovere solo in verticale o in orizzontale, ma in orizzontale solo se siamo sull’asse delle ascisse. In formule, la distanza del punto $(x_{1}, y_{1})$ dal punto $(x_{2}, y_{2})$ vale $∣ y_{1} - y_{2} ∣$ se $x_{1} = x_{2}$ , vale invece $∣ y_{1} ∣ + ∣ x_{1} - x_{2} ∣ + ∣ y_{2} ∣$ se $x_{1} \neq = x_{2}$ . Rispetto a questa nuova distanza, qual è il luogo dei punti che distano non più di 3 dal punto $(2, 1)$ ?

Topic: Geometria analitica Metodo: Metodo delle coordinate Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Fonte: apri PDF p.1

*Location of points within distance 3 (modified metric) *

In a plane with a $O x y$ system of orthogonal Cartesian axes the distance of two points is usually defined using the coordinates of the points in accordance with Pythagorean theorem. We change the distance, assuming we can only move vertically or horizontally, but only horizontally if we’re on the axis of the axis. In the formula, the distance from the point $(x_{1}, y_{1})$ to the point $(x_{2}, y_{2})$ shall be $∣ y_{1} - y_{2} ∣$ if $x_{1} = x_{2}$ and $∣ y_{1} ∣ + ∣ x_{1} - x_{2} ∣ + ∣ y_{2} ∣$ if $x_{1} \neq = x_{2}$ . Compared to this new distance, what is the location of the points not more than 3 from the $(2, 1)$ point?

src_kangourou_2014_junior_finale__Q03

Strategie vincenti nel gioco delle due pile

Considera il seguente gioco per due giocatori che giocano a turno, sorteggiando chi deve giocare per primo. Si parte con due pile di monete. Chi è chiamato a giocare ne scarta una e spezza la rimanente in due nuove pile (di almeno una moneta ciascuna). Perde chi non può più giocare. Discuti l’esistenza di strategie vincenti.

Topic: Logica, giochi, strategie Metodo: monovarianti Abilita: generalizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Fonte: apri PDF p.1

Winning strategies in the game of two batteries

Consider the following game for two players playing in turns, drawing the first player. He leaves with two piles of coins. The player who is called to play discards one and breaks the remainder into two new piles (of at least one coin each). He loses who can’t play anymore. Discuss the existence of winning strategies.

src_kangourou_2014_junior_finale__Q04

Per quanti n il prodotto (p+1) è divisibile per n

Un numero naturale $n$ è scomposto in 2014 fattori primi (non necessariamente tutti distinti fra loro). Ad ogni fattore primo viene sommato 1 e i nuovi 2014 numeri ottenuti vengono moltiplicati fra loro, dando come risultato un numero $m$ . Per quanti interi $n$ succede che, con queste premesse, $m$ è divisibile per $n$ ?

Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: generalizzazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 336 Fonte: apri PDF p.1

For quantities n the product (p+1) is divisible by n

A natural number $n$ is broken down into prime factors in 2014 (not necessarily all of them distinct from each other). Each prime factor is added to 1 and the new 2014 numbers obtained are multiplied by each other, resulting in a number $m$ . For how many integers $n$ does it happen that, with these premises, $m$ is divisible by $n$ ?

Answer: 336 src_kangourou_2014_junior_finale__Q05

Minimo n di quadrati grigi 8x8 per copertura adiacente

$n$ quadrati di una griglia $8 \times 8$ sono dipinti di nero, gli altri sono bianchi. Ogni quadrato della griglia, bianco o nero che sia, è adiacente a (cioè ha un lato in comune con) un quadrato nero (diverso da esso nel caso sia nero). Qual è il minimo valore possibile per $n$ ?

Topic: Combinatoria Metodo: Principio di estremalita Abilita: Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 20 Fonte: apri PDF p.1

Minimum n of 8x8 gray squares for adjacent coverage

$n$ squares of one grid $8 \times 8$ are painted black, the others are white. Each square of the grid, whether white or black, is adjacent to (i.e. has a side in common with) a black square (different from it in the case of black). What is the minimum possible value for $n$ ?

Answer: 20 src_kangourou_2014_junior_finale__Q06

Raccolta Gare di Matematica

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