Piu grande primo <30 somma di due primi
Un numero primo
Qual è il più grande numero primo minore di 30 che può essere espresso come somma di due numeri primi?
Topic: Teoria dei Numeri Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 19 Fonte: apri PDF p.1
Biggest first < 30 sum of two first
What is the largest prime number less 30 that can be expressed as the sum of two prime numbers?
Answer: 19 src_kangourou_2014_squadre_f__Q01
Somma cifre tasti bianchi per ottenere 2014 con 6 tasti
La calcolatrice
Elena ha una calcolatrice con 15 tasti: 10 sono bianchi e riportano ciascuno una delle 10 cifre (tutte le cifre vi compaiono), 5 sono neri e riportano ciascuno uno dei 5 simboli “più, meno, per, diviso, uguale” (tutti questi simboli vi compaiono). Per ottenere il risultato del prodotto “2 per 3 per 15” occorre premere i sette tasti (non necessariamente diversi fra loro) 2, ×, 3, ×, 1, 5, =, dopo di che sullo schermo appare il numero 90. Come risultato di un altro prodotto, dopo aver premuto sei tasti Elena ha ottenuto sullo schermo il numero 2014. Qual è la somma delle cifre riportate sui tasti bianchi battuti questa volta da Elena?
Topic: Teoria dei Numeri, Logica, giochi, strategie Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 19 Fonte: apri PDF p.1
Sum of white key figures to get 2014 with 6 keys
The calculator Elena has a calculator with 15 keys: 10 are white and each returns one of the 10 digits (all the digits appear there), 5 are black and each returns one of the 5 symbols plus, minus, for, divided, equal (all these symbols appear there). To obtain the result of the product 2 by 3 by 15, press the seven keys (not necessarily different) 2, ×, 3, ×, 1, 5, =, after which the number 90 appears on the screen. As a result of another product, after pressing six keys Elena got the number 2014. What’s the sum of the numbers on the white keys hit by Elena this time?
Answer: 19 src_kangourou_2014_squadre_f__Q02
Area regione ombreggiata cerchio inscritto in quadrato
\begin{document}
\begin{tikzpicture}
\draw (0,0) rectangle (4,4);
\draw (2,2) circle (2);
\begin{scope}
\clip (0,0) rectangle (4,4);
\fill[gray!50] (2,2) circle (2);
\fill[white] (0,4) -- (4,4) -- (0,0) -- cycle;
\end{scope}
\draw (0,0) rectangle (4,4);
\draw (2,2) circle (2);
\end{tikzpicture}
\end{document}Cerchio e quadrato
Osservate la figura. Un cerchio è inscritto in un quadrato di lato 8 metri. Qual è l’area, in metri quadrati, della regione ombreggiata? (Scrivete il numero intero più vicino al risultato esatto.)
Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 27 Fonte: apri PDF p.1
Area region shaded circle inscribed in square
\begin{document}
\begin{tikzpicture}
\draw (0,0) rectangle (4,4);
\draw (2,2) circle (2);
\begin{scope}
\clip (0,0) rectangle (4,4);
\fill[gray!50] (2,2) circle (2);
\fill[white] (0,4) -- (4,4) -- (0,0) -- cycle;
\end{scope}
\draw (0,0) rectangle (4,4);
\draw (2,2) circle (2);
\end{tikzpicture}
\end{document}Circle and square Look at the figure. A circle is inscribed in a square of 8 meters. What is the area, in square meters, of the shaded region? (Write the whole number nearest to the exact result.)
Answer: 27 src_kangourou_2014_squadre_f__Q03
Somma minima positiva con a^2+b^2=100
Somma di quadrati
Sapete che due numeri interi relativi a e b sono tali che a2 + b2 = 100 e che la loro somma è il più piccolo numero positivo compatibile con questo presupposto. Quanto vale la loro somma?
Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Abilita: Casework accurato Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 2 Fonte: apri PDF p.1
Minimum positive sum with a^2+b^2=100
Sum of squares You know that two integers of a and b are equal to a2 + b2 = 100 and that their sum is the smallest positive number compatible with this assumption. How much is their sum?
Answer: 2 src_kangourou_2014_squadre_f__Q04
Massimo n biglie per trovare la piu pesante in 2 pesate
Le biglie indistinguibili
In un’urna ci sono n biglie che appaiono identiche. In realtà n − 1 di esse hanno anche lo stesso peso, mentre la rimanente è leggermente più pesante delle altre. Clara ha una bilancia di precisione a due piatti (che cioè permette solo di confrontare i pesi di due gruppi di oggetti, posti uno su un piatto e uno sull’altro): con al massimo due pesate è in grado di individuare la biglia più pesante. Qual è il massimo valore possibile per n?
Topic: Logica, giochi, strategie Metodo: Principio dei cassetti Abilita: generalizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 9 Fonte: apri PDF p.1
Maximum n bags to find the heaviest in 2 weights
In a day there are no beads that look identical. In reality n − 1 of them also have the same weight, while the remainder is slightly heavier than the others. Clara has a two-plate precision balance (i.e. it allows only to compare the weights of two groups of objects, placed one on a plate and one on the other): with a maximum of two weights it is able to identify the heaviest seed. What’s the maximum possible value for n?
Answer: 9 src_kangourou_2014_squadre_f__Q05
Interi 1-10000 non divisibili ne per 2 ne per 5
!é per 2 né per 5
Quanti sono i numeri interi compresi fra 1 e 10.000 (inclusi) che non sono divisibili né per 2 né per 5?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Inclusione-esclusione Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 4000 Fonte: apri PDF p.1
*Integral numbers 1-10000 not divisible by 2 or by 5 *
What are the integers between 1 and 10,000 (included) that are not divisible by 2 or by 5?
Answer: 4000 src_kangourou_2014_squadre_f__Q06
Area triangolo ABC dato triangolo DFI per similitudine
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=1.1]
\fill[yellow!80!orange] (0.667,2) -- (4.667,2) -- (2.8,1.2) -- cycle;
\draw[blue,line width=1.5pt] (0,0) -- (2,6) -- (6,0) -- cycle;
\draw[green!60!black,line width=1pt] (0,0) -- (4.667,2);
\draw[green!60!black,line width=1pt] (0.667,2) -- (6,0);
\node[above] at (2,6) {$A$};
\node[below left] at (0,0) {$C$};
\node[below right] at (6,0) {$B$};
\node[left] at (0.667,2) {$D$};
\node[left] at (1.333,4) {$E$};
\node[right] at (4.667,2) {$F$};
\node[right] at (3.333,4) {$G$};
\node[below] at (2.8,1.2) {$I$};
\end{tikzpicture}
\end{document}Due triangoli
Nel triangolo ABC in figura i segmenti AD, DE e EC hanno la stessa lunghezza; anche i segmenti AF, FG e GB hanno la stessa lunghezza. Il triangolo DFI ha area 10. Quanto vale l’area del triangolo ABC ? A I D F G E B C
Topic: Geometria piana Metodo: Metodo delle coordinate Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 180 Fonte: apri PDF p.1
Area of triangle ABC given triangle DFI for similarities
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=1.1]
\fill[yellow!80!orange] (0.667,2) -- (4.667,2) -- (2.8,1.2) -- cycle;
\draw[blue,line width=1.5pt] (0,0) -- (2,6) -- (6,0) -- cycle;
\draw[green!60!black,line width=1pt] (0,0) -- (4.667,2);
\draw[green!60!black,line width=1pt] (0.667,2) -- (6,0);
\node[above] at (2,6) {$A$};
\node[below left] at (0,0) {$C$};
\node[below right] at (6,0) {$B$};
\node[left] at (0.667,2) {$D$};
\node[left] at (1.333,4) {$E$};
\node[right] at (4.667,2) {$F$};
\node[right] at (3.333,4) {$G$};
\node[below] at (2.8,1.2) {$I$};
\end{tikzpicture}
\end{document}Two triangles In the triangle ABC shown in the figure the segments AD, DE and EC have the same length; the segments AF, FG and GB also have the same length. The DFI triangle has area 10. How much is the area of the ABC triangle? A I D F G E B C
Answer: 180 src_kangourou_2014_squadre_f__Q07
eta uguale somma cifre anno
Elena e sua madre
Elena e sua madre sono nate entrambe il primo gennaio. In quest’anno 2014, per ognuna di loro il numero che esprime l’età in anni coincide con la somma delle cifre dei rispettivi anni di nascita. Quanti anni aveva la madre di Elena quando è nata Elena?
Topic: Teoria dei Numeri, Logica, giochi, strategie Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 18 Fonte: apri PDF p.2
age equal to sum of figures per year
Elena and her mother Elena and her mother were both born on January 1. In this year 2014, for each of them the number of years of age is the sum of the figures of their respective years of birth. How old was Elena’s mother when Elena was born?
Answer: 18 src_kangourou_2014_squadre_f__Q08
N=2014x2014 somma di n consecutivi
2014 volte 2014 La scrittura del numero = 20142014…2014 è ottenuta scrivendo 2014 consecutivamente 2014 volte. Qual è il più piccolo numero intero n maggiore o uguale a 2 tale che sia la somma di n numeri interi positivi consecutivi?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 4 Fonte: apri PDF p.2
*N=2014x2014 sum of n consecutive *
2014 times 2014 The number writing = 20142014…2014 is obtained by writing 2014 consecutively 2014 times. What is the smallest integer n greater than or equal to 2 such that it is the sum of n consecutive positive integers?
Answer: 4 src_kangourou_2014_squadre_f__Q09
Massimo di ab-bc+ca con prodotto abc=16
Somma di potenze
Tre numeri interi positivi a, b, c tutti diversi fra loro sono tali che il loro prodotto è 16. Qual è il massimo valore possibile per l’espressione ab − bc + ca?
Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: Analisi per casi Abilita: Casework accurato Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 263 Fonte: apri PDF p.2
Maximum of ab-bc+ca with product abc=16
Sum of powers Three positive integers a, b, c all different from each other are such that their product is 16. What is the maximum possible value for the expression ab − bc + ca?
Answer: 263 src_kangourou_2014_squadre_f__Q10
2014! divisibile per 2^a19
2014!
Indichiamo con 2014! il prodotto 1 × 2 × 3 × … × 2012 × 2013 × 2014 dei primi 2014 interi positivi. Considerate tutte le coppie (a, b) di interi positivi tali che 2014! sia divisibile per 2a × 19b. Qual è il valore più alto possibile per la somma a + b?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 2116 Fonte: apri PDF p.2
*2014! The value of the product shall be calculated as follows:
2014! Let’s say 2014! the product 1 × 2 × 3 × … This is the total number of units of measurement for each of the following categories: Consider all pairs (a, b) of positive integers such as 2014! is divisible by 2a × 19b. What is the highest possible value for the sum of a + b?
Answer: 2116 src_kangourou_2014_squadre_f__Q11
Numeri di tre cifre diversi su tre dadi accostati
I dadi
Accostate tre dadi facendo in modo che le facce combacianti di due dadi riportino gli stessi punti. Quanti sono, al variare degli allineamenti dei tre dadi compatibili con questa richiesta, i numeri di tre cifre tra loro diversi che possono venire indicati dalle facce superiori dei tre dadi? (I numeri vanno letti come d’uso da sinistra a destra: nell’esempio in figura il numero letto è 125. Tenete presente che le facce di un dado regolare sono numerate mediante punti da uno a sei e che la somma dei punti su due facce opposte qualunque è 7.)
Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 168 Fonte: apri PDF p.2
Numbers of three different digits on three adjacent dice
Draw three dice so that the matching faces of two dice return the same points. How many different three-digit numbers can be indicated by the upper faces of the three dice when the alignments of the three dice comply with this request? (The numbers should be read as used from left to right: in the example in figure the number read is 125. Note that the faces of a regular dice are numbered by points from one to six and that the sum of the points on two opposite faces of any dice is 7.)
Answer: 168 src_kangourou_2014_squadre_f__Q12
Somma minima griglia 3x3 con sei somme tutte diverse
La griglia
In ogni cella di una griglia 3 × 3 va inserito un numero intero positivo (celle diverse possono ospitare lo stesso numero) in modo che, sommando i numeri inseriti sia per righe sia per colonne, si ottengano sei risultati tutti diversi fra loro. Qual è il valore più basso possibile per la somma di tutti i numeri inseriti?
Topic: Combinatoria, Logica, giochi, strategie Metodo: Principio di estremalita Abilita: Casework accurato Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 17 Fonte: apri PDF p.2
Minimum sum of grid 3x3 with six sums all different
The grid In each cell of a grid 3 × 3 a positive integer must be entered (different cells can host the same number) so that, by adding the numbers entered for both rows and columns, six different results are obtained. What is the lowest possible value for the sum of all the numbers entered?
Answer: 17 src_kangourou_2014_squadre_f__Q13
Quanti numeri palindromi di 7 cifre
!umeri palindromi
Un numero intero si dice palindromo se le sue cifre, lette da sinistra a destra o da destra a sinistra, forniscono lo stesso risultato (ad esempio, 575 è palindromo, 576 non lo è). Quanti sono i numeri palindromi di 7 cifre?
Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 9000 Fonte: apri PDF p.2
*How many 7-digit palindromes are there *
A whole number is called a palindrome if its digits, read from left to right or from right to left, give the same result (e.g. 575 is a palindrome, 576 is not). How many seven-digit palindromes are there?
Answer: 9000 src_kangourou_2014_squadre_f__Q14
Valore di P-D somma quadrati pari meno dispari
Quadrati pari e quadrati dispari
Sia D la somma dei quadrati di tutti i numeri interi dispari compresi fra 1 e 99 inclusi. Sia P la somma dei quadrati di tutti i numeri interi pari compresi fra 2 e 100 inclusi. Quanto vale P − D?Quesiti e soluzioni
Topic: Algebra, Teoria dei Numeri Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Manipolazione algebrica Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 5050 Fonte: apri PDF p.2
P-D value sum squared equal to less odd
Equal squares and odd squares Let D be the sum of the squares of all odd integers between 1 and 99 inclusive. Let P be the sum of the squares of all even integers between 2 and 100 inclusive. How much is P minus D?
Questions and solutions
Answer: 5050 src_kangourou_2014_squadre_f__Q15