Dado non regolare con condizioni di somma facce opposte
In un dado regolare la somma dei punti riportati su due facce opposte è sempre . Amedeo dice di aver costruito un dado non regolare per il quale si verificano tutti i seguenti tre fatti:
- vi sono facce con un numero dispari di punti;
- la somma dei punti riportati su due facce opposte è se su una delle due compare un numero dispari di punti;
- la somma dei punti riportati su due facce opposte è se su una delle due facce compare un numero pari di punti.
Anno non gli crede. Se pensi che abbia ragione Amedeo, indica uno dei dadi che potrebbe avere costruito; se pensi che faccia bene Anno a non credergli, spiega il motivo.
Topic: Logica, giochi, strategie, Teoria dei Numeri Abilita: Lettura attenta del testo Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: ha ragione Anna Fonte: apri PDF p.1
Unadjusted data with opposite sum conditions
In a regular dice, the sum of the points on two opposite sides is always . Amedeo says that he has constructed an irregular dice for which all three of the following facts occur: - there are faces with an odd number of points; - the sum of the points on two opposite faces is if an odd number of points appears on one of the two faces; - the sum of the points on two opposite faces is if an equal number of points appears on one of the two faces.
Anno doesn’t believe him. If you think Amedeo is right, point to one of the dice he may have built; if you think it’s good for Anno not to believe him, explain why.
Answer: ha ragione Anna src_kangourou_2015_finale_benjamin__QB1
primo o secondo?
Sandro e Paolo fanno il seguente gioco: ci sono gettoni sul tavolo; si gioca a turno e, quando è il proprio turno, si possono levare , o gettoni; vince l’ultimo che riesce a prendere qualche gettone. Sandro vuole vincere a tutti i costi: gli conviene giocare per primo o lasciare che ad iniziare sia Paolo?
Topic: Logica, giochi, strategie Abilita: generalizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: secondo (Paolo inizia) Fonte: apri PDF p.1
*first or second? *
Sandro and Paolo play the following game: there are tokens on the table; you play in turns and, when it’s your turn, you can take , or tokens; the last one who manages to take some tokens wins. Sandro wants to win at any cost. Should he play first or let Paul start?
Answer: secondo (Paolo inizia) src_kangourou_2015_finale_benjamin__QB2
condizioni per incrocio treni
Kang è una stazione su una linea a binario unico. In figura vedi lo schema dei binari di Kang, di ciascuno dei quali è indicata la lunghezza: il binario di corsa è quello superiore, mentre il binario inferiore inizia e termina con due tronchi «morti». Tutti i treni circolanti sulla linea sono composti da una locomotiva, che è in testa, e da alcune carrozze: la lunghezza di ogni locomotiva e di ogni carrozza è metri. Quali sono le condizioni meno restrittive da imporre sulla composizione di due treni perché possano incrociarsi in Kang? Tieni presente che è ammesso ogni tipo di manovra (in particolare i treni possono fare retromarcia) e di segnalamento compatibile con lo schema della stazione, incluso lo spezzamento dei treni in gruppi di carrozze. (vedi figura)
Topic: Logica, giochi, strategie Abilita: traduzione del testo Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: max 13 carrozze Fonte: apri PDF p.1
train crossing conditions
Kang is a station on a single track line. In the figure you can see the pattern of Kang’s tracks, each of which is indicated in length: the running track is the upper one, while the lower track starts and ends with two trunks mort. All trains running on the line are made up of a locomotive, which is at the head, and some carriages: the length of each locomotive and carriage is meters. What are the least restrictive conditions to be imposed on the composition of two trains in order to cross at Kang? Please note that all types of maneuvering (especially trains can turn backwards) and signalling compatible with the station layout are permitted, including the breaking of trains into carriage groups. (see figure)
Answer: max 13 carrozze src_kangourou_2015_finale_benjamin__QB3
misura angolo ABC
La figura mostra due quadrati uguali che hanno in comune esattamente un vertice. È possibile precisare la misura dell’angolo ? (vedi figura)
Topic: Geometria piana Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 45 gradi Fonte: apri PDF p.1
The measurement shall be carried out in accordance with the methodology set out in Annex II.
The figure shows two equal squares that have exactly one vertex in common. Is it possible to specify the angle ? (see figure)
Answer: 45 gradi src_kangourou_2015_finale_benjamin__QB4
quante volte l’ultima in un’ora
cornacchie sono allineate su un cavo elettrico sospeso. Quando (e solo quando) una di esse gracchia, la sua vicina di destra e quella di sinistra (o solo una delle due, nel caso la cornacchia sia ad una delle due estremità) prendono il volo e dopo un minuto esatto si rimettono al posto dove erano e gracchiano a loro volta. Inizia a gracchiare la prima cornacchia della fila. Dopo un’ora esatta da questa prima gracchiata, quante volte avrà gracchiato l’ultima cornacchia?
Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 6 Fonte: apri PDF p.2
how many times the last in an hour
corners are aligned on a suspended electrical cable. And when one of them crawls, its neighbour on the right and its neighbour on the left (or just one of the two, if the crankshaft is at one end of the two) take flight and after a minute they return to their place and crawle in turn. Start scratching the first horn in the line. After exactly one hour of this first crack, how many times will the last crack be?
Answer: 6 src_kangourou_2015_finale_benjamin__QB5
Modi di realizzare N+1 kang > modi per N kang
A Kanglandia la moneta in uso è il kang e vi sono solo monete da , o kang. Ovviamente, con monete come queste, si può realizzare qualunque importo di un numero intero di kang. Dimostra dapprima che, per ogni numero intero positivo , i diversi modi possibili per realizzare l’importo di kang sono in numero non inferiore ai diversi modi possibili di realizzare l’importo di kang. Dimostra quindi che, di fatto, i primi sono sempre in numero strettamente superiore ai secondi.
(Attenzione: per ottenere, ad esempio, kang, il modo va considerato uguale al modo , ma non al modo .)
Topic: Combinatoria Metodo: corrispondenza Abilita: generalizzazione Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: dimostrazione Fonte: apri PDF p.2
Mode of making N+1 kang >Mode for N kang
In Kangland, the currency in use is the kang and there are only , or kang coins. Obviously, with coins like these, you can make any amount of an integer kang. First, it shows that for each positive integer , the different possible ways of achieving the amount of kang are in no less number than the different possible ways of achieving the amount of kang. It therefore shows that, in fact, the former always outnumber the latter.
(Note: to obtain, for example, kang, the mode must be considered the same as the mode, but not the mode.)
Answer: dimostrazione src_kangourou_2015_finale_benjamin__QB6