Somma m+M numeri di due cifre con vincoli su somma cifre
Somme Chiamate m il più piccolo numero di due cifre la somma delle quali sia ancora un numero di due cifre. Chiamate M il più grande numero di due cifre la cui somma sia un numero con una cifra sola.
Quanto vale m + M?
Topic: Teoria dei Numeri Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 109 Fonte: apri PDF p.1
sum m+M two-digit numbers with constraints on sum of digits
Summums Call m the smallest two-digit number whose sum is still a two-digit number. Call M the largest two-digit number whose sum is a single-digit number. How much is m + m?
Answer: 109 src_kangourou_2016_squadre_f__Q01
Probabilita su 100 che primo e ultimo siano quadrati
Gli oggetti di Gertrude
Gertrude ha cinque oggetti: tre quadrati e due cerchi. Se li dispone in fila a caso sul tavolo, quante probabilità su 100 ci sono che il primo e l’ultimo oggetto siano due quadrati?
Topic: Probabilita e statistica, Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 30 Fonte: apri PDF p.1
Probability out of 100 that the first and last are squared
Gertrude’s objects Gertrude has five objects: three squares and two circles. If you put them in random rows on the table, how many chances out of 100 are there that the first and last object are two squares?
Answer: 30 src_kangourou_2016_squadre_f__Q02
Perimetro triangolo CXA dato area e rapporti lati
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=1.0]
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (4,0);
\coordinate (C) at (4,3);
\coordinate (X) at (4,1.667);
\draw (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
\draw (A) -- (X);
\draw (3.8,0) -- (3.8,0.2) -- (4,0.2);
\node[left] at (A) {$A$};
\node[below right] at (B) {$B$};
\node[above right] at (C) {$C$};
\node[right] at (X) {$X$};
\end{tikzpicture}
\end{document}Il triangolo spezzato Nel seguito denotiamo con WZ la lunghezza del generico segmento di estremi W e Z. Osservate la figura. Nel triangolo ABC l’angolo in B è retto e il punto X è tale che BX/XC 5/4 e AB 3CX. L’area del triangolo CXA è 54 cm2. Qual è la lunghezza in centimetri del perimetro di CXA ?
Topic: Geometria piana Metodo: Metodo delle coordinate Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 48 Fonte: apri PDF p.1
CXA triangle perimeter given area and side ratios
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=1.0]
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (4,0);
\coordinate (C) at (4,3);
\coordinate (X) at (4,1.667);
\draw (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
\draw (A) -- (X);
\draw (3.8,0) -- (3.8,0.2) -- (4,0.2);
\node[left] at (A) {$A$};
\node[below right] at (B) {$B$};
\node[above right] at (C) {$C$};
\node[right] at (X) {$X$};
\end{tikzpicture}
\end{document}The broken triangle In the following, we use WZ to denote the length of the general segment of the W and Z extremes. Look at the figure. In triangle ABC the angle in B is straight and the point X is such that BX/XC 5/4 and AB 3CX. The area of the triangle CXA is 54 cm2. What is the length in centimeters of the perimeter of CXA ?
Answer: 48 src_kangourou_2016_squadre_f__Q03
Velocita restanti due terzi per media 21 (impossibile)
Gianni il ciclista Gianni deve compiere un certo tragitto in bicicletta. Fino a questo istante ne ha percorso un terzo alla velocità media di 7 km/h. Quale deve essere la sua velocità media nei restanti due terzi se vuole che la sua velocità media su tutto il percorso sia di 21 km/h? (Scrivete [9999] se pensate che gli sia impossibile ottenere quello che vuole.)
Topic: Algebra Abilita: Lettura attenta del testo Area: Algebra e Analisi Risposta: 9999 Fonte: apri PDF p.1
*Remaining two thirds speed by average 21 (impossible) *
Gianni the cyclist Gianni has to make a certain bike ride. Until now, he has covered a third of it at an average speed of 7 km/h. What must be its average speed in the remaining two thirds if it wants its average speed along the entire route to be 21 km/h? (Write [9999] if you think it’s impossible for him to get what he wants.)
Answer: 9999 src_kangourou_2016_squadre_f__Q04
Somma cifre del minimo multiplo di 35 con cifre uguali
Per 35 M è il più piccolo multiplo (intero positivo) di 35 le cui cifre sono tutte uguali fra loro. Qual è la somma delle cifre di M?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 30 Fonte: apri PDF p.1
sum of digits of the minimum multiple of 35 with equal digits
For 35 M it is the smallest multiple (positive integer) of 35 whose digits are all equal to each other. What’s the sum of the digits of M?
Answer: 30 src_kangourou_2016_squadre_f__Q05
Segmenti per disegnare cubo da 1000 cubetti
Disegnar cubetti Le figure mostrano, in prospettiva, due cubi; il secondo è ottenuto accostando 8 cubi uguali al primo. Quanti segmenti occorrerà tracciare per disegnare, con lo stesso tipo di prospettiva, il cubo ottenuto accostando 1000 cubi uguali al primo? Per intenderci su che cosa intendiamo per “segmento”, vi diciamo che per disegnare il primo cubo sono stati tracciati 9 segmenti, per disegnare il secondo ne sono stati tracciati 15.
Topic: Geometria solida, Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Combinatoria, Logica e Probabilita, Geometria Risposta: 63 Fonte: apri PDF p.1
Sections for drawing a cube of 1000 cubes
Drawing cubes Figures show, in perspective, two cubes; the second is obtained by approaching 8 cubes equal to the first. How many segments will it take to draw, with the same kind of perspective, the cube obtained by approaching 1000 cubes equal to the first? To understand what we mean by “section”, we’ll tell you that to draw the first cube, 9 segments were drawn, to draw the second, 15 were drawn.
Answer: 63 src_kangourou_2016_squadre_f__Q06
Minimi confetti iniziali con frazioni prese da due
Confetti Un vaso contiene dei confetti. Passa Simone e ne prende 1/15; poi passa Sara e ne prende 1/8 di quelli lasciati da Simone. Prima che arrivasse Simone, nel vaso c’era la più piccola quantità di confetti con la quale è stato possibile che ciò avvenisse. Quanti confetti c’erano?
Topic: Teoria dei Numeri Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 60 Fonte: apri PDF p.1
*Minimum initial confectionery with fractions taken from two *
A vase contains some confetti. She passes Simone and takes 1/15 of it; then she passes Sarah and takes 1/8 of what Simon left behind. Before Simon arrived, the vessel required the smallest amount of confetti with which it was possible for this to happen. How many confections were there?
Answer: 60 src_kangourou_2016_squadre_f__Q07
Numero totale sorpassi tra i tre pattinatori
I pattinatori Aldo, Bruno e Carlo si divertono a pattinare su una pista circolare. Partono allo stesso istante da uno stesso punto e nello stesso verso; ognuno pattina a velocità costante: Bruno va più veloce di Carlo, ma meno veloce di Aldo. Si fermano non appena si ritrovano tutti e tre insieme: quando si fermano Aldo ha sorpassato Carlo 10 volte. Quanti sorpassi fra loro tre sono avvenuti complessivamente prima di quel momento? (Scrivete [9999] se pensate che la situazione descritta sia impossibile.)
Topic: Logica, giochi, strategie, Teoria dei Numeri Metodo: congruenze Abilita: generalizzazione Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 19 Fonte: apri PDF p.2
Total number of overtakes between the three skaters
Skaters Aldo, Bruno and Carlo enjoy skating on a circular track. They start at the same moment from the same point and in the same direction; each skates at a constant speed: Bruno goes faster than Carlo, but less fast than Aldo. They stop as soon as they find themselves all three together. When they stop, Aldo has overtaken Carlo 10 times. How many overlaps between the three of them took place before that time? (Write [9999] if you think the situation described is impossible.)
Answer: 19 src_kangourou_2016_squadre_f__Q08
Perimetro triangolo coi punti medi nell’esagono
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=1.2]
\coordinate (V0) at (2,0);
\coordinate (V1) at (1,1.732);
\coordinate (V2) at (-1,1.732);
\coordinate (V3) at (-2,0);
\coordinate (V4) at (-1,-1.732);
\coordinate (V5) at (1,-1.732);
\draw (V0) -- (V1) -- (V2) -- (V3) -- (V4) -- (V5) -- cycle;
\coordinate (M01) at (1.5,0.866);
\coordinate (M23) at (-1.5,0.866);
\coordinate (M45) at (0,-1.732);
\draw (M01) -- (M23) -- (M45) -- cycle;
\end{tikzpicture}
\end{document}Un triangolo nell’esagono Un esagono regolare di lato 12 cm contiene un triangolo i cui vertici sono i punti medi di tre lati a due a due non adiacenti (vedi figura). Quanti centimetri misura il perimetro del triangolo?
Topic: Geometria piana Metodo: Tecniche trigonometriche Abilita: Ragionamento geometrico Area: Geometria Risposta: 54 Fonte: apri PDF p.2
Triangle perimeter with midpoints in the hexagon
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=1.2]
\coordinate (V0) at (2,0);
\coordinate (V1) at (1,1.732);
\coordinate (V2) at (-1,1.732);
\coordinate (V3) at (-2,0);
\coordinate (V4) at (-1,-1.732);
\coordinate (V5) at (1,-1.732);
\draw (V0) -- (V1) -- (V2) -- (V3) -- (V4) -- (V5) -- cycle;
\coordinate (M01) at (1.5,0.866);
\coordinate (M23) at (-1.5,0.866);
\coordinate (M45) at (0,-1.732);
\draw (M01) -- (M23) -- (M45) -- cycle;
\end{tikzpicture}
\end{document}A regular hexagon of 12 cm side contains a triangle whose vertices are the midpoints of three two to two non-adjacent sides (see figure). How many centimeters does the perimeter of the triangle measure?
Answer: 54 src_kangourou_2016_squadre_f__Q09
Somma interi consecutivi i cui cubi danno 2016
2016 e i cubi
2016 è esprimibile come somma delle terze potenze di alcuni numeri interi positivi consecutivi. Quanto vale la somma di questi numeri?
Topic: Teoria dei Numeri, Algebra Metodo: manipolazione algebrica Abilita: Riconoscimento di pattern Area: Algebra e Analisi, Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 42 Fonte: apri PDF p.2
Sequential integers whose cubes give 2016
2016 and the 2016 cubes are expressible as the sum of the third powers of some consecutive positive integers. How much is the sum of these numbers?
Answer: 42 src_kangourou_2016_squadre_f__Q10
2016 somma di potenze di 2 consecutive
2016 e potenze di 2 2016 è esprimibile come somma di potenze di 2 con esponenti che sono numeri interi positivi consecutivi. Quanto vale la somma di questi esponenti?
Topic: Teoria dei Numeri Abilita: Manipolazione algebrica Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 45 Fonte: apri PDF p.2
2016 sum of powers of 2 consecutive times
2016 and powers of 2 2016 is expressed as the sum of powers of 2 with exponents that are consecutive positive integers. How much is the sum of these exponents?
Answer: 45 src_kangourou_2016_squadre_f__Q11
Quanti divisori ha il numero 2016
I divisori di 2016 Quanti divisori ha il numero 2016?
Topic: Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri Risposta: 36 Fonte: apri PDF p.2
How many divisors has the number 2016
Divisors of 2016 How many divisors does the number 2016 have?
Answer: 36 src_kangourou_2016_squadre_f__Q12
Modi di colorare i vertici del quadrato con 3 colori
Colora i vertici Avete a disposizione tre colori diversi per colorare i vertici ABCD di un quadrato. Volete che vertici adiacenti ricevano colori diversi. In quanti diversi modi potete farlo? Tenete presente che ogni vertice ha un nome, quindi due colorazioni vanno ritenute diverse quando qualche vertice riceve colori diversi.
Topic: Combinatoria Metodo: Conteggio combinatorio Abilita: Conteggio sistematico Area: Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 18 Fonte: apri PDF p.2
How to colour the vertices of the square with 3 colours
When the vertices are colored you have three different colors available to color the ABCD vertices of a square. You want adjacent vertices to receive different colors. How many different ways can you do that? Keep in mind that each vertex has a name, so two colors should be considered different when each vertex receives different colors.
Answer: 18 src_kangourou_2016_squadre_f__Q13
Quante esacoppie con somma massima dei due numeri
Le esacoppie Chiamo esacoppia una coppia di numeri interi di tre cifre scritti utilizzando tutte e sole le cifre da 1 a 6. Quante sono le esacoppie tali che sia massima la somma dei due numeri che le compongono? Attenzione: le esacoppie sono coppie non ordinate; in altre parole, l’esacoppia {123,456} coincide con l’esacoppia {456,123}. Kangourou della Matematica 2016 Coppa a squadre Kangourou
Finale - Cervia, 8 maggio 2016Quesiti e soluzioni
Topic: Combinatoria, Teoria dei Numeri Metodo: Conteggio combinatorio, Principio di estremalita Abilita: Casework accurato Area: Aritmetica e Teoria dei Numeri, Combinatoria, Logica e Probabilita Risposta: 4 Fonte: apri PDF p.2
*How many ex-couples with the sum of the two numbers *
The call examples excavate a pair of three-digit integers written using all but the digits 1 through 6. How many examples are such that the sum of the two numbers that make up them is the greatest? Attention: the hexapoles are unordered pairs; in other words, the hexapole {123,456} coincides with the hexapole {456,123}.
Kangourou of Mathematics 2016 Kangourou Team Cup Final - Cervia, 8 May 2016
Questions and solutions
Answer: 4 src_kangourou_2016_squadre_f__Q14